Semelhança de Triângulos
1. (Uem 2014) João dispõe de três pedaços triangulares de palha de aço, sendo a área de
cada pedaço diretamente proporcional à massa do mesmo. Um pedaço possui 10,0 g de
massa, o segundo possui 12,0 g de massa e o terceiro, 18,0 g. Ele queimou completamente os
dois primeiros pedaços e mediu novamente suas massas, tendo obtido, respectivamente, 10,5
g e 12,6 g.
Com base na situação exposta, assinale o que for correto.
01) O aumento de massa se deve à reação química que causou uma redução nos átomos de
ferro que reagiram.
02) As proporções iguais entre massa final e inicial de cada pedaço de palha de aço queimado
se devem à Lei de Proust.
04) Se João queimar completamente o terceiro pedaço, a massa final do mesmo deverá ficar
em torno de 18,9 g.
08) Verificou-se um aumento de 0,5 % na massa de cada um dos pedaços de palha de aço
queimados.
16) Se, antes do experimento, os pedaços triangulares de 18 g e 10 g constituíam um par de
triângulos semelhantes, a razão de semelhança entre eles era de 9/10.
2. (Espm 2014) A figura abaixo mostra a trajetória de um móvel a partir de um ponto A, com
BC  CD, DE  EF, FG  GH, HI  IJ e assim por diante.
Considerando infinita a quantidade desses segmentos, a distância horizontal AP alcançada
por esse móvel será de:
a) 65 m
b) 72 m
c) 80 m
d) 96 m
e) 100 m
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3. (Acafe 2014) Analise as proposições abaixo e classifique-as em V - verdadeiras ou F falsas.
(
(
) O triângulo ABC é equilátero e seu perímetro é 12cm. Sabendo que temos uma
circunferência inscrita e outra circunscrita ao triângulo ABC, então, a razão entre a área
1
da circunferência inscrita e a área da circunferência circunscrita é .
4
) Uma das diagonais de um quadrado está contida na reta x  y  4  0. Sabendo que a
reta suporte da outra diagonal passa pelo ponto de coordenadas (5,  3), pode-se
(
concluir que o perímetro desse quadrado, em unidades de comprimento, é igual a 16 2.
) Na figura abaixo, ABCD, é um quadrado inscrito num triângulo PRQ. Sendo RQ  36cm e
a altura relativa a essa base igual a 24cm, então, a área da região hachurada vale,
aproximadamente, 225cm2.
A sequência correta, de cima para baixo, é:
a) V - V - F
b) V - F - V
c) V - F - F
d) F - F - V
4. (Ufsc 2014) Duas cidades, marcadas no desenho abaixo como A e B, estão nas margens
retilíneas e opostas de um rio, cuja largura é constante e igual a 2,5 km, e a distâncias de
2,5 km e de 5 km, respectivamente, de cada uma das suas margens. Deseja-se construir uma
estrada de A até B que, por razões de economia de orçamento, deve cruzar o rio por uma
ponte de comprimento mínimo, ou seja, perpendicular às margens do rio. As regiões em cada
lado do rio e até as cidades são planas e disponíveis para a obra da estrada. Uma possível
planta de tal estrada está esboçada na figura abaixo em linha pontilhada:
Considere que, na figura, o segmento HD é paralelo a AC e a distância HK '  18km.
Calcule a que distância, em quilômetros, deverá estar a cabeceira da ponte na margem do lado
da cidade B (ou seja, o ponto D) do ponto K, de modo que o percurso total da cidade A até a
cidade B tenha comprimento mínimo.
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5. (Cefet MG 2014) A figura abaixo tem as seguintes características:
- o ângulo Ê é reto;
- o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BD;
- os segmentos AE, BD e DE, medem, respectivamente, 5, 4 e 3.
O segmento AC, em unidades de comprimento, mede
a) 8.
b) 12.
c) 13.
d)
61.
e) 5 10.
6. (Insper 2014) Considere o retângulo ABCD da figura, de dimensões AB  b e AD  h, que
foi dividido em três regiões de áreas iguais pelos segmentos EF e GH.
As retas EF, BD e GH são paralelas. Dessa forma, sendo AE  x e AF  y, a razão
x
é igual
b
a
a)
2 2
.
3
2
.
2
3
.
c)
2
6
.
d)
4
6
.
e)
3
b)
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7. (G1 - cftmg 2014) A figura a seguir apresenta um quadrado DEFG e um triângulo ABC cujo
lado BC mede 40 cm e a altura AH, 24 cm.
A medida do lado desse quadrado é um número
a) par.
b) primo.
c) divisível por 4.
d) múltiplo de 5.
8. (G1 - ifce 2014)
O valor do lado de um quadrado inscrito em um triângulo retângulo, conforme o esboço
mostrado na figura, é
a) 10.
b) 8.
c) 6.
d) 4.
e) 2.
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9. (Fgv 2014) a) Para medir a largura x de um rio sem necessidade de cruzá-lo, foram feitas
várias medições como mostra a figura abaixo. Calcule a largura x do rio.
b) Demonstre que a distância do vértice B ao baricentro M de um triângulo é o dobro da
distância do ponto E ao baricentro M.
10. (Upf 2014) O triângulo ABC mostrado a seguir foi dividido em três figuras: I, II e III.
Então, é correto afirmar que:
a) A área da figura II é maior do que a área da figura I.
b) A área da figura II é menor do que a área da figura I.
c) A área da figura I é o dobro da área da figura III.
d) A área da figura I é igual à área da figura II.
e) A área da figura III é 1/3 da área da figura I.
11. (Pucrs 2014) Considere a imagem abaixo, que representa o fundo de uma piscina em
forma de triângulo com a parte mais profunda destacada.
O valor em metros da medida ―x‖ é
a) 2
b) 2,5
c) 3
d) 4
e) 6
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12. (Fuvest 2014) Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no
qual AB  AC. A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto,
igual a
a) 24 cm
b) 13 cm
c) 12 cm
d) 9 cm
e) 7 cm
13. (G1 - cftmg 2014) Numa festa junina, além da tradicional brincadeira de roubar bandeira no
alto do pau de sebo, quem descobrisse a sua altura ganharia um prêmio. O ganhador do
desafio fincou, paralelamente a esse mastro, um bastão de 1m. Medindo-se as sombras
projetadas no chão pelo bastão e pelo pau, ele encontrou, respectivamente, 25 dm e 125 dm.
Portanto, a altura do ―pau de sebo‖, em metros, é
a) 5,0.
b) 5,5.
c) 6,0.
d) 6,5.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Potencialmente, os portos da região Norte podem ser os canais de escoamento para toda a
produção de grãos que ocorre acima do paralelo 16 Sul, onde estão situados gigantes do
agronegócio. Investimentos em logística e a construção de novos terminais portuários privados
irão aumentar consideravelmente o número de toneladas de grãos embarcados anualmente.
14. (Uea 2014) Suponha que dois navios tenham partido ao mesmo tempo de um mesmo
porto A, em direções perpendiculares e a velocidades constantes. Sabe-se que a velocidade do
navio B é de 18 km / h e que, com 30 minutos de viagem, a distância que o separa do navio C
é de 15 km, conforme mostra a figura:
Desse modo, pode-se afirmar que, com uma hora de viagem, a distância, em km, entre os dois
navios e a velocidade desenvolvida pelo navio C, em km/h, serão, respectivamente,
a) 30 e 25.
b) 25 e 22.
c) 30 e 24.
d) 25 e 20.
e) 25 e 24.
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15. (Ufsc 2013) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01) Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero e o quadrilátero MNPQ é um quadrado.
Então os pontos P e Q são pontos médios dos lados BC e AC, respectivamente.
02) Na figura abaixo, ABCD é um quadrilátero e o segmento DB é paralelo ao segmento CE.
Então a área do quadrilátero ABCD é igual à área do triângulo ADE.
04) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo e o ponto M é o ponto médio da hipotenusa
AC. A perpendicular à hipotenusa AC pelo ponto M cruza o segmento BC no ponto E, que
está entre B e C. Então a área do triângulo MEC é menor do que a metade da área do
triângulo ABC.
08) Considere um octaedro regular inscrito em uma esfera de raio 6cm. O volume do octaedro
é 288cm3.
16) Se em um quadrilátero as diagonais são bissetrizes dos ângulos internos, então o
quadrilátero é um losango.
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16. (Uem 2013) Considere um triângulo ABC com medidas AB  5cm, AC  2cm e
BC  4cm. Sejam D o ponto médio de BC e E o ponto médio de AB. Assinale o que for
correto.
01) Os triângulos ABC e EBD são congruentes.
02) A área do triângulo ABC é menor do que 4 cm2.
04) O triângulo EBD é obtusângulo.
08) O centro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC está no interior desse triângulo.
16) A área do quadrilátero AEDC é o triplo da área do triângulo EBD.
17. (Ufmg 2013) Nos séculos XVII e XVIII, foi desenvolvida no Japão uma forma particular de
produzir matemática. Um dos hábitos que a população adotou foi o de afixar em templos placas
contendo problemas, em geral de geometria. Essas placas, conhecidas como sangaku,
apresentavam o problema com ilustrações e a resposta, sem registrar a solução dos autores. O
seguinte problema foi adaptado de um desses sangakus: considere ABCD um retângulo com
AB  160 e AD  80; tome uma circunferência de centro O tangente aos lados AB, BC e CD
do retângulo, e seja BD uma de suas diagonais, interceptando a circunferência nos pontos P e
Q.
Considerando essas informações,
a) DETERMINE o raio QO da circunferência.
b) DETERMINE o comprimento do segmento PQ.
18. (Fgv 2013) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 4 cm, e M é ponto médio de CD .
Sabe-se ainda que BD é arco de circunferência de centro A e raio 4 cm, e CD é arco de
circunferência de centro M e raio 2 cm, sendo P e D pontos de intersecção desses arcos.
A distância de P até CB , em centímetros, é igual a
19
3
4
7
a)
b)
c)
d)
25
4
5
10
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e)
17
25
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19. (Enem 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor
firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na
qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo EF,
todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e
BC representam cabos de aço que serão instalados.
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
a) 1m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 6 m
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Suzana quer construir uma piscina de forma triangular em sua casa de campo, conforme a
figura abaixo (ilustrativa).
Ela deseja que:
— as medidas s e t sejam diferentes;
— a área da piscina seja 50 m2;
— a borda de medida s seja revestida com um material que custa 48 reais o metro linear;
— a borda de medida t seja revestida com um material que custa 75 reais o metro linear.
20. (Insper 2013) Ao conversar com o arquiteto, porém, Suzana foi informada de que já foi
construída uma saída de água que fica a uma distância de 3 m da borda de medida t e a 7 m
da borda de medida s. Para que a terceira borda da piscina passe por esse ponto, t deve ser
aproximadamente igual a
a) 10,00 m.
b) 13,33 m.
c) 16,67 m.
d) 20,00 m.
e) 23,33 m.
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21. (Uerj 2012) Para construir a pipa representada na figura abaixo pelo quadrilátero ABCD,
foram utilizadas duas varetas, linha e papel.
As varetas estão representadas pelos segmentos AC e BD. A linha utilizada liga as
extremidades A, B, C e D das varetas, e o papel reveste a área total da pipa.
ˆ e ADC
ˆ são retos.
Os segmentos AC e BD são perpendiculares em E, e os ângulos ABC
Se os segmentos AE e EC medem, respectivamente, 18 cm e 32 cm, determine o
comprimento total da linha, representada por AB  BC  CD  DA.
22. (Insper 2012) Duas cidades X e Y são interligadas pela rodovia R101, que é retilínea e
apresenta 300 km de extensão. A 160 km de X, à beira da R101, fica a cidade Z, por onde
passa a rodovia R102, também retilínea e perpendicular à R101. Está sendo construída uma
nova rodovia retilínea, a R103, que ligará X à capital do estado. A nova rodovia interceptará a
R102 no ponto P, distante 120 km da cidade Z.
O governo está planejando, após a conclusão da obra, construir uma estrada ligando a cidade
Y até a R103. A menor extensão, em quilômetros, que esta ligação poderá ter é
a) 250.
b) 240.
c) 225.
d) 200.
e) 180.
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23. (Espm 2012) A figura abaixo mostra o paralelogramo BMNP inscrito no triângulo retângulo
ABC, onde AB = 5cm e BC = 13cm.
Sabe-se que o paralelogramo tem área máxima quando M é ponto médio de BC.
Então, a maior área que o paralelogramo pode ter é igual a:
a) 12 cm2
b) 18 cm2
c) 15 cm2
d) 7,5 cm2
e) 9 cm2
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Considere um triângulo ABC cuja base AB mede 27dm. Traçando-se uma reta ―t‖, paralela à
base, ela determina sobre os lados AC e BC, respectivamente, os pontos D e E. Sabe-se que
DC mede 14dm, BE mede 8dm e DE mede 18dm.
24. (G1 - ifal 2012) Assinale a alternativa falsa.
a) Os triângulos ABC e DEC são semelhantes.
b) Os triângulos ABC e CDE são semelhantes.
c) CD  2.AD.
d) A razão de semelhança é
3
.
2
e) O lado BC mede 24dm.
ˆ e
ˆ BCA
25. (Ufpe 2011) Na figura abaixo AB  AD  25, BC  15 e DE  7. Os ângulos DEA,
ˆ são retos. Determine AF.
BFA
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26. (G1 - epcar (Cpcar) 2011) A figura abaixo representa o logotipo que será estampado em
450 camisetas de uma Olimpíada de Matemática realizada entre os alunos do ―Colégio Alfa‖.
Essa figura é formada por um círculo de centro O inscrito num triângulo isósceles cuja base
BC mede 24 cm e altura relativa a esse lado mede 16 cm
O círculo será pintado com tinta cinza e sabe-se que é necessário, exatamente, 1 pote de tinta
cinza para pintar 5400 cm2 .
Adote π  3
Com base nesses dados, é correto afirmar que o número de potes necessários para pintar o
círculo em todas as camisetas é igual a
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
27. (G1 - ccampos 2011) Na figura abaixo, O é o centro de uma circunferência que tangencia o
segmento BQ no ponto T. Considerando também que o segmento BA é perpendicular ao
segmento AO, que M é o ponto médio do segmento AO e que BM = 4.MT , determine a medida
^
do ângulo TMO
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28. (Unemat 2010) No triângulo equilátero ABC, os pontos M e N são respectivamente pontos
médios dos lados AB e AC .
O segmento MN mede 6 cm.
A área do triângulo ABC mede:
a) 18 3 cm2
b)
c)
d)
e)
24
30
30
36
2 cm2
2 cm2
3 cm2
3 cm2
29. (Fuvest 2010) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além
disso, o ponto D pertence ao cateto AB , o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F
pertence à hipotenusa AC , de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE =
3
, então
2
a área do paralelogramo DECF vale
a)
b)
c)
d)
e)
63
25
12
5
58
25
56
25
11
5
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30. (Ufg 2010) As ―Regras Oficiais de Voleibol‖, aprovadas pela Federação Internacional de
Voleibol (FIVB), definem que a quadra para a prática desse esporte deve ser retangular,
medindo 18 m de comprimento por 9 m de largura.
A rede, colocada verticalmente sobre a linha central da quadra, deve ter uma altura de 2,43 m
para jogos profissionais masculinos. Em cada campo da quadra há uma linha de ataque,
desenhada a 3 m de distância da linha central, marcando a zona de frente, conforme a figura a
seguir.
Durante um jogo profissional masculino, um jogador fez um ponto do seguinte modo: estando
sobre a linha de ataque de seu campo, saltou verticalmente batendo na bola no ponto H,
fazendo-a descrever uma trajetória retilínea, passando rente ao topo da rede, no ponto R,
tocando a quadra exatamente num ponto B, pertencente à linha de fundo do campo adversário.
Segundo as condições descritas, calcule a altura, AH, que o jogador alcançou para conseguir
fazer o ponto.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
02 + 04 = 06.
[Resposta do ponto de vista da disciplina de Química]
[02] As proporções iguais entre massa final e inicial de cada pedaço de palha de aço queimado
se devem à Lei de Proust (proporções fixas).
[04] Se João queimar completamente o terceiro pedaço, a massa final do mesmo deverá ficar
em torno de 18,9 g.
Pr imeiro pedaço (10,0 g) :
mapós a queima  10,5 g
10,5  10,0
 0,05  5 %
10
Segundo pedaço (12,0 g) :
mapós a queima  12,6 g
12,6  12,0
 0,05  5 %
12
Terceiro pedaço (18,0 g) :
mapós a queima  m
m  18,0
 0,05
18
m  18,9 g
[Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática]
[16] Falsa, pois a razão de semelhança será
18

10
9
3

.
5
5
Resposta da questão 2:
[C]
Pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo ABC, encontramos facilmente AC  20 m.
Os triângulos ABC, CDE, EFG,
é igual a
CD
AB

são semelhantes por AA. Logo, como a razão de semelhança
12 3
45
 , segue-se que AC  20 m, CE  15 m, EG 
m,
4
16 4
constituem uma
progressão geométrica cujo limite da soma dos n primeiros termos é dado por
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20
 80 m.
3
1
4
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Resposta da questão 3:
[B]
Sejam r e R, respectivamente, o raio da circunferência inscrita e o raio da circunferência
r 1
circunscrita ao triângulo ABC. Sabendo que
 , vem
R 2
2
πr 2
2
1
r
 1
     .
2

R


2

4
πR
Com os dados fornecidos podemos encontrar apenas a equação da reta suporte da outra
diagonal. Portanto, nada se pode afirmar sobre o perímetro do quadrado.
Seja a medida do lado do quadrado ABCD. Como os triângulos PRQ e PAB são
semelhantes por AA, tem-se que
24 


24
36

72
cm.
5
Por conseguinte, a área hachurada é dada por
2
36  24  72 
    225cm2 .
2
 5 
Resposta da questão 4:
Considere a figura.
O trajeto ACDB tem comprimento mínimo quando B, D e H são colineares. Com efeito, se D'
é um ponto da reta DK e C' é o pé da perpendicular baixada de D' sobre a reta HK ', então,
pela Desigualdade Triangular, BD'  D'H  BD'  AC'  BD  DH  BH.
Portanto, como os triângulos BDK e DHC são semelhantes por AA, segue-se que
DK
CH

BK
CD

DK
18  DK

5
2,5
 DK  12km.
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Resposta da questão 5:
[E]
Desde que os triângulos ACE e BCD são semelhantes por AA, vem
CD

CE
BD
AE
CD


CD  3
 CD  12.
4
5
Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ACE, encontramos
2
2
2
2
AC  AE  CE  AC  52  152
 AC  5 10.
Resposta da questão 6:
[E]
Seja (AEF)  2S. Pela simetria da figura, temos (EBDF)  (BDHG)  S. Além disso, os
triângulos AEF e ABD são semelhantes por AA.
Portanto, como
(ABD)  (AEF)  (EBDF)  3S,
tem-se
2
(AEF)  x 
2S  x 
  
 
(ABD)  b 
3S  b 

2
x
6

,
b
3
que é o resultado pedido.
Resposta da questão 7:
[D]
Seja
a medida do lado do quadrado DEFG.
Os triângulos ABC e AEF são semelhantes por AA.
Portanto,
40

24 
 120  5  3
24
  15cm,
que é um múltiplo de 5.
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Resposta da questão 8:
[D]
Considere a figura.
É fácil ver que os triângulos BFE e DGC são semelhantes por AA. Portanto, se
do lado do quadrado, temos
2

8
2

é a medida
 16   4.
Resposta da questão 9:
a) Supondo que CAB  BED  90, é fácil ver que os triângulos ABC e EBD são
semelhantes por AA. Desse modo, temos
AC
ED

AB
BE
x 24

2 2,5
 x  19,2 m.

b) Queremos mostrar que BM  2  ME.
De fato, sabendo que D e E são pontos médios de AB e AC, respectivamente, tem-se que
1
DE é base média do triângulo ABC e, portanto, DE   BC e DE BC. Em consequência,
2
os triângulos DEM e BCM são semelhantes por AA. Daí,
BM
ME

BC
DE
BC
1
 BC
2
 BM  2  ME.

BM
ME

Resposta da questão 10:
[D]
Δ I ~ Δ III 
z 2x

 z  2y
y
x
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Calculando a área de cada figura, temos:
z  2x
AI 
 2xy
2
A II  2x  y
A III 
xy
2
Portanto, a área da figura I é igual à área da figura II.
Resposta da questão 11:
[C]
O triângulo ADE é isósceles, logo AD = 8m.
O triângulo ABC é semelhante ao triângulo ADE, portanto:
2
x

 8x  24  x  3m
8 12
Resposta da questão 12:
[C]
Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre BC, e D é o ponto
em que o lado AC tangencia a circunferência de centro em O.
Como OH  OD  3cm e AH  8cm, segue que AO  5cm. Logo, AD  4cm. Além disso, os
triângulos AHC e ADO são semelhantes por AA e, assim,
AD
AH

DO
HC

4
3

8 HC
 HC  6cm.
Portanto, como H é o ponto médio de BC, segue-se que BC  12cm.
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Resposta da questão 13:
[A]
Sabendo que a altura é proporcional ao comprimento da sombra projetada, segue-se que a
altura h do pau de sebo é dada por
h
1

 h  5 m.
125 25
Resposta da questão 14:
[C]
y  18  0,5  9km
Logo,
x2  92  152  x  12km
Depois de uma hora de viagem as distâncias serão dobradas, portanto, a distância entre os
navios B e C será de 30km.
A velocidade do navio C é de 12km a cada meia hora, ou seja, 24km / h.
Resposta da questão 15:
02 + 04 + 08 + 16 = 30.
01) Falsa. Seria possível se a altura do triângulo tivesse a mesma medida que sua base.
02) Verdadeira, pois
A AECD  AEDC  A AECD  ABEC
A ADE  A AECD  AEDC
como A BEC  AEDC , temos A AECD  A ADE
04) Verdadeira. Área do triângulo MEC é menor do que a metade da área do triângulo ABC
(área do triângulo MBC). Observe na figura:
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8) Verdadeira. O volume do octaedro é o dobro do volume da pirâmide
V = 2.(1/3).x2.h
V = 2.(1/3).72.6
V = 288 cm3
16) Verdadeira, pois esta propriedade define um losango.
Resposta da questão 16:
02 + 04 + 16 = 22.
[01] Incorreto. Como DE é uma base média do triângulo ABC, é fácil ver que os triângulos
ABC e EBD são semelhantes, com razão de semelhança igual a 2.
[02] Correto. Pela Fórmula de Heron, temos
(ABC) 
 11
 11

11  11
  4   2   5 
22
 2
 2


11 3 7 1
  
2 2 2 2

231
4
256
4

 4cm2 .
[04] Correto. Como ABC e EBD são semelhantes, basta mostrar que ABC é obtusângulo.
De fato,
2
2
2
AB  BC  AC  52  42  22.
[08] Incorreto. Do item [04] sabemos que ABC é obtusângulo. Portanto, segue-se que o
circuncentro de ABC não está no seu interior.
[16] Correto. Do item [01], temos
(ABC)
 22  4.
(EBD)
Daí, como (ABC)  (EBD)  (AEDC), segue que (AEDC)  3  (EBD).
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Resposta da questão 17:
a) O raio da circunferência é
80
 40 .
2
b) Admita PQ = x
BQ2  402  802  BQ  40 5
ΔPOM ~ ΔMQB, logo:
MQ
40

80
40 5
5MQ  80
MQ  16 5
Logo, MQ  32 5
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Resposta da questão 18:
[A]
Considere a figura.
Sejam Q, S e H, respectivamente, o pé da perpendicular baixada de P sobre BC, a
interseção de AM com DP e o pé da perpendicular baixada de M sobre CP.
Queremos calcular PQ.
Como AB  AP  4cm, MD  MP  2cm e AM é lado comum, segue-se que os triângulos
ADM e APM são congruentes por LLL. Desse modo, AM é mediatriz de DP.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo APM, vem
2
2
2
2
AM  AP  MP  AM  42  22
 AM  2 5 cm.
Além disso, temos
2
MP  AM  MS  22  2 5  MS
 MS 
2
5
cm.
É fácil ver que o triângulo CPD é retângulo em P. Logo, HP  MS. Por outro lado, CM  MP e
4
HM  CP implica em CH  HP. Daí, CP  2  HP 
cm.
5
Finalmente, como os triângulos HMP e QCP são semelhantes, encontramos
4
PQ
5



2
2
HP MP
5
4
 PQ  .
5
PQ
CP
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Resposta da questão 19:
[C]
É fácil ver que os triângulos AEC e BED são semelhantes. Logo,
AF
BF

AC
BD



AF
BF

4
6
AF  BF
AF
AF
AF  BF

23
2

2
.
5
Além disso, como os triângulos AEF e ABD também são semelhantes, vem
AF
AB

EF
BD


AF
AF  BF

EF
6
EF 2

6
5
 EF  2,4 m.
Resposta da questão 20:
[E]
Considere a figura.
Sabendo que BE  DF  7 m e BF  DE m  3, segue que AE  t  7 e CF  s  3. Logo, como
os triângulos AED e DFC são semelhantes, vem
CF DF
s3
7



3
t

7
DE AE
3t
s
.
t7
Além disso, como a área da piscina é 50 m2 e s  t, encontramos
s  t  100 
3t
 t  100
t7
 3t 2  100t  700  0
 t  23,33.
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Resposta da questão 21:
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é igual a 360 e que
os ângulos ABC e ADC são retos, temos que o quadrilátero ABCD é inscritível. Além disso,
como AC  BD, segue que DE  EB e, portanto,
2
DE  EB  AE  EC  DE  18  32
 DE  9  2  32
 DE  3  8
 DE  24cm.
Desse modo, como AE  18  3  6 e DE  24  4  6, vem que AD  5  6  30. Por outro lado,
como EC  32  4  8 e DE  24  3  8, obtemos CD  5  8  40.
Portanto, como os triângulos ABE e ADE são congruentes, bem como os triângulos BCE e
CDE, vem
AB  BC  CD  DA  2  30  2  40  140cm.
Resposta da questão 22:
[E]
Determinando o valor de k no triângulo XZP:
K2 = 1202 + 1602
K = 200 km.
ΔXZP ΔXDY
200 120

 2d  360  d  180km
300
d
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Resposta da questão 23:
[C]
Como os triângulos ABC e APN são semelhantes, conclui-se que AP = PB = 5/2.
AC2 = 132 – 52
AC = 12
senα 
12
13
Cálculo de h,
senα 
12
13
h 12
30

h
5 13
13
2
Portanto, a área do paralelogramo é A =
13 30
.
 15 .
2 13
Resposta da questão 24:
[B]
ΔCDE ~ ΔCAB 
14
CE
18 2


  AC  21 e CE  16.
AC CE  18 27 3
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Resposta da questão 25:
Considere a figura.
Como AB  25  5  5 e BC  15  5  3, segue que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo
retângulo de lados 5, 3 e 4. Logo, AC  5  4  20.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ADE, vem
2
2
2
2
AD  DE  AE  AE  252  72
 AE  576
 AE  24.
Como os triângulos ADE e BGC são semelhantes por AA, temos que
GC BC
15  7 35

 GC 

.
24
8
DE AE
35 125

.
8
8
Por outro lado, os triângulos ADE e AGF também são semelhantes por AA. Desse modo,
125
 24
AF AG

 AF  8
 15.
25
AE AD
Logo, AG  AD  GC  20 
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Resposta da questão 26:
[A]
AC2  162  122  AC  20
ΔAOD ~ ΔACM 
R 16  R

R6
12
20
Área que será pintada.
A = A  450.π.R2  450.3.62  48600cm2
Número de potes =
48600
9
5400
Resposta da questão 27:
Os triângulos MTO e MAB são semelhantes, logo:
Logo, no triângulo MTO, temos: cos α 
k
a

 a2  4k 2  a  2k .
a 4k
k
1
  α  60o .
2k 2
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Resposta da questão 28:
[E]
 AMN ~  ABC
logo, BC = 2.6 = 12
Área do  ABC =
12 2 3
= 36 3 cm2
4
Resposta da questão 29:
[A]
(AC)2 = 42 + 32  AC = 5
3
x y 2
∆DBE ~ ∆ABC     x = 1,2 e y = 0,9
4 3 5
A base do paralelogramo será 3 – 0,9 = 2,1 e sua altura será x = 1,2
Logo sua área será A = 2,1. 1,2 =
21 12 252 63
 

10 10 100 25
Resposta da questão 30:
Como AC PD, pelo Teorema de Tales segue que
AP CD
AP 3 1


  .
PB DB
PB 9 3
Os triângulos HAB e RPB são semelhantes. Portanto,
HA AB
HA AP  PB
HA
4




  HA  3,24 m.
2,43 3
RP PB
RP
PB
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