Introdução à limites
Aula 01 – Matemática I - Agronomia
Prof. Danilene Donin Berticelli
Abordagem Intuitiva
 Considere um gerente que determina que, quando x% da capacidade de
uma fábrica estão sendo usados, o custo total de operação é C centenas
de milhares de reais, onde
8𝑥 2 − 636𝑥 − 320
𝐶= 2
𝑥 − 68𝑥 − 960
 A companhia tem uma política de manutenção preventiva que procura
assegurar que a fábrica esteja sempre funcionando com 80% da
capacidade máxima. Que custo o gerente deve esperar quando a
fábrica está funcionando neste nível de produção ideal?
0
 Como 𝐶 80 = 0 (o que é uma indeterminação matemática), buscaremos
calcular os valores de C(x) quando x se aproxima de 80.
𝑥 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 80 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
 𝑥 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 80 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
𝑥
79,8
79,99
79,999
80
80,0001
80,001
80,04
𝐶(𝑥)
6,99782
6,99989
6,99999
--
7,000001
7,00001
7,00043
Os valores de C(x) mostrados na tabela sugerem que C(x) se aproxima do
número 7 quando x se aproxima de 80. assim é razoável que o gerente
espere um custo de R$ 700.000,00 quando a fábrica está funcionando
com 80% da capacidade máxima.
O limite de Uma função
 Vamos analisar o comportamento da função definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥 + 2 para valores de 𝑥
próximos de 2.
 Façamos uma tabela para nos auxiliar. Com valores de 𝑥 próximos de 2, mas não iguais a 2.
VALORES Y
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑓(𝑥)
1,0
2,000000
3,0
8,000000
1,5
2,750000
2,5
5,750000
7
1,8
3,440000
2,2
4,640000
6
1,9
3,710000
2,1
4,310000
5
9
8
4
1,95
3,852500
2,05
4,152500
1,99
3,970100
2,01
4,030100
1,995
3,982025
2,005
4,015025
1
1,999
3,997001
2,001
4,003001
0
3
2
-2
-1
0
1
2
3
4
 Da tabela e do gráfico de 𝑓 (uma parábola), vemos que quando 𝑥 se aproxima de
2 (tanto pela direita, quanto pela esquerda), 𝑓(𝑥) tende a 4.
 Podemos tornar os valores de 𝑓(𝑥) tão próximos de 4 quanto quisermos, ao tornar 𝑥
suficientemente próximo de 2.
 Expressamos isso dizendo que “o limite da função 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥 + 2 quando 𝑥 tende
a 2 é igual a 4”.
 Em notação matemática:
lim 𝑥 2 − 𝑥 + 2 = 4
𝑥→2
 Definição: Suponha que 𝑓(𝑥) seja definido quando está próximo ao número a. (Isso
significa que f é definido em algum intervalo aberto que contenha a, exceto
possivelmente o próprio a.) Então escrevemos
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑥→𝑎
 E dizemos “o limite de 𝑓(𝑥), quando x tende a 𝑎, é igual a L”
se pudermos tornar os valores de 𝑓(𝑥) arbitrariamente próximos de L (tão próximos de
L quanto quisermos), tornando 𝑥 suficientemente próximo a 𝑎 (por ambos os lados de
a), mas não igual a 𝑎.
 Isso significa que os valores de 𝑓(𝑥) tendem a L quando 𝑥 tende a 𝑎. Em
outras palavras, os valores de 𝑓(𝑥) tendem a ficar cada vez mais próximos
do número L à medida que 𝑥 tende ao número 𝑎 (por qualquer lado de 𝑎),
mas 𝑥 ≠ 𝑎,
lim 𝑓 𝑥 = 𝐿
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 →𝐿
𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑥→𝑎
“𝑓(𝑥) tende a L quando x tende a 𝑎”
 Observe a frase “mas 𝑥 ≠ 𝑎” na
definição de limite. Isso significa
que, ao procurar o limite de 𝑓(𝑥)
quando 𝑥 tende a 𝑎 , nunca
consideramos
𝑥 = 𝑎 .
Na
verdade, 𝑓(𝑥)
não precisa
sequer estar definida quando
𝑥 = 𝑎 . A única coisa que
importa é como está definida
𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑎.
O quadro abaixo mostra os gráficos de três funções. Em (c), 𝑓(𝑎) não está
definida. Em (b), 𝑓(𝑎) ≠ 𝐿. Mas, em cada caso, não importando o que
acontece em a, é verdade que lim 𝑓 𝑥 = 𝐿.
𝑥→𝑎
y
y
L
L
0
(a)
a
0
y
L
(b)
a
lim 𝑓 𝑥 = 𝐿 nos três casos
𝑥→𝑎
0
(c)
a
Exemplo 1
𝑥−1
.
𝑥→1 𝑥 2 −1
 Estime o valor de lim
 O que ocorre quando substituímos o x por 1?
 Uma vez que a definição diz que devemos considerar valores de 𝑥 que
estão próximos de 𝑎, mas não iguais a 𝑎, vamos construir uma tabela para
encontrar este limite.
𝑥>1
𝐹(𝑥)
0,5
𝐹(𝑥)
0,666667
1,5
0,400000
0,9
0,526316
1,1
0,476190
0,99
0,502513
1,01
0,497512
0,999
0,500250
1,001
0,499750
0,9999
0,500025
1,0001
0,499975
𝑥<1
O primeiro gráfico está ilustrando a
𝑥−1
função lim 𝑥 2 −1 = 0,5.
𝑥→1
Se mudarmos ligeiramente 𝑓, definindo
seu valor como 2 quando 𝑥 = 1 e
chamando a função resultante de 𝑔,
temos:
𝑔 𝑥 =
𝑥−1
𝑥2 − 1
2
𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1
𝑠𝑒 𝑥 = 1
A nova função g tem o mesmo limite
quando x tende a 1. Veja o segundo
gráfico.
Propriedades dos Limites
Se lim 𝑓(𝑥) e lim 𝑔(𝑥) existem, então:
𝑥→𝑐
I)
𝑥→𝑐
lim 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥
= lim 𝑓(𝑥)+lim 𝑔(𝑥)
II) lim 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥
= lim 𝑓(𝑥)-lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
III) lim 𝐾𝑓 𝑥
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
= 𝐾 lim 𝑓(𝑥) (para qualquer K)
𝑥→𝑐
IV) lim[𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ]= lim 𝑓 𝑥 [lim 𝑔(𝑥)]
𝑥→𝑐
V)
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑐 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑐
=
lim 𝑓(𝑥)
𝑥→𝑐
lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
se lim 𝑔(𝑥) ≠ 0
𝑥→𝑐
VI) lim[𝑓 𝑥 ]𝑝 = [ lim 𝑓(𝑥)]𝑝 se [lim 𝑓(𝑥)]𝑝 existir
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
Limites de Duas funções Lineares
Para qualquer constante k,
a)
b)
lim 𝑘 = 𝑘
𝑥→𝑐
lim 𝑥 = 𝑐
𝑥→𝑐
O limite de uma constante é a própria constante e o limite de f(x) = x, quando
x tende a c é c.
y
y
c
y=k
(c,c)
(c,k)
0
c
(a) lim 𝑘 = 𝑘
𝑥→𝑐
0
c
(b) lim 𝑥 = 𝑐
𝑥→𝑐
Limites de duas funções lineares
Em termos geométricos, a
expressão lim 𝑘 = 𝑘
𝑥→𝑐
significa que a ordenada
do gráfico da função
constate f(x) = k conserva
o valor k quando x se
aproxima de c.
Analogamente, a expressão
lim 𝑥 = 𝑐
𝑥→𝑐
significa que a ordenada do
gráfico da função linear f(x) =
x se aproxima de c quando x
se aproxima de c.
Cálculo de Limites
1) Calcule lim 3𝑥 3 − 4𝑥 + 8
𝑥→−1
2) Calcule
3𝑥 3 −8
lim
𝑥→1 𝑥−2
Limites de Polinômios e Funções
Racionais
 Se p(x) e q(x) são polinômios,
lim 𝑝 𝑥 = 𝑝(𝑐)
𝑥→𝑐
e
𝑝(𝑥) 𝑝(𝑐)
lim
=
𝑥→𝑐 𝑞(𝑥)
𝑞(𝑐)
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞(𝑐) ≠ 0
Cálculo de limites
𝑥+1
3) Calcule lim 𝑥−2
𝑥→2
4) Calcule
𝑥 2 −1
lim
𝑥→1 𝑥 2 −3𝑥+2
(1,-2)
Quando x tende a 1, tanto o
numerado como o denominador
tendem a zero e não podemos
tirar nenhuma conclusão a
respeito do valor do quociente.
Obviamente, a função dada
não é definida para x = 1. para
qualquer outro valor de x,
porém, podemos dividir o
numerado e o denominador por
(x-1).
Como 𝑥 ≠ 1, não estamos
dividindo por zero. Neste caso
podemos calcular o limite
quando x tende a 1.
O gráfico mostra um buraco no
ponto (1,-2).
𝑥−1
𝑥→1 𝑥−1
5) Calcule lim
Para este caso utilizamos a racionalização. Multiplicando ambos (numerador
e denominador por ( 𝑥+1)
Para exercitar:
1) Determinar o limite indicado, caso exista:
a) lim 3𝑥 2 − 5𝑥 + 2
𝑥→2
b) lim 𝑥 5 − 6𝑥 4 + 7
𝑥→0
c) lim (𝑥 − 1)²(𝑥 + 1)
𝑥→3
d)
e)
f)
g)
h)
i)
𝑥+1
𝑥→1/3 𝑥+2
𝑥+3
lim 5−𝑥
𝑥→5
𝑥 2 −1
lim 𝑥−1
𝑥→1
𝑥 2 −3𝑥−10
lim 𝑥−5
𝑥→5
𝑥 2 −𝑥−6
lim
𝑥→−2 𝑥 2 +3𝑥+2
𝑥−2
lim
𝑥→4 𝑥−4
lim