Formulação Diferencial
das Equações de
Transporte
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Forma Integral das Equações de Transporte
• O TTR permite escrever as Equações de Transporte
a partir do conceito de Volume de Controle:
(
)
 
d
 b d   b  n  Vr dA   J  dA   f  d
dt VC
SC
SC
VC


Source S
b
(B/M)
Source
Massa
1
0
Movimento
V

T

ndA


g

 d
SC
1a Lei
e
V C

 

  q k  ndA   n  T V dA   q   d
(
SC
2a
Lei
s
SC
)
VC

 q k  
 q  
  
  ndA   
  d  Ps
T
T




SC
VC
J e f são fontes genéricos associados a SC e ao VC
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Teorema de Gauss
• O Teorema de Gauss transforma a avaliação de
uma integral de superfície em integral de volume.
• Ele aplica-se a grandezas escalares, vetoriais e
tensorias:

 (n   )  dA
SC
(
)
  ( )  d
VC
(
)

 
 n  V  dA     V  d
SC
VC

 (n  T )  dA   (  T )  d
SC
VC
 é o operador nabla, f é o gradiente de um escalar (vetor); xV é
o rotacional de um vetor (vetor) e .T é o divergente de um tensor
(vetor)
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Aplicação do Teorema de Gauss
• Aplicando o Teorema de Gauss à Equação de
Transporte vamos transformar os termos de
superfície em volume:
(
)
 
d
 b d   b  n  Vr dA   J  dA   f  d
dt VC
SC
SC
VC


Source S
 Te ore m ade Gau ss

 d(b )





V

b



J

f
d  0
 


VC  dt
(
)
A transformação é válida para V.C. não deformáveis, isto
é, seu volume não varia com o tempo.
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Forma Diferencial

  (b )

   V  b    J  f d  0
 

VC  t
(
)
• Como representação Integral acima o tamanho do
VC é arbitrário, para a identidade ser válida para
qualquer volume é necessário que seu argumento
seja nulo!

 (b )



V

b



J

f




t
fonte de
fonte de

(
transiente
convectivo
)
Superfície
Volume
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Equação Diferencial da Massa
• A equação da Massa é obtida fazendo-se b = 1 e
J = f = 0,
( )


   V  0
t
• Note que para fluidos incompressíveis, isto é, 
constante, ela se reduz para:

V  0
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Equação Diferencial da Q. Movimento
• A equação da Q. Movimento é obtida fazendo-se
b =V, J = T e f = g,
( )



 V
   VV    T  g
t
(
)
• A Equação da Q. Movimento é vetorial, possui 3
componentes,
• Todos os termos possuem unidades de
Força/Volume (N/m3)
• O termo VV é um produto diádico, possui
natureza tensorial e representa o fluxo de Q.
movimento que cruza a S.C.
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Equação da Diferencial da Energia ‘e’
• A equação da Energia é obtida fazendo-se b = e,
J = -qk + T.V e f = q’’’;



 (e )
   Ve    q k    T V  q 
t
( )
(
)
• O lado esquerdo representa o transporte da
energia.
• O lado direito representa os termos de calor e
trabalho (1a lei) e também um fonte de energia
volumétrico
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Equação Diferencial da 2a Lei
• A 2a Lei é obtida fazendo-se b = s, J = -qk/T e f =
q’’’/T,


q k
 (s )
q 
   Vs   

 Ps
t
T
T
( )
• Os primeiro e segundo termos (lado direito)
referem-se à produção ou à destruição de s
devido a transferência de calor na fronteira e
devido a geração de energia internamente ao
volume.
• O último termo refere-se a produção de entropia
devido as irreversibilidades do sistema.
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Forma Conservativa e Não-Conservativa

 (b )
   V  b    J  f
t
(
)
• A equação de transporte acima está na sua forma
Conservativa. Os termos transiente e convectivos
podem ser desdobrados :
( )
 


b

b     V   
 V  b    J  f
t 
t

0
• Nota-se que a forma Conservativa mantinha
implicitamente a equação da massa. Após a
simplificação chega-se a forma Não-Conservativa

b

 V   b    J  f
t
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Derivada Substantiva ou Total
b 


 V  b 
 t

• Em cinemática o termo acima tem um significado
especial.
• Ele coincide com a taxa de variação de uma
propriedade seguindo uma partícula, isto é, a partir
de um referencial Lagrangeano.
Db
b 



 
 V  b 
Dt
 t

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Equação Diferencial da Massa
( )


   V  0
t
• Desmembrando o segundo termo da equação vamos
encontrar:


 
D
 V    V  0 ou
   V  0
t
Dt

D Dt
• Para regime permanente e um fluido incompressível,
a sua densidade não varia ao longo de uma linha de
corrente, logo D/dt =0 portanto:

V  0
Veja discussão sobre escoamento estratificado no material do curso
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Função Corrente e Eq. Massa
(Lagrange 1781)
• A função corrente  é um conceito matemático, tal que
o escalar  deve sempre satisfazer a equação da
massa.
• A equação da massa 2D e incompressível, para um
sistema cartesiano ou polar, reduz para:
 A definição da função corrente é:
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As Linhas de  e as Linhas de Corrente
• Para coordenadas cartesianas,


d 
dx 
dy   v  dx  u  dy
x
y
• Para  = constante, d  = 0 e
u
dx
0
v

dy
ou
0
dy
dx
0
v

u
• Note que a sua definição coincide com a definição de
linha de corrente; somente para regime permanente.
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Tubo de Corrente
• Duas linhas de corrente definem um tubo de corrente,
pq não há velocidade normal às linhas por definição!
• Considere dois tubos espaçados por uma distância
Dx,Dy, a vazão volumétrica que passa por eles é:
y
2
Dy>0
1
(
)
 
Q   V  n dA   (uDy  vDx)   d
 Q   2  1
Dx<0
x
• A diferença entre duas linhas de
corrente define a vazão no tubo!
• Deve-se atribuir um valor a uma
única linha de corrente, os
valores das demais vem da
integração.
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A Função Corrente  e a Vorticidade
• Para escoamentos 2D a vorticidade se reduz a apenas
uma componente:

u v        
   
  z 

 

y x y  y  x  x 
2
z   
• Então para um escoamento 2D e irrotacional a função
corrente é determinada satisfazendo a equação de
Laplace:
 2  0
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Equação Diferencial da Q. Movimento
Forma Não-Conservativa
( )



 V
   VV    T  g
t
(
)
• Desmembrando os termos de transporte e
eliminando a equação da massa encontra-se:
( )




 V


DV

 V  V     T  g ou 
   T  g
Dt
 t

• A derivada total da velocidade DV/Dt dá a
aceleração seguindo uma partícula!
• Note que a derivada total resgata o conceito da
análise de Sistemas pois ele segue uma partícula
infinitesimal com identidade fixa!
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1a e 2a Leis Forma Não-Conservativa
• De maneira similar a equação da massa e Q. de
movimento, os termos transiente e convectivos
podem ser desmembrados , a equação da massa
eliminada e gerando a forma não conservativa da
1a e 2a leis:
(
)


De

    q k    T V  q
Dt

qk
Ds
q 

  

 Ps
Dt
T
T
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Notas Finais da Parte II
• As equações de transporte, especificamente a
Quantidade de Movimento, Energia e 2a Lei estão
expressas em função do campo de tensões T.
• Não é possível resolvê-las nesta forma porque
não se conhece como o campo de tensão se
comporta com o campo de velocidades.
• É necessário estabelecer as equações
constitutivas para o fluido onde será modelado
como a tensão varia com o campo de
velocidades, nosso próximo tópico.
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Parte III
Equações Constitutivas
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Introdução
• Por equação constitutiva entende-se ‘modelos’ que
expressam uma variável em função de outra.
• Por exemplo, a tensão em função da taxa de deformação
do fluido.
• Estes ‘modelos’ não são leis físicas mas podem
representar sob condições estabelecidas o
comportamento físico do fluido.
• Nesta seção serão desenvolvidas equações constitutivas
para a
– Tensão T no fluido ,
– Taxa de Calor por condução no fluido, qk.
• Das duas equações a mais envolvente é a equação
constitutiva para tensão, vamos começar por ela.
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Sobre a Natureza da Tensão T
• As tensões que agem no fluido podem ser
Normais ou Cisalhantes;
• Além disto, no estado estático (sem movimento
relativo) só agem tensões normais enquanto que
para fluido em movimento surgem tensões
normais e cisalhantes devido ao atrito
(deslizamento) entre as camadas de fluido.
• A tensão T é divida em duas partes, uma devido
a pressão P (forças normais) e outra denominada
por desvio da tensão, T’ associada ao
movimento relativo das partículas no fluido:
T   P T 
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A Pressão
• A pressão é um tensor isotrópico, isto é, ela não
depende da orientação, seus elementos da diagonal
são iguais e fora da diagonal são nulos, por isto o
tensor pode ser representado por um único escalar:
PDA
P
P  0
0

0
P
0
0
0

P
PDy
PDx
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Propriedades do Tensor Desvio das
Tensões, T’
• O tensor desvio das tensões existe
somente se houver movimento relativo
entre as partículas de fluido.
• Ele possui tensões normais e
cisalhantes,
• Ele é simétrico, isto é, os elementos fora
da diagonal são idênticos, T’ij = T’ji
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Similaridades Sólido - Fluido
• Uma tensão aplicada a um corpo sólido causa uma
deformação, lei de R. Hooke (1635-1703)
d
G
dy
Coeficiente
Lamé (N/m2)
Deformação
• Fluido se deforma continuamente quando sujeito a
uma tensão. Newton propôs, por similaridade, que a
tensão é proporcional a taxa de deformação

(d dt )
dy
viscosidade
(N.s/m2)

du
dy
Taxa
Deformação
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Viscosidade Dinâmica (Absoluta)
• Fluidos Newtonianos (água, todos os gases e maioria dos
líquidos) são aqueles que apresentam uma relação linear
entre a tensão e a taxa de deformação.
xy
(N/m2)

 N s
 kg 

ou 
2 

du / dy  m 
 m  s 
du/dy (1/s)
• A viscosidade  é uma propriedade do fluido e tem
natureza escalar.
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Extensão para Escoamentos 3D
• A lei de Newton pode ser
estendida para escoamentos
3D a partir do conhecimento
da taxa de deformação
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Tensor Deformação, Dij
 Em notação indicial, o tensor deformação, Dij, é
definido por
D i, j
 D11
u i

 D 21
D
x j
 31
D12
D 22
D 32
 u
 x
D13  
v
D 23   
D 33   x
w

 x
u
y
v
y
w
y
u 
z 
v 
z 
w 

z 
 Em notação vetorial,
T
T
D  gradV ou D  V
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Operação com Tensores
 Qualquer tensor pode ser decomposto em uma
parte simétrica e outra anti-simétrica:
D i, j
(
)
(
)
1
 D i, j  D j,i 
2 


1
D i, j  D j,i
2 


Tensor Simétrico
Tensor Anti - Simétrico
 Como T’ é um tensor simétrico ele é
proporcional a parte simétrica do tensor
Deformação (paralelo a lei de Newton)
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Decomposição do Tensor Deformação

u
1  u v  1  u w  
1  u v  1  u w 


  


0

 
 





x
2

y

x
2

z

x
2

y

x
2

z

x









 
 1  v u 
v
1  v w    1  v u 
1  v w  
 
      
 
 
0
   
2

x

y

y
2

z

y
2

x

y
2

z

y


  



 
 1  w u  1  w v 
  1  w u  1  w v 

w








0


 
  





z
 2  x z  2  y z 
  2  x z  2  y z 



 


TENSOR SIMÉTRICO
TENSOR ANTI -SIMÉTRICO
1. A diagonal do tensor simétrico está
associada a dilatação linear do elemento
2. Os elementos fora da diagonal do tensor
simétrico estão associados a deformação
angular
3. Os elementos do tensor anti-simétrico estão
associados a rotação do elemento fluido.
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O Tensor, Sij
• O tensor S é a parte simétrica do tensor
deformação D.
• Ele existe devido ao movimento relativo do fluido
que causa deformações normais e angulares ao
elemento de fluido.
S
(
1
V  V T
2
)
são tensores que representam o gradiente de
velocidades e seu transposto V e V T
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Equação Constitutiva
para Fluido Newtoniano
• Para fluidos incompressíveis ( constante)
T   P I 2 S
• Para fluidos compressíveis

2
T  P I 
  V I  2 S
3 


ou
T

2

T   P 
  V  I  2 S
3


• Onde I é o tensor identidade
1
I  0
0

0
1
0
0
0
1
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Porque Tensão e Deformação são
Linearmente Dependentes?
• A relação  = du/dy é um modelo! Portanto não
há razão alguma que na natureza os fluidos
devam seguir este modelo.
• Entretanto, os gases seguem este modelo;
• Água, óleos em geral e uma grande maioria de
líquidos podem ser bem representados por este
modelo;
• Mas há líquidos que não são representados:
tintas, fluidos biológicos, emulsões em geral.
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Fluidos Newtonianos Generalizados
• Eles descrevem fluidos com comportamento nãolinear tensão x deformação mas não reproduzem
efeitos de:
– tensão normal,
– efeitos dependentes do tempo,
– ou efeitos elásticos
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Fluidos Newtonianos Generalizados
• A relação ‘mais’ geral entre
tensão e deformação:
• n – índice de comportamento do escoamento.
• k – índice de consistência.
n = 1, fluido newtoniano, k =
n > 1, fluido dilatante
n < 1 fluido pseudo plástico
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• Shear thickening fluids of this sort are being researched for bullet
resistant body armor[2], useful for their ability to absorb the energy of a
high velocity projectile impact but remain soft and flexible while worn.
Some shear thickening fluids are also used in all wheel drive systems
utilizing a viscous coupling unit for power transmission.
• A familiar example of the opposite, a shear thinning fluid, or
pseudoplastic fluid, is paint: one wants the paint to flow readily off the
brush when it is being applied to the surface being painted, but not to
drip excessively.
• There are fluids which have a linear shear stress, shear strain
relationship, that requires a finite yield stress before they begin to flow.
That is the shear stress, shear strain curve doesn't pass through the
origin. These fluids are called Bingham plastics. Several examples are
clay suspensions, drilling mud, toothpaste, mayonnaise, chocolate,
and mustard. The classic case is ketchup which will not come out of
the bottle until you stress it by shaking.
• There are also fluids whose strain rate is a function of time. Fluids that
require a gradually increasing shear stress to maintain a constant
strain rate are referred to as rheopectic. An opposite case of this, is a
fluid that thins out with time and requires a decreasing stress to
maintain a constant strain rate (thixotropic).
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Effects of Rheology on Non-Newtonian Impact
•
At impact, the drop experiences a
large shear rate which rapidly
decreases as the drop deforms.
For non-Newtonian fluids, the
effective viscosity of the fluid
depends on the shear rate.
Therefore one would expect that
the effective viscosity of a shear
thickening fluid such as
cornstarch in water (images in
the middle) would behave like a
highly viscous fluid at shortly
after impact and would gradually
spread as a less viscous fluid as
time progressed.
Sure enough, the cornstarch / water mixture behaves more similar to the
highly viscous glycerol (images on the right) than the lower viscosity water
(images on the left) at short times.
However at later times, one sees that the cornstarch / water fluid spreads
out significantly faster than its glycerol counterpart - suggesting a lower
effective viscosity. Such experiments provide another method to investigate
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the rheology of complex fluids.
Viscosidade Aparente, h
• É uma conveniência matemática para ajustar a
forma de modelos lineares.
• Desmembrando a tensão em um termo linear e
outro com potência (n-1):
• A viscosidade aparente é h = k(du/dy)^(n-1).
• Note que ela não é mais propriedade do fluido
mas depende do campo de velocidades.
• Ela pode variar ponto a ponto dentro do campo
do escoamento
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Equação Constitutiva
para Fluido Newtoniano Generalizado
• Para fluidos incompressíveis ( constante)
T   P I 2h(S) S
• onde S é um escalar com dimensão de (1/s) e é
definido pelo produto escalar do tensor S
S
1 S:S
2
• e h é uma função tipo lei de potência de S,
h  kS(n  1)
S:S é o produto escalar entre dois tensores, veja definição em
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Bird, Stewart and Lightfoot
Campo da Reologia
tan = 
Mecânica dos Fluidos
Fluido Newtoniano
Comportamento
Puramente Viscoso Linear

tan = G

Mecânica dos Sólidos
Sólido Hookeano
Comportamento
Puramente Elástico Linear
du/dy
REOLOGIA
Fluidos comportamento
Não-linear
tensão x deformação
Materiais comportamento
Visco-elástico
Sólidos comportamento
Não-linear
tensão x deformação
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Difusão de Calor, Lei de Fourier
• A condução ou difusão de calor tem
natureza vetorial e é dada pela Lei de
Fourier:
qk  kT
W
 m 2 
• onde k é o coeficiente de condução ou
difusão térmica, W/moC.
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Difusão de Massa, Lei de Fick
• O fluxo de massa por difusão de uma espécie
química em outra é proporcional ao gradiente de
concentração mássica da espécie :
mj  D jw j
 kg 
 s.m2 
• onde m’’ é o vetor fluxo de massa (kg/(s.m2);
•  é a densidade da mistura;
• Dj é o coef. Difusão de massa, (m2/s);
• e wj é a fração mássica ou concentração do
componente j, wj = mj/M.
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Notas Finais
• As equações constitutivas para tensão, calor e
massa permitem que as equações de transporte
de Q. Movimento e Energia sejam escritas em
termos das variáveis básicas: Velocidades,
Pressão e Temperatura.
• Na Parte IV desta aula vamos retornar às
Equações de Transporte para fazermos esta
substituição e chegarmos a sua forma final!
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Retorno às Equações Diferencias de
Transporte
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Equação Diferencial da Massa
( )


   V  0
t

 
ou
 V    V  0
t

D Dt
• Note que para fluidos incompressíveis, isto é, 
constante, ela se reduz para:

V  0
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Equação de Navier Stokes
• A Eq. Transporte de Q. Movimento é:
( )



 V
   VV    T  g
t
(
)
• Substituindo a Eq. constitutiva da Tensão para fluido
Newtoniano vamos chegar às Equações de Navier-Stokes
(NS):




 V
2


   VV  P       V  2 S   g
t
 3

( )
• onde
(
)
(
T
1 
S  V  V
2
)
• A Eq. acima é válida para escoamentos compressíveis,
com viscosidade variável (regime laminar ou turbulento?)
• Filmes: (1), (2) e (3).
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Equação de Navier Stokes Compressível
• Para  constante e considerando a identidade:





T


2
  2 S    V  V   V     V
• vamos chegar às Equações de Navier-Stokes (NS)
para um fluido compressível com  constante:
( )





 V
1
2
   VV  P     V   V  g
t
3
(
)


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Equação Navier Stokes Incompressível
• Para  e  constantes temos que, .V =0, logo:
( )




 V
2
   VV   P   V  g
t
(
)
• Esta é a forma mais popular das Equações de
Navier Stokes: fluido incompressível e com
viscosidade constante.
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Equação de Transporte de ‘e’
•
A equação de transporte da Energia ‘e’, na sua
forma não-conservativa é:

De

   q k    T V  q 
Dt
Neste estágio é conveniente substituir T = -P+T’
e expandir os termos:
(
•
(
)
(
)
)


De

    P  V    T  V    q k  q 
Dt



  (PV )
  (T V )













 

De

  V  P  P  V  V    T   T  : V    q k  q 
Dt
T’:V é o produto ‘escalar’ entre o tensor desvio da tensão e o
tensor deformação do fluido, seu resultado é um escalar. Veja
definições no material impresso do curso
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Equação de Transporte de ‘e’
•
Para se chegar a forma final da Equação da
Energia é necessário definir:
1. As formas de energia que ‘e’ representa;
2. A difusão do calor, qk
3. O tensor das tensões no fluido e seus produtos
•
Estas tarefas serão feitas na seqüência.
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Modos de Energia ‘e’
•
•
•
Vamos considerar três modos de energia: interna,
cinética e potencial:
1    
e  uˆ  V  V  g  r
2
onde û é a energia interna, g a aceleração da
gravidade e r o vetor posição
A derivada total
em termos das
parcelas de ‘e’
fica sendo:
uˆ

Duˆ
Dt
( )
1  
D 1    D 
VV 
V
 V  V  V
2
Dt  2
Dt

 
gr
 D 
 
(r )  g  V
 g
Dt

 DV
 
De
Duˆ


 V 
 g  V
Dt
Dt
Dt
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Equação de Transporte da Energia Cinética, K
• Multiplicando-se ambos os lados da Eq. NS por V
vamos encontrar:

 DV



 
2


V 
  V  P  V       V  2 S   V  g
Dt
3

• A energia cinética K é:
(
)
 D 
D 1   
D
K 
V 
V
VV   

Dt
Dt  2
Dt

• E sua equação de transporte é:



 
D
2


K    V  P  V       V  2 S   V  g

Dt
3

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Equação de Transporte da Energia Interna, û
• Subtraindo a Equação da Energia Cinética da
Equação de ‘e’ vamos ter:
  (PV )
  (T V )














 DV
 

 

Duˆ



 V 
 V  g   V  P  P  V  V    T  T : V    q k  q 
Dt
Dt

 DV


 
- V 
  V  P
 V    T   V  g
Dt


Duˆ


 P  V
 T  : V    q k  q 
Dt




Duˆ

    q k  T  : V  P  V  q 
Dt
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A Função Dissipação, 
• O trabalho realizado pelas tensões para ‘deformar’ o fluido
converte ‘energia mecânica’ do escoamento em ‘energia
térmica’ .
• O nome dissipação sugere que em mecânica ‘dissipada’ em
térmica, portanto é um termo que introduz irreversibilidades
no escoamento.
• Para um fluido Newtoniano ela é definida:

 2
2

T  : V        V  2(S : S )  0
 3

(
• ou em notação indicial:

2  V
     i
 3  x i

•
)

1  Vi Vj 
 


2  x j
x i 

2
2
0


 é a função dissipação, sempre positiva para atender 2a lei.
a função dissipação para coordenadas cartesianas, veja mais
detalhes na brochura ‘Forma Dif. Eq. Transporte’.
(

2
   V
3
)
2
 U  2  V  2  W  2 
  
 2
  
 
 z  
 x 
 y 
 U V  2  W U  2  V W  2 
 
 




  
x 
z 
y  
 x
 y
 z

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Equação de Transporte da Energia Interna, û
•
Substituindo as equações constitutivas para o
tensor desvio da tensão e da condução vamos ter:

Duˆ

   kT  P  V    q 
Dt
•
Dû/Dt é o transporte de energia interna;
•
kT é fluxo calor líquido por condução na S.C.;
•
-P.V é trabalho de compressão, fluidos compr.;
•
 é a função dissipação, converte trabalho de
deformação em energia interna (veja próx slide);
•
q’’’ representa geração volumétrica de energia
dentro do volume (reação química, radiação outras
fontes)
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Equação de Transporte da Entalpia, h
•
O termo do trabalho de pressão pode ser re-escrito
em função da equação da massa:

 1 D 
D  P  DP
  
  
 P  V   P
Dt    Dt
  Dt 
•
Substituindo a definição: h = û+P/ na equação de
û, chega-se a forma não-conservativa da Equação
de Transporte da Entalpia:

•
Dh
DP
   kT 
   q 
Dt
Dt
ou a sua forma conservativa:

 (h )
DP
   Vh    kT 
   q 
t
Dt
(
)
veja mais detalhes na brochura ‘Forma Dif. Eq. Transporte’.
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Equação Transporte da Entalpia Total, h0
•
A entalpia específica e a entalpia total de um
fluido compressível são definidas por:
h  uˆ  P 
•
e
(
 
h0  h  (1 2)  V  V
)
Somando à equação da entalpia a energia
cinética:

Dh
Dt
(

DP
Dt


   kT   q 
)



 
D 1   
2



V  V    V  P  V       V  2 S   V  g
Dt  2

3

Dh 0

Dt


 
P 
2





 V       V  2 S       kT  q  V  g
t 3
 


Termos Viscosos
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Equação Transporte da Entalpia Total, h0
•
Em geral a entalpia total é empregada para
escoamentos compressíveis onde o termo de
trabalho das forças de campo é desprezível,
neste caso:

Dh0
Dt


P 
2
 V       V  2 S       kT  q
t 3
 


Termos Viscosos
•
Para tornar sua representação mais compacta é
freqüente agrupar os termos viscosos num único
operador:
Dh0

Dt

(
)

P 

 V    T V
    kT  q
t 
Termos Viscosos
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Equação de Transporte da Temperatura
•
A partir da Equação de transporte da Entalpia e da
relação termodinâmica para uma substância pura:
(1  Tb )
h
h
dh 

 Cp dT 
dP
T P P T

•
•
 1  
b   
   T P
onde b é o coef expansão volumétrica,
Pode-se mostrar que a forma não-conservativa da
Equação de Transporte para Temperatura é:
DT
DP
C P
   kT  b T
   q 
Dt
Dt
•
e a sua forma conservativa:

 (T)
CP
t
(
)
 C P   VT    (kT)  b T
DP
   q 
Dt
veja mais detalhes na brochura ‘Forma Dif. Eq. Transporte’.
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Equação de Transporte da Entropia
•
A equação de transporte de S é:

•
Ds
kT
q 


 Ps
Dt
T
T
o termo de produção, Os, é determinado a partir
da relação termodinâmica para uma substância
pura:
dP
Dh
Ds 1 DP
dh  Tds 
•
Dt
T
Dt



Dt
substituindo as eqs. para h e s na relação acima
vamos encontrar:
Ps 
•


k (T ) 2
T2


0
T
As irreversibilidades estão associadas a uma troca
térmica com diferença de temperatura ou ao
trabalho viscoso realizado pelo fluido
veja mais detalhes na brochura ‘Forma Dif. Eq. Transporte’.
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Notas Finais
• Estas são as formas finais de algumas das
equações de transporte.
• Há diversas outras que não foram abordadas
neste aula, entre elas: transporte de um escalar,
e transporte de vorticidade.
• As duas últimas estão na brochura anexa para
referência.
• O desafio da próxima aula será simplificar
algumas equações e procurar expressá-las numa
única Equação Geral de Transporte.
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Forma Geral das Equações de Transporte
• O método dos volumes finitos parte da forma
conservativa das Eq. Transporte. Considere uma
variável escalar  genérica:

 ( )
   V    S
t
(
• onde  é o coeficiente
difusivo definido por:
)
   L   T
  

PrT
 PrL



• O fonte S tem natureza diversa:
i) representam as condições de contorno do fenômeno;
ii) modelam a ação de forças ou energia de novos
mecanismos físicos ou ;
iii) representam todos os outros termos da eq. particular
que se quer representar e que não são representados
pelo lado esquerdo da equação!
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Notação Indicial Eq. Geral de Transporte
• A Eq. de Transporte em Notação vetorial

 ( )
   V    S
t
(
)
• também pode ser representada em notação
indicial pelos operadores
 ( )
 
 

 Vj  
S


t
x j 
x j 
• onde j pode variar de 1 a 3 representando cada
uma das direções ortogonais.
•  é uma variável escalar genérica e
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Notação Indicial Eq. Geral de Transporte
• A Eq. de Transporte em Notação vetorial

 ( )
   V    S
t
(
)
• também pode ser representada em notação
indicial pelos operadores
 ( )
 
 

 Vj  
S


t
x j 
x j 
• onde j pode variar de 1 a 3 representando cada
uma das direções ortogonais.
•  é uma variável escalar genérica e
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Eq. Geral Escalar e Termos Fontes
 ( )
 
 

 Vj  
S


t
x j 
x j 

h
T
h0
wm
k

Pr
Prh0
  h, T, h 0 , w m , k e 
S
 P
P 

    q
 Vi

t

x
i 

 C p
Prh  

k
PrT 
onde
    T 

  

Pr
Pr
T 

b T  P
P   q  T    1 

 
 


 Vi

  k
C P  t
x i  C P C P  x i  x i  C P 
 C p


k

 Cp
 

k

P
  2 Vj
  k K 
 Vi

 2 S ij  
   q
 x i  C p x j 
t
x i  3 x j



Pr w 

 Sc
D
m
Pk  
Prk  1
Pr  1
C1

2
Pk  C1
kIM250 Prof.k Eugênio Rosa
Tabela Equações de Transporte
• Obtenha no link abaixo uma tabela extraída do Bird,
Stewart and Lightfoot que descreve as componentes
das equações de transporte nos sistemas de
coordenadas cartesiano, cilindrico-polar e esférico.
• TABELAS EQUAÇÕES DE TRANSPORTE
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Referências
[1] White, F.M.; "Viscous Fluid Flow", McGraw Hill (1974)
[2] Moore, F.K.; "Theory of Laminar Flows", Princeton Un. Press
(1964)
[3] Rosenhead, L.; "Laminar Boundary Layers", Oxford (1963)
[4] Warsi, Z.U.A., "Fluid Dynamics: Theoretical and Computational
Approaches", CRC (1993)
[5] Panton, R. “Incompressible Flow”, John Wiley (1984)
[6] Tennekes, H. and Lumley, J.L., “A First Course in Turbulence”,
MIT Press, 1972,
[7] Reynolds W.C. and Perkins, H.C., “Engineering
Thermodynamics”, Mc Graw Hill, (1977)
[8] Hinze, J.O., “Turbulence”, McGraw Hill, (1959)
[9] Townsend, A.A., “The Strucuture of Turbulent Shear Flow”,
Cambridge Un. Press, 2nd ed., (1976).
[10] Wilcox, D.C., “Turbulence Modeling for CFD”, 2nd ed., DCW
Industries, (1998).
[11] Astarita, G. and Marrucci, G., “Principles of Non-Newtonian Fluid
Mechanics” , McGraw Hill(1974)
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FIM
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