Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto
ANO 2010
Camilo Daleles Rennó
[email protected]
http://www.dpi.inpe.br/~camilo/estatistica/
Variável Aleatória
qualitativa
discreta
atributo
quantitativa
v.a.

contínua
S
Definição: variável aleatória é a função que associa cada
elemento de S a um número real.
Variável Aleatória
Experimento: jogar 2 moedas e observar o resultado
(K = cara e C = coroa)
X: número de caras em 2 lances de moeda
KK
KC
CK
CC
S
0
1
X(CC) = 0
X(KC) = X(CK) = 1
X(KK) = 2
2
X(S) (imagem)
P(X = 0) = P(CC)
P(X = 1) = P(KC  CK)
P(X = 2) = P(KK)
OBS: em P(X = x), a natureza funcional da v.a. foi suprimida. De fato, a expressão mais
correta seria P(s  S | X(s) = x).
por definição, os valores de uma v.a. são sempre mutuamente exclusivos
Variável Aleatória Discreta
Definição: uma v.a. é discreta quando o conjunto de valores possíveis (imagem)
for finito ou infinito numerável.
P(X = xi)  0 para todo i
 P( X  x )  1
i
i
Função de Probabilidade
f ( x )  P( X  x )
Função de Distribuição Acumulada
F ( x )  P( X  x )
  f ( x j ) para todo j onde xj < x
j
Variável Aleatória Discreta
Exemplos:
a)
jogar um dado
X: ponto obtido no dado
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
X: = 1 se ponto for igual a 6
X: = 0 caso contrário
X = {0, 1}
b)
jogar 5 moedas (ou uma moeda 5 vezes)
X: número de caras em 5 lances
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
c)
jogar uma moeda até tirar uma cara
X: número de jogadas até tirar uma cara (incluindo-se a cara)
X = {1, 2, 3, ...}
X: número de coroas até tirar uma cara
X = {0, 1, 2, ...}
Variável Aleatória Discreta
Exemplos:
d)
sortear um ponto de uma imagem (8bits)
X: valor de nível de cinza
X = {0, 1, ..., 255}
X: = 1 se valor de nível de cinza for menor que 100
X: = 0 caso contrário
X = {0, 1}
e)
sortear 5 pontos em um mapa pedológico
X: número de pontos correspondentes à classe Argissolo
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
f)
sortear pontos em um mapa de vegetação até que se encontre a classe Cerrado
X: número de pontos sorteados (incluindo-se o ponto da classe Cerrado)
X = {1, 2, 3, ...}
X: número de pontos sorteados (excluindo-se o ponto da classe Cerrado)
X = {0, 1, 2, ...}
Variável Aleatória Contínua
Definição: uma v.a. é contínua quando o conjunto de valores possíveis (imagem)
for inumerável.
Se o conjunto imagem é inumerável, não há sentido em falar de valores
específicos e portanto: P(X = x) = 0
P(ase
<X
< b)  0 uma pessoa qualquer com
Qual a probabilidade de
escolher
1,7567234309... metros de altura?
Função Densidade de Probabilidade (fdp)
f(x)
f ( x)  0
b
P(a  X  b)
P ( a  X  b)   f ( x )dx


f ( x )dx  1
a

a
Função de Distribuição Acumulada
x
F ( x) 


f ( x )dx
b
x
Variável Aleatória Contínua
Exemplos:
a)
X: distância entre dois pontos
X = [0,+[
b)
X: distância vertical de um ponto, relativa a uma superfície plana pré-definida
X = ]-,+[
c)
X: reflectância de um objeto
X = [0,1]
. o balanço (receita – despesa) de uma empresa (em reais) é uma v.a.
contínua ou discreta?
. temperatura é uma v.a. contínua ou discreta?
Variável Aleatória e Probabilidade
Problema: Define-se uma variável X como o número de caras em 6 lances de
moeda. Qual a probabilidade de se obter mais que 4 caras nesses
6 lances?
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
P(X > 4) = P(X = 5) + P(X = 6)
P(X = 5) = P(KKKKKC  KKKKCK  KKKCKK  KKCKKK  KCKKKK  CKKKKK)
= 6/64
P(X = 6) = P(KKKKKK)
= 1/64
P(X > 4) = 7/64
Caracterização de uma Variável Aleatória
Variável Y
0,5
0,5
0,4
0,4
P (Y = y)
P (X = x)
Variável X
0,3
0,2
0,1
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
4
5
6
1
2
3
X
X
1
2
3
4
5
6
P(X = x)
0,10
0,15
0,25
0,25
0,15
0,10
4
Y
Y
1
2
3
4
5
6
P(Y = y)
0,10
0,45
0,22
0,15
0,06
0,02
5
6
Medidas de Tendência Central
X
1
2
3
4
5
6
0,5
P (X = x)
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
2
3
4
5
P(X = x)
0,10
0,15
0,25
0,25
0,15
0,10
6
X

• Calcular o valor médio
Média
N
   xi P( X  xi )
i 1
  1*0,10  2*0,15  3*0, 25  4*0, 25  5*0,15  6*0,10  3,5
Medidas de Tendência Central
Y
1
2
3
4
5
6
0,5
P (Y = y)
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
2
3

4
5
P(Y = y)
0,10
0,45
0,22
0,15
0,06
0,02
6
Y
• Calcular o valor médio
Média
N
   yi P(Y  yi )
i 1
  1*0,10  2*0, 45  3*0, 22  4*0,15  5*0,06  6*0,02  2,68
Medidas de Tendência Central
Média
N
   xi P( X  xi )
v.a. discretas
i 1


 xf ( x )dx
v.a. contínuas

OBS: média = 1o momento = esperança matemática = esperança = valor esperado
Medidas de Tendência Central
Y
1
2
3
4
5
6
0,51
0,4
P
y)
(Y = y)
P (Y
0,75
0,3
0,5
0,2
0,25
0,1
00
1
21
2
33 4
5
46
5
 y)
P(Y =
0,10
0,45
0,55
0,22
0,77
0,15
0,92
0,06
0,98
0,02
1,00
6
Y
• Identificar o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais (equiprováveis)
Mediana
mediana = 2
Medidas de Tendência Central
X
1
2
3
4
5
6
0.51
0.4
P
x)
(X = x)
P (X
0,75
0.3
0,5
0.2
0,25
0.1
00
1
21
2
33 4
5
46
5
 x)
P(X =
0,10
0,15
0,25
0,25
0,50
0,25
0,75
0,15
0,90
0,10
1,00
6
X
• Identificar o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais (equiprováveis)
Mediana
mediana = 3,5
Medidas de Tendência Central
Mediana
P( X  mediana)  0,5 e P( X  mediana)  0,5
v.a. discretas
mediana

f ( x)dx  0,5
v.a. contínuas

OBS:
mediana: divide em 2 partes
quartis: divide em 4 partes (mediana = 2o quartil)
decis: divide em 10 partes (mediana = 5o decil)
percentis: divide em 100 partes (mediana = 50o percentil)
Medidas de Tendência Central
Y
1
2
3
4
5
6
0.5
P (Y = y)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
6
Y
• Identificar o valor mais freqüente
Moda
moda = 2
P(Y = y)
0,10
0,45
0,22
0,15
0,06
0,02
Medidas de Tendência Central
X
1
2
3
4
5
6
0.5
P (X = x)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
P(X = x)
0,10
0,15
0,25
0,25
0,15
0,10
6
X
• Identificar o valor mais freqüente
Moda
moda = {3, 4}
OBS: 2 modas (bimodal)
3 modas (trimodal)
muitas modas (multimodal)
modas locais
não definida
0,25
0,15
0,2
0,2
0,15
0,1
0,15
0,1
0,1
0,05
0,05
0,05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Medidas de Tendência Central
Moda
moda  {x | k : P( X  k )  P( X  x)}
v.a. discretas
moda  arg max f ( x): x | k : f (k )  f ( x)
x
v.a. contínuas
0.5
0.5
0.4
0.4
P (Y = y)
P (X = x)
Medidas de Dispersão
0.3
0.2
0.1
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
1
2
X
3
4
Y
• Analisar a variação total da v.a.
Xmáx - Xmín = 5
Ymáx - Ymín = 5
Amplitude Total
5
6
Medidas de Dispersão
X-
-2,5
-1,5
-0,5
0,5
1,5
2,5
0.5
  3,5
P (X = x)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
X
1
2
3
4
5
6
P(X = x)
0,10
0,15
0,25
0,25
0,15
0,10
6
X
• Analisar os desvios da v.a. em relação à média
N
  x   P( X  x )  2,5*0,10 1,5*0,15  0,5*0, 25 
i 1
i
i
N
0,5*0, 25  1,5*0,15  2,5*0,10  0
N
N
N
N
  x   P( X  x )   x P( X  x )   P( X  x )   x P( X  x )    P( X  x )
i 1
i
i
i 1
i
i
     0 c.q.d.
i 1
i
i 1
i
i
=
i
i 1
=1
Medidas de Dispersão
|X - |
2,5
1,5
0,5
0,5
1,5
2,5
0.5
  3,5
P (X = x)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
X
1
2
3
4
5
6
6
X
• Analisar os desvios absolutos da v.a. em relação à média
N
 x   P( X  x )  2,5*0,10  1,5*0,15  0,5*0, 25 
i 1
i
i
0,5*0, 25  1,5*0,15  2,5*0,10  1,2
Desvio Absoluto Médio
P(X = x)
0,10
0,15
0,25
0,25
0,15
0,10
Medidas de Dispersão
0.4
P (Y = y)
|Y - |
1,68
0,68
0,32
1,32
2,32
3,32
  2, 68
0.5
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
Y
1
2
3
4
5
6
6
Y
• Analisar os desvios absolutos da v.a. em relação à média
N
 y   P(Y  y ) 
i 1
i
i
0,948
Desvio Absoluto Médio
P(Y = y)
0,10
0,45
0,22
0,15
0,06
0,02
Medidas de Dispersão
Desvio Absoluto Médio
N
DAM   xi   P( X  xi )
v.a. discretas
i 1

DAM 


x   f ( x)dx
v.a. contínuas
Medidas de Dispersão
(X - )2
6,25
2,25
0,25
0,25
2,25
6,25
0.5
  3,5
P (X = x)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
X
1
2
3
4
5
6
6
X
• Analisar os desvios quadráticos da v.a. em relação à média
N
  x    P( X  x )  6, 25*0,10  2, 25*0,15  0, 25*0, 25 
i 1
2
i
i
0, 25*0, 25  2, 25*0,15  6, 25*0,10  2,05
Variância (2)
P(X = x)
0,10
0,15
0,25
0,25
0,15
0,10
Medidas de Dispersão
0.4
P (Y = y)
(Y - )2
2,822
0,462
0,102
1,742
5,382
11,022
  2, 68
0.5
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
Y
1
2
3
4
5
6
P(Y = y)
0,10
0,45
0,22
0,15
0,06
0,02
6
Y
• Analisar os desvios quadráticos da v.a. em relação à média
N
  y    P(Y  y )  1,318
i 1
2
i
i
Variância (2)
OBS: Desvio Padrão () é a raiz quadrada da Variância (possui a mesma
unidade de )
Medidas de Dispersão
Variância
N
    xi    P( X  xi )
2
2
v.a. discretas
i 1
 
2

 x  

2
f ( x)dx
v.a. contínuas
Medidas de Dispersão
Qual v.a. tem maior variação, o tamanho de um determinado tipo de parafuso ou a
produtividade agrícola de uma determinada cultura?
Coeficiente de Variação
CV 
. mede a variação relativa a média
. adimensional
. pode ser expresso em porcentagem


Momentos
Momento (ordinário) de ordem k:
v.a. discreta
v.a. contínua

N
E ( X )   x P  X  xi 
k
i 1
x
E( X ) 
k
i
k
k
f ( x)dx

Momento centrado (na média) de ordem k
v.a. discreta

E ( X  )
v.a. contínua
   (x  ) P  X  x 
N
k
k
i 1
OBS:   E ( X )
i
i

E ( X  )

k
   (x  )

1o momento
 2  E  ( X   ) 2  2o momento centrado
 E ( X 2 )   E ( X )
2
k
f ( x)dx
Propriedades da Esperança e Variância
X
1
2
3
4
5
6
0.5
P (X = x)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
P(X = x)
0,10
0,15
0,25
0,25
0,15
0,10
6
X
N
E ( X )  ? xi P( X  xi )  1*0,10  2*0,15 
 6*0,10  3,5
i 1
Var( X )  E( X 2 )  [ E( X )]2
E( X 2 )  12 *0,10  22 *0,15 
Var ( X )  14,3  3,52  2,05
 62 *0,10  14,3
Propriedades da Esperança e Variância
X
P(X = x)
1
0,10
2
0,15
3
0,25
4
0,25
5
0,15
6
0,10
Var ( X )  2,05
E ( X )  3,5
Y  X o
Ex: Y  X  3
Y
X
P(X = x)
4
1
0,10
=
+3
5
2
0,15
6
3
0,25
7
4
0,25
E (Y )  4*0,10  5*0,15 
8
5
0,15
9
6
0,10
 9*0,10  6,5
Var (Y )  E(Y 2 )  [ E(Y )]2  44,3  42, 25  2,05
Propriedades da Esperança e Variância
0,25
0,2
0,15
0,1
40
30
20
0
10
E (Y )  E ( X  o)  E ( X )  o
0,05
0
Y  X o
X
Var(Y )  Var( X  o)  Var( X )
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
40
30
20
10
0
0
Y  X  15
Propriedades da Esperança e Variância
X
P(X = x)
1
0,10
2
0,15
3
0,25
4
0,25
5
0,15
6
0,10
Var ( X )  2,05
E ( X )  3,5
Y  gX
Ex: Y  3 X
Y
X
P(X = x)
* 9 = 32
*3
3
1
0,10
6
2
0,15
9
3
0,25
12
4
0,25
E (Y )  3*0,10  6*0,15 
15
5
0,15
18
6
0,10
 18*0,10  10,5
Var (Y )  E(Y 2 )  [ E(Y )]2  128,7 110, 25  18, 45
Propriedades da Esperança e Variância
0,25
0,2
0,15
0,1
40
30
20
0
10
E (Y )  E ( gX )  gE ( X )
0,05
0
Y  gX
X
Var(Y )  Var( gX )  g 2Var( X )
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
40
30
20
10
0
0
Y  3X
Propriedades da Esperança e Variância
X
P(X = x)
1
0,10
2
0,15
3
0,25
4
0,25
5
0,15
6
0,10
W
P(W= w)
Var ( X )  2,05
E ( X )  3,5
1
0,10
2
0,45
3
0,22
4
0,15
5
0,06
6
0,02
Var (W )  1,318
E (W )  2,68
Y  X W
Distribuição Conjunta de X e W
Y = {2,
{?, ..., ?}
12}
X
W
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
P(Y  3)  P
? ( X  1;W  2)  P( X  2;W  1)
P( X  1;W  2)  ?
X
P(W = wi)
1
0,10
2
0,45
3
0,22
4
0,15
5
0,06
6
0,02
P(X = xi) 0,10 0,15 0,25 0,25 0,15 0,10
1
W
1
2
3
4
5
6
Propriedades da Esperança e Variância
X
P(X = x)
1
0,10
2
0,15
3
0,25
4
0,25
5
0,15
6
0,10
W
P(W= w)
Var ( X )  2,05
E ( X )  3,5
1
0,10
2
0,45
3
0,22
4
0,15
5
0,06
6
0,02
Var (W )  1,318
E (W )  2,68
Y  X W
Distribuição Conjunta de X e W
Y = {2,
{?, ..., ?}
12}
X
W
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
X
P(W = wi)
1
0,10
0,010 0,015 0,025 0,025 0,015 0,010
2
0,45
0,045 0,0675 0,1125 0,1125 0,0675 0,045
3
0,22
0,022 0,033 0,055 0,055 0,033 0,022
4
0,15
0,015 0,0225 0,0375 0,0375 0,0225 0,015
5
0,06
0,006 0,009 0,015 0,015 0,009 0,006
6
0,02
0,002 0,003 0,005 0,005 0,003 0,002
P(X = xi) 0,10 0,15 0,25 0,25 0,15 0,10
1
W
1
2
3
4
5
6
P(Y  3)  P
? ( X  1;W  2)  P( X  2;W  1)
P( X  1;W  2)  ?P( X  1) P(W  2) considerando que X e W sejam independentes
Propriedades da Esperança e Variância
X
P(X = x)
1
0,10
2
0,15
3
0,25
4
0,25
5
0,15
6
0,10
W
P(W= w)
Var ( X )  2,05
E ( X )  3,5
1
0,10
3
0,22
E (W )  2,68
Y X
-W
4
0,15
5
0,06
E (Y )   yi P(Y  yi )
i
( xi 
- w j ) P( X  xi ;W  w j )
E ( X - W )  
?
Var (W )  1,318
X
j
  xi P( X  xi ;W  w j ) -  w j P( X  xi ;W  w j )
i
j
i
j
  xi  P( X  xi ;W  w j ) -  w j  P( X  xi ;W  w j )
i
j
j
i
  xi P( X  xi ) -  w j P(W  w j )
i
j
 E ( X ) - E (W )  3,5 
 2,68  6,18
0,82
6
0,02
1
2
3
4
5
6 P(W = wi)
1
0,10
0,010 0,015 0,025 0,025 0,015 0,010
2
0,45
0,045 0,0675 0,1125 0,1125 0,0675 0,045
3
0,22
0,022 0,033 0,055 0,055 0,033 0,022
4
0,15
0,015 0,0225 0,0375 0,0375 0,0225 0,015
5
0,06
0,006 0,009 0,015 0,015 0,009 0,006
6
0,02
0,002 0,003 0,005 0,005 0,003 0,002
P(X = xi) 0,10 0,15 0,25 0,25 0,15 0,10
1
W
i
2
0,45
E ( X  W )  E ( X )  E (W )
Propriedades da Esperança e Variância
X
P(X = x)
1
0,10
2
0,15
3
0,25
4
0,25
5
0,15
6
0,10
W
P(W= w)
Var ( X )  2,05
E ( X )  3,5
1
0,10
2
0,45
E (W )  2,68
3
0,22
4
0,15
 
2
Var ( X  W )  ?E  ( X  W )2    E ( X  W ) 
2
 E  X 2  2 XW  W 2    E ( X )  E (W ) 
2
 E( X 2 )  2E( XW )  E(W 2 )  E( X )2  2E( X )E(W )  E(W )2
 E( X 2 )  E( X )2  E(W 2 )  E(W )2  2  E( XW )  E( X )E(W ) 
Var ( X )
Var (W )
6
0,02
Var (W )  1,318
Y  X W
Var (Y )  E Y 2  E Y 
5
0,06
COV ( X ,W )
covariância entre X e W
Propriedades da Esperança e Variância
X
P(X = x)
1
0,10
2
0,15
3
0,25
4
0,25
5
0,15
6
0,10
W
P(W= w)
Var ( X )  2,05
E ( X )  3,5
1
0,10
2
0,45
E (W )  2,68
3
0,22
4
0,15
5
0,06
6
0,02
Var (W )  1,318
Y  X W
 
Var (Y )  E Y 2  E Y 
2
Var ( X  W )  ?E  ( X  W )2    E ( X  W ) 
2
 E  X 2  2 XW  W 2    E ( X )  E (W ) 
2
 E( X 2 )  2E( XW )  E(W 2 )  E( X )2  2E( X )E(W )  E(W )2
 E( X 2 )  E( X )2  E(W 2 )  E(W )2  2  E( XW )  E( X )E(W ) 
Var ( X  W )  Var ( X )  Var (W )  2COV ( X ,W )
Propriedades da Esperança e Variância
X
P(X = x)
1
0,10
2
0,15
3
0,25
4
0,25
5
0,15
6
0,10
W
P(W= w)
Var ( X )  2,05
E ( X )  3,5
1
0,10
2
0,45
E (W )  2,68
3
0,22
4
0,15
5
0,06
6
0,02
Var (W )  1,318
Y X
-W
 
Var (Y )  E Y 2  E Y 
2
Var ( X - W )  ?E  ( X - W )2    E ( X - W ) 
2
- 2 XW  W 2    E ( X ) - E (W ) 
 EX2 
2
- 2E( XW )  E(W 2 )  E( X )2 + 2E( X ) E(W )  E(W )2
 E( X 2 ) 
 E( X 2 )  E( X )2  E(W 2 )  E(W )2 - 2  E( XW )  E( X )E(W ) 
Var ( X  W )  Var ( X )  Var (W )  2COV ( X ,W )
se X e W são independentes: E( XW )  E( X ) E(W ) 
Var ( X  W )  2,05  1,318  3,368
Var ( X  W )  Var ( X )  Var (W )
Propriedades da Esperança e Variância
Resumo:
Y  X o
E (Y )  E ( X  o)  E ( X )  o
Var(Y )  Var( X  o)  Var( X )
Y  gX
E (Y )  E ( gX )  gE ( X )
Var(Y )  Var( gX )  g 2Var( X )
Y  X W
E (Y )  E ( X  W )  E ( X )  E (W )
Var (Y )  Var ( X  W )  Var ( X )  Var (W )  2COV ( X ,W )
Var (Y )  Var ( X  W )  Var ( X )  Var (W ) (independentes)
Propriedades da Esperança e Variância
Imagem original (I)
Inova = I + 50
Banda TM3/Landsat
Inova = I + 100
Média: 29,07
Variância: 62,14
0
50
100
Média: 129,07
Variância: 62,14
Média: 79,07
Variância: 62,14
150
200
250
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
200
250
Propriedades da Esperança e Variância
Imagem original (I)
Inova = 2*I
Banda TM3/Landsat
Inova = 4*I
Média: 29,07
Variância: 62,14
0
50
100
Média: 116,29
Variância: 994,21
Média: 58,14
Variância: 248,55
150
200
250
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
200
250
Propriedades da Esperança e Variância
Imagem original (I)
Inova = 5*I - 110
Banda TM3/Landsat
Inova = -5*I + 370
Média: 35,36
Variância: 1553,45
Média: 29,07
Variância: 62,14
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
Média: 224,64
Variância: 1553,45
200
250
0
50
100
150
200
250
Propriedades da Esperança e Variância
Aplicação em imagens:
•alterar brilho (média)
•alterar contraste (variância)
Inova = gI + o
Exemplo 1: Tem-se uma imagem qualquer com média 100 e variância 150. Desejase aumentar o contraste dessa imagem, aumentando-se sua variância para 300.
Qual deve ser o ganho aplicado nessa imagem? Qual será a média da imagem após
a aplicação desse ganho?
Var(Inova )  g 2Var(I )
300  g 2 150
300
g2 
150
g  2  1, 4142
E ( I nova )  gE ( I )
 2100  141, 42
Propriedades da Esperança e Variância
Aplicação em imagens:
•alterar brilho (média)
•alterar contraste (variância)
Inova = gI + o
Exemplo 2: Tem-se uma imagem qualquer com média 100 e variância 150. Desejase aumentar o contraste dessa imagem, aumentando-se sua variância para 600,
sem alterar seu brilho (ou seja, mantendo a média em 100). Qual deve ser o ganho
e o offset aplicados nessa imagem?
Var(Inova )  g 2Var(I )
600  g 2 150
600
g2 
150
g  4 2
E(I nova )  gE(I )  o
100  2*100  o
o  100  200  100
I nova  2I 100