Capítulo
26
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Circunferência
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
1.5
Lugar geométrico
Lugar geométrico plano é um conjunto de pontos que
atendem a uma propriedade de modo que:
 todos esses pontos atendam à propriedade;
 e somente esses pontos tenham essa propriedade.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.1
1.5
Definição de circunferência
Dados um ponto fixo C e um número positivo r, a
circunferência λ é o lugar geométrico dos pontos P do
plano que estão à mesma distância r de C.
A distância r é a medida do raio e C, o centro
da circunferência.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.2
1.5
Equação da circunferência
Observe a figura:
O ponto P(x, y) pertence à
circunferência se, e somente se, dC,P = r.
Logo:
=r
Elevando os dois membros da equação ao quadrado, temos:
(x – a)2 + (y – b)2 = r 2
A equação descrita acima é conhecida como equação
reduzida da circunferência de centro C(a, b) e raio r.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.3
1.5
Equação da circunferência
Exemplo
a) Vamos determinar a equação reduzida da circunferência com
raio de medida r = 3 e centro C(–2, 1).
Tomando um ponto P(x, y) qualquer da circunferência, temos:
(x – a)2 + (y – b) 2 = r2
[x – (–2)]2 + (y – 1)2 = 32
(x + 2)2 + (y – 1)2 = 32
Logo, (x + 2)2 + (y – 1)2 = 9 é a equação reduzida dessa
circunferência.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.4
1.5
Equação da circunferência
Exemplo
b) Agora, vamos determinar a equação reduzida da circunferência que
tem centro no ponto C(–1, –3) e que passa pelo ponto P(3, –6).
Observe:
Por meio da figura, verificamos que a medida do raio dessa
circunferência é igual à distância dC,P.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.5
1.5
Equação da circunferência
Exemplo
b) Assim:
r = dC,P ⇒ r =
⇒r=
⇒r=
⇒r=5
Substituindo as coordenadas do centro da circunferência e o valor
de r na equação da circunferência, temos:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 ⇒ (x + 1)2 + (y + 3)2 = 52
Logo, a equação reduzida dessa circunferência é:
(x + 1)2 + (y + 3)2 = 25
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.5
1.5
Exercício resolvido
R1. Determinar as coordenadas do centro C e a medida
r do raio de uma circunferência a partir de sua equação
(x + 1)2 + y2 = 16.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.6
1.5
Exercício resolvido
R1.
Resolução
Podemos encontrar o centro e a medida do raio da
circunferência comparando a equação dada com a
equação na forma reduzida:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x + 1)2 + (y – 0)2 = 16
Como a = –1 e b = 0, então: C(–1, 0).
Como r2 = 16, então: r = 4.
Portanto, o centro é C(–1, 0) e o raio mede 4.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.6
1.5
Exercício resolvido
R2. Determinar o centro, a medida do
raio e a equação reduzida de cada
circunferência, sabendo que a reta
y = 1 é tangente às duas
circunferências.
Resolução
A circunferência λ1 tem centro C1 (–4, 4) e raio r = 3.
Logo, a equação reduzida de λ1 é: (x + 4)2 + (y – 4)2 = 9.
A circunferência λ2 tem centro C2 (0, 0) e raio r = 1.
Logo, a equação reduzida de λ2 é: x2 + y2 = 1
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.7
1.5
Equação geral da circunferência
Para obter a equação geral da circunferência de centro
C(a, b) e raio de medida r devemos desenvolver os
quadrados da equação reduzida. Veja:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 ⇒ x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – r2 = 0
Portanto, a equação geral da circunferência é:
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.8
1.5
Equação geral da circunferência
Exemplo
a) Vamos determinar a equação geral da circunferência com centro no
ponto (–2, 1) e raio de medida r = 2.
Substituindo os valores C(–2, 1) e r = 2 na equação reduzida
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 e desenvolvendo os quadrados, temos:
(x + 2)2 + (y – 1)2 = 22 ⇒ x2 + 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 4 ⇒
⇒ x2 + 4x + 4 + y2 – 2y + 1 – 4 = 0
Assim, encontramos a forma geral da equação da circunferência:
x2 + y2 + 4x – 2y + 1 = 0
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.9
1.5
Equação geral da circunferência
Exemplo
b) Agora, vamos representar a circunferência
de centro C(–3, 1) e raio de medida r = 2
na forma da equação geral.
Podemos escrever a equação reduzida da circunferência
e depois desenvolver os quadrados:
(x + 3)2 + (y – 1)2 = 4 ⇒ x2 + 6x + 9 + y2 – 2y + 1 = 4 ⇒
⇒ x2 + y2 + 6x – 2y + 9 + 1 – 4 = 0
Portanto, a equação geral da circunferência é:
x2 + y2 + 6x – 2y + 6 = 0
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.10
1.5
Equação geral da circunferência
Exemplo
c) Dada a equação da circunferência x2 + y2 – 6x + 8y – 24 = 0,
vamos determinar o centro C e a medida r do raio.
Para obter o centro e a medida do raio da circunferência, podemos
formar o trinômio quadrado perfeito.
x2 + y2 – 6x + 8y – 24 = 0 ⇒ x2 – 6x +
(I)
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.11
1.5
+ y2 + 8y +
(II)
= 24
Equação geral da circunferência
Exemplo
c) Para que (I) e (II) sejam trinômios quadrados perfeitos,
precisamos completá-los respectivamente com os números 9 e
16. Adicionando 9 e 16 ao primeiro membro, para que a
igualdade se mantenha, é preciso adicionar 9 e 16 ao segundo
membro. Assim:
x2 – 6x + 9 + y2 + 8y + 16 = 24 + 9 + 16
(x – 3)2
+
(y + 4)2
= 49
Portanto, o centro da circunferência
é C(3, –4) e o raio mede 7.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.11
1.5
Exercício resolvido
R3. Seja Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 uma
equação completa do 2o grau. Determinar as condições
que os coeficientes A, B, C, D, E e F devem cumprir para
que a equação dada seja uma circunferência.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.12
1.5
Exercício resolvido
R3.
Resolução
Vamos transformar em 1 o coeficiente de x2. Para isso
dividimos a equação por A: x2
, com A ≠ 0.
Comparando essa equação com a equação geral da
circunferência, temos:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.12
1.5
Exercício resolvido
R3.
Resolução
Observe:
B
A
= 1 ⇒ A = B ≠0
C
A
E
A
= –2b ⇒ b = –
F
=0⇒C=0
A
r=
D
A
= – 2a ⇒ a = –
D2 + E 2 – 4AF
A = B ≠ 0, C = 0 e D2 + E2 – 4AF > 0
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
4A2
com D2 + E 2 – 4AF
Portanto, as condições são:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
26.12
1.5
2A
= a2 + b2 – r 2
D
2A
E
˃0
Posição relativa entre um ponto
e uma circunferência
d=r
O ponto P pertence
à circunferência.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
d>r
d<r
O ponto P é exterior
à circunferência.
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.13
1.5
O ponto P é interior
à circunferência.
Posição relativa entre um ponto
e uma circunferência
Exemplo
Vamos determinar a posição dos pontos P(1, 5), Q(0, 4)
e R(3, 2) em relação à circunferência de equação
x2 + (y – 2)2 = 9.
Para determinar a posição que cada ponto ocupa em relação à
circunferência, devemos calcular a distância entre cada ponto e o
centro da circunferência.
Da equação da circunferência x2 + (y – 2)2 = 9, temos
o centro C(0, 2) e r = 3.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.14
1.5
Posição relativa entre um ponto
e uma circunferência
Exemplo
Calculando as respectivas distâncias: dC,P =
Como
> 3, então dC,P > r;
logo, o ponto P é exterior à circunferência.
dC,Q =
Como 2 < 3, então dC,Q < r; logo, o ponto Q
é interior à circunferência.
dC,R =
Então, dC,R = r; logo, o ponto R pertence à
circunferência.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.14
1.5
Exercício resolvido
R4. Dada a circunferência ao lado:
a) determinar sua equação;
b) determinar a posição dos pontos
A(
,
) e B(–2, –2) em relação
à circunferência;
c) indicar as coordenadas dos pontos
pertencentes à circunferência e à bissetriz
dos quadrantes ímpares.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.15
1.5
Exercício resolvido
R4.
Resolução
a) A circunferência tem centro C(0, 0) e raio r =
.
Portanto, a equação da circunferência é: x2 + y2 = 5.
b) Vamos determinar a distância entre cada ponto e o
centro da circunferência:
dC,A =
Então, dC,A = r; logo, o ponto A pertence à circunferência.
dC,B =
Então, dC,B > r; logo, o ponto B é exterior à circunferência.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.15
1.5
Exercício resolvido
R4.
Resolução
c) Precisamos determinar os pontos de intersecção entre a
circunferência (x2 + y2 = 5) e a bissetriz dos quadrantes
ímpares (y = x). Então,
Para
, temos:
e, para
Portanto, os pontos são:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
e
26.15
1.5
, temos:
.
Posição relativa entre uma reta
e uma circunferência
d=r
s é tangente à
circunferência.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
d>r
d<r
s é exterior à
circunferência.
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.16
1.5
s é secante à
circunferência.
Posição relativa entre uma reta
e uma circunferência
Da observação dos três casos anteriores concluímos que:
 Se d = r, então s ∩ λ = {A} (s é tangente à circunferência λ);
 Se d > r, então s ∩ λ = Ø (s é exterior à circunferência λ);
 Se d < r, então s ∩ λ = {A, B} (s é secante à circunferência λ).
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.16
1.5
Posição relativa entre uma reta
e uma circunferência
Exemplo
Vamos determinar a posição relativa entre a reta s de equação
x + y + 1 = 0 e a circunferência de equação x2 + y2 + 2x +
+ 2y + 1 = 0.
Primeiro, obtemos o centro e a medida do raio da circunferência
de equação x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0, comparando-a com a
equação geral:
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
Como –2a = 2, então: a = –1.
Como –2b = 2, então: b = –1.
Portanto, o centro da circunferência é: C(–1, –1).
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.17
1.5
Posição relativa entre uma reta
e uma circunferência
Exemplo
Substituindo a = b = –1 em a2 + b2 – r2 = 1, obtemos: r = 1.
Agora, calculamos a distância do centro da circunferência à reta s:
Como dC,s < r, então a reta s é secante à circunferência.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.17
1.5
Exercício resolvido
R5. Obter os valores de k para que a reta da equação
y = x + k seja tangente à circunferência da equação
x2 + y2 – 9 = 0.
Resolução
Vamos resolver o sistema:
Substituindo y = x + k na equação da circunferência, temos:
x2 + (x + k)2 – 9 = 0 ⇒ x2 + x2 + 2kx + k2 – 9 = 0 ⇒
⇒ 2x2 + 2kx + k2 – 9 = 0
Δ = (2k)2 – 4 ∙ 2(k2 – 9) = 0
–4k2 + 72 = 0 ⇒ k2 = 18 ⇒ k =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
ou k =
26.18
1.5
Exercício resolvido
R6. Dada a equação da circunferência
μ: x2 + y2 – 2x – 2y –18 = 0, determinar a equação da
reta v tangente a μ no ponto P(–3, –1).
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.19
1.5
Exercício resolvido
R6.
Resolução
Vamos determinar as coordenadas do centro C da circunferência:
x2 + y2 – 2x – 2y – 18 = 0 ⇒ (x – 1)2 + (y – 1)2 = 20 ⇒ C(1, 1)
Lembremos que, se v é tangente a μ, então v é perpendicular à
reta que passa por C(1, 1) e P(–3, –1), que chamamos de w.
Agora, calculamos o coeficiente angular mw da reta w:
mw =
–1 –1
–2
1
–3 –1
–4
2
Com isso, determinamos o coeficiente angular mv da reta v:
mv =
Logo, a equação da reta v é: y + 1 = –2(x + 3) ⇒ 2x + y + 7 = 0.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.19
1.5
Posição relativa entre duas
circunferências
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Circunferências
secantes
Circunferências
tangentes
Circunferências
disjuntas
Têm dois pontos
em comum.
Têm um ponto
em comum.
Não têm nenhum
ponto em comum.
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.20
1.5
Posição relativa entre duas
circunferências
É importante observar que, quando d = 0, as circunferências
λ1 e λ2 são concêntricas, ou seja, têm o mesmo centro.
Quando d = 0 e r1 = r2, as circunferências são coincidentes.
Para determinar quantos são os pontos comuns entre duas
circunferências, basta conhecer seus raios e a distância entre
seus centros. E, para identificar esses pontos, é preciso
resolver o sistema formado pelas equações das
circunferências.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.20
1.5
Posição relativa entre duas
circunferências
Exemplo
a) Vamos determinar a posição relativa entre as circunferências
de equações
(x + 2)2 + (y – 12)2 = 169 e x2 + y2 – 6y + 9 = 25.
Primeiro, determinamos os centros C1 e C2 e as medidas r1 e r2
dos raios de cada circunferência.
Como (x + 2)2 + (y + 12)2 = 169, então: C1(–2, 12) e r1 = 13.
Escrevendo a equação reduzida da outra circunferência, temos:
x2 + y2 – 6y + 9 = 25 ⇒ x2 + (y – 3)2 = 25, assim:
C2(0, 3) e r2 = 5
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.21
1.5
Posição relativa entre duas
circunferências
Exemplo
a) Calculando a distância d entre os centros C1 e C2, vem:
Observe que |13 – 5| <
< 13 + 5, ou seja:
|r1 – r2|< d < r1 + r2
Portanto, as circunferências são secantes.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.21
1.5
Posição relativa entre duas
circunferências
Exemplo
b) Agora, vamos determinar a equação da circunferência de centro
C1(–1, 0) e que tangencia exteriormente a circunferência de
equação (x + 3)2 + y2 = 1.
Da equação (x + 3)2 + y2 = 1, temos C2(–3, 0) e r2 = 1, e como
as circunferências são tangentes exteriores, então: d = r1 + r2
Calculando a distância d entre os centros das circunferências, vem:
Como o raio da circunferência dada mede 1, temos:
2 = r1 + 1 ⇒ r1 = 1.
Portanto, a equação da circunferência é: (x + 1)2 + y2 = 1.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.22
1.5
Posição relativa entre duas
circunferências
Exemplo
c) Para calcular a área do círculo de centro (2, 5), sabendo que a
reta da equação 3x + 4y = 6 é tangente ao círculo, consideramos
que a reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio
no ponto de contato.
Logo: r =
r = 4.
Portanto, a área do círculo é 16p unidades de área.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.22
1.5
Exercício resolvido
R7. Resolver graficamente o sistema de inequações
Resolução
1o) O conjunto solução da inequação x2 + y2 ≤ 9 é o círculo de
centro (0, 0) e raio 3.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.23
1.5
Exercício resolvido
R7.
Resolução
2o) O conjunto solução da inequação x – y ≤ 3
é o semiplano que contém o ponto (0, 0) e é
limitado pela reta da equação x – y – 3 = 0.
Para obter o conjunto solução do sistema,
basta fazer a intersecção dos dois conjuntos.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 26
1 ––Conjuntos
Circunferência
26.23
1.5
ANOTAÇÕES EM AULA
Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso
Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano,
Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva
Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez
Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos
Coordenação de produção: Maria José Tanbellini
Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação
Ilustração dos gráficos: Adilson Secco
EDITORA MODERNA
Diretoria de Tecnologia Educacional
Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida
Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio
Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes
Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin
Editor de arte: Fabio Ventura
Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini
Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres
Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres
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2012
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA