FUNDAMENTOS DO CÁLCULO
Aluno: Reinaldo Ançay Junior ¹
Orientadora: Ximena Mujica Serdio ²
Departamento de Matemática
¹ [email protected] ² [email protected]
Resumo
Este trabalho versa sobre vários assuntos que fundamentam o estudo de resultados sobre funções reais. Iniciando com operações sobre conjuntos, relações
binárias e seu uso para definir o conceito de função, o uso de funções para estudar a cardinalidade de conjuntos e, em particular, o uso de sequências para o
estudo de conjuntos infinitos. Finalmente, no conjunto do reais, as consequências do axioma do supremo.
1. Operações sobre conjuntos
𝑓 𝐴 = 𝑓(𝑎)/𝑎 ∈ 𝐴
Sejam 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos:
5.2 Conjuntos infinitos
Um conjunto 𝐴 é infinito quando não é vazio e não
existe uma função bijetiva 𝑓: 𝐽𝑛 → 𝐴 com 𝐽𝑛 ⊊ ℕ∗ .
• Reunião: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥, 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵 ;
• Interseção: 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥, 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵 ;
• Diferença: 𝐴 − 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐴 / 𝑥 ∉ 𝐵};
5.3 Conjuntos enumeráveis
Dizemos que um dado conjunto 𝐴 é enumerável se 𝐴 é
equivalente ao conjunto ℕ∗, isto é, se existe uma função
bijetora 𝑓: 𝐴 → ℕ∗ .
5.4 Conjuntos não enumeráveis
Sejam 𝑓: 𝑋 → 𝑌 uma função, 𝐴 ⊂ 𝑋 e 𝐵 ⊂ 𝑋 conjuntos.
A imagem direta assume as seguintes propriedades:
Dizemos que 𝐴 é subconjunto de 𝐵, e escrevemos 𝐴 ⊂ 𝐵, se
para cada 𝑎 em 𝐴, 𝑎 está em 𝐵; se 𝐴 ⊂ 𝐵 e 𝐴 ≠ 𝐵 dizemos
que 𝐴 é subconjunto próprio de 𝐵.
2. Relações binárias
Sejam 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos não vazios, uma relação binária
𝑅 entre 𝐴 e 𝐵, é um subconjunto de 𝐴 × 𝐵. Por exemplo se
𝐴 = {𝑎1 , 𝑎2 } e 𝐵 = {𝑏1 , 𝑏2 },
algumas relações entre 𝐴 e 𝐵 são:
•
•
•
•
•
𝑓 𝑋 = 𝑓 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋;
Se 𝐴 é não vazio, 𝑓(𝐴) também o é;
Se 𝐴 ⊂ 𝐵, então, 𝑓(𝐴) ⊂ 𝑓(𝐵);
𝑓 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑓(𝐴) ∪ 𝑓(𝐵);
𝑓 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ 𝑓(𝐴) ∩ 𝑓(𝐵).
3.4 Imagem inversa por uma função
A imagem inversa de um conjunto 𝑊 ⊂ 𝑌 pela função
𝑓: 𝑋 → 𝑌 é definida por
𝑓 −1 (𝑊) = 𝑥 ∈ 𝑋/𝑓(𝑥) ∈ 𝑊
𝑅1 = { 𝑎1 , 𝑏1 } ⊂ 𝐴 × 𝐵
𝑅2 = {(𝑎1 , 𝑏2 ), (𝑎2 , 𝑏1 )} ⊂ 𝐴 × 𝐵
𝑅3 = { 𝑎1 , 𝑏1 ,(𝑎2 , 𝑏1 ), (𝑎2 , 𝑏2 )} ⊂ 𝐴 × 𝐵
Se 𝐵 = 𝐴, dizemos que 𝑅 é uma relação em 𝐴.
2.1 Propriedades das relações binárias
v. Se 𝑎1 , 𝑏1 , (𝑎1 , 𝑏2 ) ∈ 𝑅 ⊂ 𝐴 × 𝐵, então 𝑏1 = 𝑏2 .
Diremos que 𝑅 ⊂ 𝐴 × 𝐴 é uma relação de equivalência sobre
um conjunto 𝐴 se satisfaz as propriedades transitiva,
simétrica e reflexiva. Já uma relação de ordem sobre um
conjunto 𝐴 é uma relação que satisfaz as propriedades
transitiva, antissimétrica e pode ou não ser reflexiva.
Dizemos que um conjunto 𝐴 é totalmente ordenado se existe
uma relação de ordem 𝑅 definida sobre 𝐴 e para cada 𝑎1 ,
𝑎2 ∈ 𝐴 têm-se 𝑎1 , 𝑎2 ∈ 𝑅 ou 𝑎2 , 𝑎1 ∈ 𝑅. Dizemos que 𝑅 ⊂
𝐴 × 𝐵 é uma função se 𝑅 satisfaz a propriedade v.
3. Funções
No item 2.1 definimos função, mas a notação acima é
pouco utilizada de modo que vamos redefini-la. Sejam 𝐴 e 𝐵
dois conjunto não vazios. Uma função 𝑓 de 𝐴 em 𝐵 é uma
regra que associa a cada elemento 𝑎 ∈ 𝐴 um único elemento
𝑏 ∈ 𝐵, denotado por 𝑓 𝑎 = 𝑏. Algumas nomenclaturas são:
• Domínio: o conjunto 𝐴 recebe o nome de domínio de 𝑓 e é
denotado por 𝒟ℴ𝓂 𝑓 ;
• Contradomínio: o conjunto 𝐵 recebe o nome de
contradomínio de 𝑓 e é denotado por 𝒞ℴ𝒹ℴ𝓂(𝑓);
• Imagem: a imagem de 𝑓, denotada por 𝒥𝓂(𝑓), define-se
como o conjunto
𝑓 𝐴 = {𝑏 ∈ 𝐵 ∕ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∕ 𝑏 = 𝑓(𝑎)}
• Gráfico: o gráfico de 𝑓 é definido por:
𝒢 𝑓 = { 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 × 𝐵 / 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵 ⇒ 𝑎 = 𝑓(𝑏)}
Note que 𝒢(𝑓) ⊂ 𝐴 × 𝐵 corresponde à relação definida em
2.1. Uma notação usual para a dada função 𝑓 é
𝑓: 𝐴 → 𝐵
𝑎↦𝑏
3.1 Funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas
Considere uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵. Dizemos que 𝑓 é uma
função injetiva se, para quaisquer 𝑎1 , 𝑎2 ∈ 𝐴 , 𝑓 𝑎1 =
𝑓 𝑎2 ⇒ 𝑎1 = 𝑎2 .
A função 𝑓 é dita sobrejetiva se ℐ𝓂 𝑓 = 𝐵 = 𝒞ℴ𝒹ℴ𝓂(𝑓).
No caso de 𝑓 ser, ao mesmo tempo, injetiva e sobrejetiva,
diz-se que 𝑓 é uma função bijetiva.
3.2 Imagem direta por uma função
A imagem direta de um conjunto 𝐴 ⊂ 𝑋 pela função 𝑓: 𝑋 →
𝑌 é definida por
6. Conjuntos limitados
Sejam 𝐸 um conjunto ordenado e 𝐴 ⊂ 𝐸 com 𝐴 ≠ 𝜙.
Dizemos que 𝐴 é limitado superiormente se existe 𝐿 ∈ 𝐸
tal que 𝑎 ≤ 𝐿, ∀𝑎 ∈ 𝐴. 𝐿 é chamado cota (ou limitante)
superior. De forma análoga, dizemos que 𝐴 é limitado
inferiormente se existe 𝑙 ∈ 𝐸 tal que 𝑙 ≤ 𝑎, ∀𝑎 ∈ 𝐴. A 𝑙
chamamos de cota inferior.
Denomina-se 𝐴 como um conjunto limitado se 𝐴 possui
limitantes superior e inferior.
6.1 Mínimo, máximo, ínfimo e supremo
𝑅4 = { 𝑎1 , 𝑏1 , (𝑎1 , 𝑏2 ), (𝑎2 , 𝑏1 ), (𝑎2 , 𝑏2 )} ⊂ 𝐴 × 𝐵
i. Reflexiva: (𝑎, 𝑎) ∈ 𝑅 ⊂ 𝐴 × 𝐴, para cada 𝑎 em 𝐴;
ii. Simétrica: Se (𝑎1 , 𝑎2 ) ∈ 𝑅 ⊂ 𝐴 × 𝐴, então (𝑎2 , 𝑎1 ) ∈ 𝑅;
iii. Antissimétrica: Se 𝑎1 , 𝑎2 ∈ 𝑅 ⊂ 𝐴 × 𝐴 e (𝑎2 , 𝑎1 ) ∈ 𝑅,
então 𝑎1 = 𝑎2;
iv. Transitiva: Se 𝑎1 , 𝑎2 , (𝑎2 , 𝑎3 ) ∈ 𝑅 ⊂ 𝐴 × 𝐴 , então
𝑎1 , 𝑎3 ∈ 𝑅;
Suponha que determinado conjunto 𝐴 assume a seguinte
propriedade: todo 𝐴𝑛 subconjunto enumerável de 𝐴 é
subconjunto próprio de 𝐴 (𝐴𝑛 ⊊ 𝐴). Neste caso, diz-se que
𝐴 é um conjunto não enumerável. Note que, isto equivale a
não existir função bijetiva de 𝐴 em 𝐽𝑛 nem de 𝐴 em ℕ∗.
Sejam 𝑓: 𝑋 → 𝑌 uma função, U ⊂ 𝑌 e V ⊂ 𝑌 conjuntos.
A imagem inversa assume as seguintes propriedades:
•
•
•
•
•
𝑓 −1 𝜙 = 𝜙;
Se 𝑈 ⊂ 𝑉, então, 𝑓 −1 (𝑈) ⊂ 𝑓 −1 (𝑉);
𝑓 −1 𝑈 ∪ 𝑉 = 𝑓 −1 (𝑈) ∪ 𝑓 −1(𝑉);
𝑓 −1 (𝑈 ∩ 𝑉) = 𝑓 −1 (𝑈) ∩ 𝑓 −1 (𝑉);
𝑓 −1 𝑌 − 𝑉 = 𝑋 − 𝑓 −1 (𝑉).
4. Os números reais
Seja 𝑚 ∈ 𝐸. Dizemos que 𝑚 é um mínimo de 𝐴 se 𝑚 é
uma cota inferior de 𝐴 e 𝑚 ∈ 𝐴. Da mesma forma, dado
um 𝑀 ∈ 𝐸, diz-se que 𝑀 é um máximo de 𝐴 se 𝑀 for uma
cota superior de 𝐴 e 𝑀 ∈ 𝐴.
Denotam-se, respectivamente, o máximo e o mínimo de
𝐴 por 𝑚á𝑥 𝐴 e 𝑚í𝑛 𝐴 . O máximo e o mínimo de
determinado conjunto, quando existem, são únicos.
Considere um elemento 𝑖 ∈ 𝐸. 𝑖 é dito ínfimo de 𝐴
(denotado por í𝑛𝑓 𝐴) se:
• 𝑖 é cota inferior de 𝐴;
• Se 𝑙 é cota inferior de 𝐴, então, 𝑙 ≤ 𝑖 (𝑖 é a maior das
cotas inferiores de 𝐴).
De forma análoga, 𝑆 ∈ 𝐸 é dito supremo de 𝐴 (𝑠𝑢𝑝 𝐴) se:
No conjunto dos números reais (denotado por ℝ)
estão definidas duas operações, adição (+) e multiplicação (⋅) e uma relação de ordem (≤).
• 𝑆 é cota superior de 𝐴;
• Se 𝐿 é cota superior de 𝐴, então, 𝑆 ≤ 𝐿 (𝐿 é a menor das
cotas superiores de 𝐴).
4.1 Propriedades da adição e multiplicação
Assim como no caso do máximo e mínimo, o supremo e
o ínfimo, quando existem, são únicos.
Nos reais, adição e a multiplicação, respectivamente,
seguem as propriedades abaixo. Dados 𝑥, 𝑦 e 𝑧 ∈ ℝ:
• Associatividade:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) e 𝑥. 𝑦 . 𝑧 = 𝑥. 𝑦. 𝑧
• Comutatividade:
𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 e 𝑥. 𝑦 = 𝑦. 𝑥
• Distributiva:
𝑥. 𝑦 + 𝑧 = 𝑥. 𝑦 + 𝑥. 𝑧
• Existência de elemento neutro:
𝑥 + 0 = 𝑥 e 𝑥. 1 = 𝑥
• Existência de elemento oposto / inverso:
𝑥 + −𝑥 = 0 e 𝑥. 𝑥 −1 = 1, 𝑥 ≠ 0
• Compatibilidade da ordem com as operações:
𝑥 ≤𝑦 ⇒ 𝑥+𝑧 ≤𝑦+𝑧
7. O axioma do supremo
Todo conjunto não vazio de ℝ, limitado superiormente,
possui supremo.
𝐴⊊ℝ
𝐴≠𝜙
⇒ ∃𝑆 = 𝑠𝑢𝑝𝐴 ∈ ℝ
𝐴 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
7.1 Consequências do axioma do supremo
• ℕ não é limitado superiormente;
• Propriedade de Arquimedes: se 𝑥 > 0 e 𝑦 são dois
números reais quaisquer, então existe pelo menos um
número natural 𝑛 tal que 𝑛. 𝑥 > 𝑦;
• Propriedade dos intervalos encaixantes: sejam 𝐼𝑛
intervalos fechados e limitados tais que 𝐼1 ⊃ 𝐼2 ⊃ ⋯ ⊃
𝐼𝑛 ⊃ ⋯ , então
∞
𝑥 ≤ 𝑦 e 0 ≤ 𝑧 ⇒ 𝑥. 𝑧 ≤ 𝑦. 𝑧
𝐼𝑛 ≠ 𝜙
𝑛=1
4.2 O corpo ordenado dos reais
Admitiremos que a quádrupla (ℝ, +,⋅, ≤) é um corpo
ordenado, isto é, satisfaz todas as propriedades descritas
no item 4.1 e possui uma relação de ordem definida
sobre si.
5. Sequências numéricas
Uma sequência numérica é uma função 𝑓: ℕ∗ → 𝐴,
onde ℕ∗ = ℕ − {0} e 𝐴 é um conjunto numérico
previamente definido.
5.1 Conjuntos finitos
Um conjunto 𝐵 é finito se 𝐵 = 𝜙 ou se existe uma
função 𝑓: 𝐽𝑛 → 𝐵 com 𝐽𝑛 ⊊ ℕ∗ (sequência) bijetiva.
Note que as funções bijetivas definem uma relação de
equivalência no conjunto de todos os conjuntos.
8. Tópicos de estudo futuro
Como este projeto ainda está em andamento,
estudaremos ainda o uso de sequências para estudar a
continuidade de funções reais e também estudaremos
alguns teoremas, como o teorema do confronto e o
teorema do valor médio.
9. Referências
1. DOMINGUES, Hygino Hugueros. Espaços Métricos e
Introdução à Topologia. Atual Editora LTDA, 1982.
2. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo
Volume 1. LTC Editora, 2001.