VAC
Probabilidade e Estatística
Prof Leoni
aedbest.wordpress.com
Variáveis Aleatórias Contínuas
-
Função de densidade de probabilidade;
Função de distribuição acumulada;
Esperança e variância;
Distribuição uniforme contínua.
Usar:
MINITAB
PROCONF
R
Função de densidade de probabilidade
Função de densidade de probabilidade
O comportamento probabilístico de uma
variável aleatória contínua é descrito pela sua
função de densidade de probabilidade.
Uma FDP é uma função f(x) que satisfaz as
seguintes propriedades:
1. f(x) ≥ 0
2. A área total sob o gráfico de f(x) tem de ser igual
a 1.
Função de distribuição acumulada
FX(x) = Pr (X ≤ x)
Esperança e variância de V.A. contínuas
Help do Software R apresenta alguns modelos para VAC.
Digite: > ?Distributions
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beta distribution see dbeta.
Cauchy distribution see dcauchy.
chi-squared distribution see dchisq.
exponential distribution see dexp.
F distribution see df.
gamma distribution see dgamma.
log-normal distribution see dlnorm.
normal distribution see dnorm.
Student's t distribution see dt.
uniform distribution see dunif.
Weibull distribution see dweibull.
Distribuição uniforme
Densidade da distribuição uniforme no intervalo [a, b].
Função de distribuição acumulada
FX (x) = Pr (X ≤ x)
Esperança e variância
E (X) = (a + b)/2
O cálculo da variância requer cálculo integral, e pode-se mostrar que
Var (X) =(b − a)2/12
Considere a função fX apresentada
1. Encontre o valor de k
para que fX seja uma
função de densidade
de probabilidade de
uma v.a. X.
2. Determine a equação
que define fX.
3. Calcule Pr(2 ≤ X ≤ 3).
4. Encontre E(X).
5. Encontre a função de
distribuição acumulada
de X.
1. Como a área tem que ser 1, temos de ter 1 = (5 − 1) ×
k ⇒ k =1/4
2. fx
3. A probabilidade pedida é a área sombreada
Pr(2 ≤ X ≤ 3) = (3 − 2) ×1/4=1/4
4. Por argumentos de simetria, a esperança é o ponto
médio, ou seja, E(X) = 3.
5. Para x < 1, temos que FX(x) = 0
Para x > 5, temos que FX(x) = 1
Para 1 ≤ x ≤ 5, FX(x) é a área de um retângulo de base
(x − 1) e altura ¼
FX(x) =(x – 1)/4
A quantidade de líquido (x) utilizada em latas de cocacola tem distribuição uniforme no intervalo 345 ml a 355
ml, ou seja, X ∼ U[345, 355]. São rejeitadas pelo processo
de controle de qualidade as latas que possuam menos de
346 ml ou mais de 354 ml.
(a) calcule Pr(X > 353); (b) calcule Pr(X < 346); (c) qual é
a proporção de latas rejeitadas ?
Seja X = “conteúdo da lata de coca-cola”.
Então, X ∼ U[345, 355]
(a) Pede-se Pr(X > 353) = 1 − Pr(X ≤ 353) = 1 − FX(353) = 1 –
(353 – 345)/(355 – 345) = 0, 2
(b) Pede-se Pr(X < 346) = Pr(X ≤ 346) = FX(346) = (346 –
345)/(355 – 345)= 0, 1
(c) Pede-se Pr(350 − 4 < X < 350 + 4) = Pr(346 < X < 354) =
Pr(X ≤ 354) − Pr(X ≤ 346) = (354 – 345)/(355 – 345) – (346 –
345)/(355 – 345) = 0, 8
Logo, a proporção de latas rejeitadas é 1−0, 8 = 0, 2, ou seja,
20% das latas são rejeitadas pelo processo de controle de
qualidade. É uma proporção bastante alta.