Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas
Diagramas de Força Cisalhante e
Momento Fletor
Prof. Ricardo R. Fragelli
Setembro, 2004
Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas
Prof. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
• Ao analisar as forças atuantes nos elementos de uma treliça,
verificamos, através do método das seções, que as forças são axiais em
toda a barra.
Veja:
A’ a
A
B
F
F
a
Corte a-a:
F A
A’ F
F A’
B F
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• Nos elementos de uma estrutura qualquer, os pontos internos não estão
sempre submetidos somente a forças axiais.
• Estudaremos a seguir os esforços internos em uma viga submetida a
carregamentos não axiais.
• Considere a viga seguinte:
F1
A
F2
A’ a
a
F3
B
F4
F5
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• Ao fazermos o corte a-a devemos adicionar as reações que a parte da
viga secionada realizava sobre a viga restante.
• Em geral, a viga secionada resiste à translação em x e y, além de
resistir a uma tendência de rotação em relação ao eixo z (perpendicular
ao plano xy).
F1
F2
F2 V
A
A A’
F1
M
F3 M
F3
B
a
A’
A’
N
N
a
V F4
B
F5
F4
F5
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• As reações N, V e M são explicadas a seguir:
– N é conhecida como força normal ou axial e é responsável pela tração ou
compressão do elemento;
– V é a força cortante ou cisalhante, responsável pela tendência de “corte”
da viga;
– M é conhecido como momento fletor e é responsável pela flexão da viga.
• Em geral, os esforços V e M são mais importantes no projeto de uma
estrutura do que N. Basta imaginar uma régua, você conseguiria
quebrá-la por tração? Para quebrar a régua, basta entortá-la. Nesse
caso, dizemos que a régua quebrou devido ao momento fletor.
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• Convenciona-se adotar os seguintes sentidos positivos para V e M.
• (i) Força cisalhante (V>0)
A’ a
A
B
a
Corte a-a:
A
A’ V
Análise do lado esquerdo, V para cima
A’
B
V
Análise do lado esquerdo, V para baixo
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• Convenciona-se adotar os seguintes sentidos positivos para V e M.
• (ii) Momento fletor (M>0)
A’ a
A
B
a
Corte a-a:
A
A’
A’
M
Análise do lado esquerdo, V para cima
B
M
Análise do lado esquerdo, V para baixo
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• Como dito anteriormente, no projeto de uma viga, as forças
cisalhantes e momentos fletores são geralmente mais importantes
que as forças axiais e, portanto, estes serão os objetos de nosso
estudo.
• No exemplo seguinte, vamos calcular os valores de V e M em pontos
específicos de uma viga. Em seguida, vamos introduzir o estudo do
comportamento de V e M ao longo de uma viga.
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Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D.
10N
Ba C
A
5N
a
1,0m
E
D b
b
1,0m
1,0m
1,0m
5N
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DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D.
10N
Ba C
A
5N
a
1,0m
1,0m
Corte a-a:
A
5N
1,0m
5N
 MB=0  M=5N.m
Corte b-b:
V
B
 Fx=0  N=0
 Fy=0  V=5N
b
1,0m
Análise de Equilíbrio do corte a-a:
E
D b
N
A
M
5N
10N
C
V
D
N
M
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Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D.
10N
Ba C
A
5N
a
1,0m
1,0m
Corte a-a:
A
5N
1,0m
5N
 MD=0  M=-5N.m
Corte b-b:
V
B
 Fx=0  N=0
 Fy=0  V=-5N
b
1,0m
Análise de Equilíbrio do corte b-b:
E
D b
N
A
M
5N
10N
C
V
D
N
M
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• Visto que o cálculo de V e M é fundamental para o projeto de vigas
(e todo tipo de estrutura ou elemento que contenha carregamento
transversal), deve-se estudar o comportamento dessas variáveis ao
longo da viga.
• Para realizar esse estudo, basta que se faça cortes para distâncias
arbitrárias em toda a extensão da viga. Estas seções devem ser
estudadas em regiões determinadas pelo surgimento ou término de um
novo carregamento (força concentrada, carga distribuída ou momento
binário).
• É conveniente fazer os gráficos de V e M logo abaixo da
representação gráfica do problema (desenho da viga).
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Exemplo 2) Faça os diagramas de força de cisalhamento e momento
fletor da viga abaixo:
10N
B
A
5N
2,0m
C
2,0m
5N
Existem duas regiões de corte, uma entre os pontos A e B e
outra entre B e C. Teremos, portanto, duas funções para V(x) e
duas para M(x).
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Exemplo 2)
10N
a
B
Primeiro corte: (a-a)
A
5N
2,0m
C
5N
2,0m
x
A’
A
a
5N
x
V
N
M
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Exemplo 2)
A’
A
5N
x
V
Análise de Equilíbrio do corte a-a:
N
M
* Válido para (0<x<2)
 Fx=0  N=0
 Fy=0  V=5N
 MA’=0  M=5x
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Exemplo 2)
Segundo corte: (b-b)
10N
B
A
5N
2,0m
b
5N
2,0m
x
A
5N
10N
B
x
B’
b
V
N
M
C
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Exemplo 2)
A
5N
10N
B
x
B’
Análise de Equilíbrio do corte a-a:
V
N
M
* Válido para (2<x<4)
 Fx=0  N=0
 Fy=0  V(x)=-5N
 MA’=0  M(x)=-5x+20
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10N
Exemplo 2)
Diagramas de V e M:
A
5N
V [N]
C
B
2,0m
2,0m
5N
M [N.m]
5.0
10.0
2.0
4.0
x [m]
2.0
-5.0
4.0 x [m]
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• Existe uma relação diferencial entre V(x) e M(x), vamos demonstrála agora.
• Considere uma seção de uma viga sujeita a um carregamento
distribuído w(x):
w(x)
M(A)
N(A)
A
A’ a
b B’
a
V(A)
b
x
V(B)
B
N(B)
M(B)
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• Fazendo dois cortes em A’ e B’, distanciados em x, podemos estudar o
comportamento de V(x) e M(x) sob a ação do carregamento distribuído
w(x). Considerando x suficientemente pequeno, podemos considerar a
variação do carregamento desprezível.
w(x)
M(A)
N(A)
A
A’ a
b B’
a
V(A)
b
x
V(B)
B
N(B)
M(B)
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• Fazendo o estudo de equilíbrio da viga restante (lembrando que x é
tão pequeno quanto se queira), seção entre A’ e B’, temos que:
Análise de Equilíbrio:
 Fx=0  N(x+x)=N(x)
w(x)
 Fy=0  V(x +x)-V(x)=-w(x) x
M(x)
A’
B’
N(x)
V(x)
x
V(x+x)
 MB’=0  M(x +x)-M(x)=V(x) x
N(x+x) Fazendo x  0, temos que
M(x +x)
V’(x) = -w(x)
e
M’(x) = V(x)
Por outro lado, integrando em relação a x
entre A e x:
x
V(x) = V(A) -  A w(x) dx
x
M(x) = M(A) + A V(x) dx
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Exemplo 3) Faça os diagramas de força de cisalhamento e momento
fletor da viga abaixo:
20N/m
B
A
Ay
10m
By
Existe apenas uma região de análise, portanto, existe apenas
uma função para V(x) e uma para M(x).
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Exemplo 3)
20N/m
B
A
Ay
10m
By
Antes de encontrar as equações para V(x) e M(x), devem ser calculadas
as reações Ay e By. Para isso, basta transformar a carga distribuída em
uma força concentrada aplicada no centróide de área do carregamento.
Neste caso, a figura é um retângulo e, portanto, a força resultante é igual
a sua área, i.e., F=200N aplicada em x = 5m.
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Exemplo 3)
20N/m
B
A
100N
10m
100N
Sendo assim, como existe simetria no problema, Ay = By = 100N.
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Exemplo 3)
20N/m
B
A
100N
10m
Como w(x)=20, temos que:
x
V(x) = V(A) - A w(x) dx  V(x) = 100 - 20x
0
x
M(x) = M(A) + A V(x) dx  M(x) = 100x - 10x2
100N
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20N/m
Exemplo 3)
Diagramas de V e M:
B
A
100N
V [N]
100N
10m
M [N.m]
100
V(x) = 100 - 20x
5.0
M(x) = 100x - 10x2
250
10.0
x [m]
5.0
-100
10.0 x [m]
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Para complementar o estudo, não deixe de acessar as aulas
interativas em Flash.
O conteúdo mostrado aqui é suficiente para resolver os problemas
referentes a este assunto, contudo, depende do aluno não limitar o
seu conhecimento a isto. Foram colocados textos e artigos mais
aprofundados no assunto, bem como possíveis paradoxos e desafios
que serão discutidos no Fórum. Para testar o seu potencial de
resolução faça os exercícios da lista.
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(dúvidas? [email protected])
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