Circuitos Elétricos 2
Circuitos Elétricos Aplicados
Prof. Dr.-Ing. João Paulo C. Lustosa da Costa
Universidade de Brasília (UnB)
Departamento de Engenharia Elétrica (ENE)
Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos
Caixa Postal 4386
CEP 70.919-970, Brasília - DF
de Brasília
Homepage:Universidade
http://www.pgea.unb.br/~lasp
Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos
1
Resposta em Regime Estacionário de uma Rede
1. Substitua o sinal periódico por sua série de Fourier
2. Determine a resposta em regime estacionário de cada harmônico
3. Some as respostas em regime estacionário de cada harmônico
H ( j ) | H ( j ) | e j ( ) | H ( j ) |  ( )
H ( j )
| c | e j (1t  )
| D | cos(1t   )
| c || H ( j1 ) | e j (1t   (1 ))
| D || H ( j1 ) | cos(1t     (1 ))
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2
Exemplo de Resposta
em Regime Estacionário de uma Rede (1)
v(t ) : A  5, T0   , wo  2 /   2
1
j
v(t ) 


n 1
n ímpar
D11  
40
 20

sin2n t  2 2 cos 2n t 

n
 n

40
2
j
20

 7.5  122
40
20

j
 2.2  102
3
9 2
D5 5  1.3  97, D7 7  0.92  95
D3  


n 1
n 1

f ( t )  a0   Dn cos(no t   n )  a0   Re Dn ne jno t
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
3
Exemplo de Resposta
em Regime Estacionário de uma Rede (2)


n 1
n 1

f ( t )  a0   Dn cos(no t   n )  a0   Re Dn ne jno t

v (t )  7.5 cos(2t 1220 )  2.2 cos(6t 1020 ) 1.3cos(10t  970 )  0.91cos(14t  950 )  ...
7.5  1220
v o ( w0 ) 
 0.84  185.40
4  j8
2.2  1020
v o ( 3w0 ) 
 0.09  182.50
4  j 24
1.3  970
v o (5w0 ) 
 0.03  181.60
4  j 40
0.9  950
vo (7 w0 ) 
 0.017  1810
4  j 56
vo (t )  0.84cos(2t  185.40 )  0.09cos(6t  182.50 )  0.03cos(10t  181.50 )  0.017cos(14t  1810 )...
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4
Exemplo de Resposta
em Regime Estacionário de uma Rede (3)

Determine a expressão p/ corrente i(t) no regime estacionário
Z  1 2 ||
2
j
v S (t ) 
20
D0 
20



 40
cos 2nt
2
n1 ( 4n  1)

; Dn 
40
180, n  1;  n  2n
2
 (4n  1)
4
4
6  j 2 3  j
j
Z ( j )  1 
1


2
2

j
2

2

j
2

1  j
2
j
Y ( j ) 
I ( j ) 
1  j
3  j
V S ( j )
 Y ( j )VS ( j )
Z ( j )
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Exemplo de Resposta
em Regime Estacionário de uma Rede (4)

Determine a expressão p/ corrente i(t) no regime estacionário
I ( j ) 
V S ( j )
 Y ( j )VS ( j )
Z ( j )
I ( j 2n)  Y ( j 2n) Dn 
Y ( 0) 
Y ( j ) 
1  j
3  j
1  j 2n
Dn fasorp/ n - é simoharmônico
3  j 2n
1
3
1  4n 2
1
1
Y ( j 2 n) 
(

tan
2
n


tan
(2n / 3))
2
9  4n

i ( t )  Y (0) D0   | Yn || Dn | cos(2nt  Yn )
n 1
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Potência Média (1)

Numa rede com fontes periódicas (de mesmo período), a tensão e a
corrente no elemento são da mesma forma

v (t )  Vdc  Vn cos( n 0 t   vn )
n 1

i (t )  I dc   I n cos( n 0 t   in )
n 1

Definição de
1
T
t 0 T

t0
1
Potê ncia
Mé diaP 
potência
média:
T
to T
 v(t )i (t )dt
to


n 1
n 1
v ( t )i ( t )  Vdc I dc  Vdc  I n cos(n 0 t   in )  I dc  Vn cos(n 0 t   vn )


   Vn1 I n2 cos(n1 0 t   vn1 ) cos(n2 0 t   in2 )
n1 1 n2 1
Vn1I n 2 cos(( n1  n2 ) 0 t  ( vn1   in2 )) 
 Vn1 I n2 cos(n10t   vn1 ) cos(n0t   in2 )    2  cos(( n  n ) t  (   ))
n1 1n2 1
n1 1n2 1

1
2
0
vn1
in2 





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Potência Média (2)

Logo a potência média é dada por:

Vn I n
cos( vn  in )
2
n 1
Potê nciaMé diaP  Vdc I dc  
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Exemplo de Cálculo de Potência Média (1)

Determine a potência média
v (t )  64  36 cos(377t  60)  24 cos(754t  102)[V ]
 cos  cos(  180)
i (t )  1.8 cos(377t  45)  1.2 cos(754t  100)[ A]

Vn I n
cos( vn  in )
2
n 1
Potê nci aMé di aP  Vdc I dc  
P  64* 0  0.5(36 1.8 cos(15)  24 1.2 cos(102  180  100))
P
62.59  28.78
 16.91[W ]
2
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Exemplo de Cálculo de Potência Média (1)

Determine a corrente, i(t), e a potência média absorvida pela rede
v (t )  42  16 cos(377t  30)  12 cos(754t  20)[V ]
Z ( j )  R  jL 
1
jC 
I ( j ) 
V ( j )
Z ( j )
  377
V ( j 377)  1630,
Z ( j 377)  16  j 0.020  377  j
I ( j 377) 
1
104377
1630
 0.6479.88
16  j 7.54  j 26.53
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Exemplo de Cálculo de Potência Média (2)

Determine a corrente, i(t), e a potência média absorvida pela rede
  754
0
V ( j 754)  12  20,
capacitoré um circuitoabe rto(Z   )
I ( j 0)  0
Z ( j 754)  16  j 0.020  754  j
I ( j 754) 
1
104  754
12  20
 0.75  26.49
16  j15.08  j13.26
i (t )  0.64cos(377t  79.88)  0.75cos(754t  26.49)

Vn I n
cos( vn  in )
2
n 1
Potê nciamé diaP  Vdc I dc  
P  42(0) 
16 0.64cos(49.88 )  12 0.75cos(6.49 )
2
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Transformada de Fourier (1)


Ao aumentar o período tp,o coeficiente de Fourier se torna menor e mais
denso (i.e., os pontos são bem próximos uns dos outros).
Assumindo que: lim u t   0
t 

Se tp , então tem-se valores muito pequenos de C() sobre um eixo de
freqüência com densidade infinita.
 Espectro contínuo
 C() não é necessário quando tp .

Densidade de amplitude espectral
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Transformada de Fourier (2)

Usando a definição da densidade de amplitude espectral


lim
f 0

Gf f   G f df



Integral de Riemann

Mudando variáveis

ut    U  f e j 2ft df

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Transformada de Fourier (3)

Logo,

ut    U  f e j 2ft df

C  
 j 2ft




  u p t e  j 2πftμ dt 


U
f

u
t
e
dt
f 

f
tp


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Transformada de Fourier (4)

Definições:

F ( ) 

f ( t )e
 jt
1
f (t ) 
2
dt

F ( )  F[ f (t )]


j t
F
(

)
e
d


f (t )  F-1 [ F ( )]
Visão da Transformada de Fourier:
 uma função periódica pode ser vista como uma função de período infinito

2
2


jt d
jn t
jn t 1
F
(

)
e

f p ( t )   cn e T
f p (t )   cnTe T
2
2

T
 
n
T /2
1
cn 
f

T T / 2
n
2
 jn t
(t )e T dt
cnT 
T /2

T / 2
f
2
 jn t
( t )e T dt
T
n   n

T 


f (t )e jt dt
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Exemplo da Transformada de Fourier (1)

Determine a transformada de Fourier:

V ( )   v (t )e
 j t
 /2
dt  V
e
 j t
dt
 / 2

 /2
 1  j t 
e j / 2  e  j / 2
V ( )  V 
e
V

j

j

  / 2
V ( )  V
sin

2

2
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Exemplo da Transformada de Fourier (2)

Determine a transformada de Fourier:
 Comparando com o espectro de uma função periódica relacionada

V sin 2
cn 
T0 
2
Espectrop/ T0  5
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Exemplo da Transformada de Fourier (3)

Determine a transformada de Fourier do impulso unitário:
F ( ) 


f (t )e  jt dt

Propri e dade da am ostrage m
do i m pu l so

  (t  a ) f (t )dt 
F ( )  F[ f (t )]
f (a )


F[ (t )]    (t  a )e  j t dt  e  j a


De te rmine
a transforma
da de Fourie rde
jo t
Determine a transformada de Fourier de f (t )  e

d
f (t )   F ( )e j t
2

C onside reF ( )  2 (  0 ) e ache
a funçãocorre spond
e nteno domíniodo te mpo
f (t ) 


2 (  0 )e j t

j0 t
d
2
f (t )  e
F ( )  F[e jω0t ]  2πδ(ω-ω0 )
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Exemplo da Transformada de Fourier (4)

Determine F ( )  F[sin 0t]
2 (   0 )  2 (   0 )
e j0t  e  j0t
F
(

)

f (t )  sin 0 t 

2j
2j
F ( )  j  (  0 )   (  0 )
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Tabela de Pares da Transformada de Fourier
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Tabela de Propriedades da Transformada de Fourier
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Propriedade da Convolução
f (t )  f1 (t )  f 2 (t ) 

 f1( x) f 2 (t  x)dx

F ( ) 


f (t )e  j t dt




F ( )     f1 ( x ) f 2 (u)e  j ue  j x dudx

  




    f1 ( x ) f 2 (t  x )dx  e  j t dt

  


F ( )   f1 ( x )e
dx   f 2 (u)e  j udu
 


F ( )  F1 ( ) F2 ( )
 j x
Mudando ordem da integração



F ( )     f1 ( x ) f 2 (t  x )e  j t dt dx

  
Mudando variáveis de integração
u t  x t  u x



 j ( u x )
F ( )     f1 ( x ) f 2 (u)e
dudx

  
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22
Aplicação da Convolução

vo (t )   h(t  x )vi ( x )dx
v i (t )
h(t )


A saída (resposta) de uma rede pode
ser computada a partir da transformada
de Fourier
Exemplo
 Use a transformada de Fourier para determinar v0(t)
Da tabela de transfomadas
vi (t )  e t u(t )
h(t )  e 2t u(t )
(e todas as condições iniciais são zero)
Vo ( )  H ( )Vi ( )
Use frações parciais
1
1
j  2 j  1
1
A
A
 1  2
( s  2)( s  1) s  2 s  1

A1  ( s  2)Vo ( s ) |s 2  1
A2  ( s  1)Vo ( s) |s 1  1
Vo ( ) 

1
1

j  1 j  2

vo (t )  e t  e 2 t u(t )
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Teorema de Parseval

Considere f(t) uma tensão aplicada a um resistor de 1 
p(t )  v (t )i (t ) | f (t ) |2

Teorema de Parseval

 | f (t ) | dt 
2




| F ( ) |2
d
2
 por definição, o lado esquerdo é a energia do sinal
| f (t ) |2  potência(oudensidadede energiano tempo)
| F ( ) |2  Densidadede energiano domínioda freqüência



Teorema de Parseval permite a determinação da energia de um sinal numa
dada faixa de freqüência.
Se a transformada de Fourier tem uma grande amplitude numa faixa de
freqüência, então o sinal tem uma energia significante naquela faixa.
E se a magnitude a transformada de Fourier é zero (ou muito pequena)
então o sinal não tem energia naquela faixa.
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