SOLUÇÕES EXATAS 2D
DA EQ. DE NAVIER-STOKES
1. 1o Problema de Stokes
2. Escoamento na vizinhança de um ponto de
estagnação (Hiemenz 1911)
3. Canal Convergente ou Divergente (Jeffery &
Hamel )
Stokes 1st Problem
• Mecanismo de transporte: difusão de quantidade de
movimento.
• O transporte é proporcional ao gradiente da propriedade
transportada.
J
d
dn
• Placa plana colocada em movimento num meio semi-infinito.
filme 200cs
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Formulação
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Propriedades Função Erro
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Métodos de Solução Eq. Difusão (i)
• A equação de difusão para um domínio semi-infinito.
• As técnicas de solução analítica para esta EDP linear são:
• (i) transformação similar (apresentada);
• (ii) transformação de Fourier e
• (iii) Transformação de Laplace. Esta última aplica-se quanto U0
não for constante mas U0(t), também conhecida como ‘Stokes 2nd
problem’. Para solução analítica acesse o link Laplace.
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Métodos de Solução Eq. Difusão (ii)
• A equação de difusão para um domínio finito.
 u  y  L, t   0
c.c. 
 u  y  0, t   U 0
c.i.u  y, 0   0
• A técnica de solução analítica para esta EDP linear é o método por
separação de variáveis:
 (i) domínio cartesiano solução por série de Fourier, para solução
analítica acesse o link Fourier.
 (ii) domínio cilíndrico-polar por série de Bessel.
 (iii) domínio esférico por série de Legendre.
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Efeito da Viscosidade
• Para problema puramente difusivos, foi visto que quanto maior
for a difusividade mais rapidamente o domínio sente o
movimento da parede, veja expressão para a altura de
penetração (1% de velocidade da fronteira)
  t
• Observe este efeito quando a parede externa do cilindro começa a girar (a)
fluido 100 cP e (b) 10000 cP
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Reversibilidade 1º Prob. Stokes
• Um fluido viscoso preenche o cilindro.
• Sua parede é posta a girar, após alguns instantes
ela para e inverte a rotação.
• Observe o que acontece com o marcador do
fluido: ele retorna para mesma posição. Porque?
Filme reverso
• O escoamento é reversível pq o fluido não possui
termo convectivo (não-linear). Na ausência deste
termo a equação permanece linear e portanto o
esc. é reversível.
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Transporte por Difusão
• Quantidade de movimento, vorticidade, temperatura, concentração (escalares
em geral , , h, s etc) são variáveis que são transportadas por difusão.
• Note que as equações de transporte são similares!
• A Difusão turbulenta é muitas vezes maior que a laminar. De fato o movimento
aleatório dos vórtices transporta de forma eficaz as propriedades
difusão laminar x turbulenta
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Competição Difusão x Convecção
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Competição Difusão x Convecção
Hiemenz Problem (1911)
• Escoamento viscoso próximo a um ponto de estagnação 2D.
• Mecanismo de transporte: difusão e convecção de quantidade de
movimento
K. Hiemenz , Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom
eingetauchten geraden Kreiszylinder. Göttingen Dingl. Polytech. J. 326 (1911).
K. Hiemenz, the boundary layer on a submerged in the uniform liquid flow right
circular cylinder. Göttingen Dingl. Polytech. J. 326 (1911).
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Hiemenz Problem
• Procura-se solução em termos de , satisfaz massa, uma eq. a menos!
• Região efeitos viscosos ausentes:
• Região efeitos viscosos presentes: hipótese
 o não deslizamento muda dependência de
(u,v) em y mas não é evidente que ele altere
a dependência de (u,v) em x.
  kxy


 u  kx e v = -ky
z  0


  kxf  y 
u  kxf ' e v = -ky
u v
z 

 kxf "
y x
Condições Contorno
nao deslizamento, y = 0
u  x,0   0  f '  0   0
v  x,0   0  f  0   0
longe da parede, y  
u  x,    kx  f '     1
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como f '     1 entao
  x,    0  f ''     0
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f’()= 1
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Forma Adimensional
• A eq. de Q. Movimento Reduziu para
uma EDO dependente de y:
k
k
k ' 2
''
f  .f.f    .  f   



'''
• A eq. possui dimensão de m-2, portanto cada vez que o valor de k/
será necessário resolvê-la novamente. É conveniente expressão a
equação na forma adimensional para obter uma solução geral!
• A busca da forma adimensional da eq. Q.Mov. requer definir uma
escala para y para deixar f(y) adimensional.
• Considerando as variáveis a seguir e suas dimensões k [s-1],  [m2/s], f
[m] e k/ [m-2] pode-se utilizar /k [m] como escala de comprimento
do problema!
 ~ /k
 = y/
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Forma Adimensional – escala 
• A escala  é definida pelo mecanismo
de difusão,  t
• O tempo é definido pela convecção,
t L U  x kx  1 k
• Combinando as escalas, encontra-se
que   k . A escala é  não
depende de x e t, mas é constante!
• Isto mostra que: os mecanismos de difusão e convecção são de mesma
ordem e a escala  coincide c/ o comprimento característico da eq.
• A distância da parede, y, expressa na forma
adimensional passa a ser:
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 y   y k 
Forma Adimensional – função corrente 
• Por hipótese define-se uma nova função
corrente com a função F()
   x,   AxF  
• F() é adimensional, x [m] e A é uma const. a ser determinada, A [m2/s]
Definição da constante A
• A definição de u a partir de (x,y) ou de   x,  devem coincidir, logo
u

 kxf '  y 
y
• Longe da parede,
y e ,
• A função corrente
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e
u
 
k '
 Ax
 F  
 y

onde   y k 
'
'

f


F
  1
k



'
'
kf     A
 F   

A  k

  x,   k  x  F  
Forma Adimensional – função corrente 
• Por hipótese define-se uma nova função
corrente com a função F()
   x,   AxF  
• F() é adimensional, x [m] e A é uma const. a ser determinada, A [m2/s]
Definição da constante A
• A definição de u a partir de (x,y) ou de   x,  devem coincidir, logo
u

 kxf '  y 
y
• Longe da parede,
y e ,
• A função corrente
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e
u
 
k '
 Ax
 F  
 y

onde   y k 
'
'

f


F
  1
k



'
'
kf     A
 F   

A  k

  x,   k  x  F  
Relações entre f(y) e F()


u=

 kxf '
y
v=


 kf
x
=
u
 kxf ''
y
/y =

 kxf '''
y
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=
 
k '
 k  x 
F
 y

 
  k  F
 x
identidade

f '  y   F'  

f y 

 F  
k
=
u 
k ''
 kx
F
 y


f ''  y  
k ''
 F  

=
  k 2
  x  F''
 y 

f '''  y  
=

k '''
 F  

Equação Q. Mov. e Condições de Contorno
A eq. Q. Mov. em f(y):
Substituindo na eq. as definições de
F no lugar de f chega-se a:
Sujeita às C. C.
2
k
k
k
f '''  ff ''   f '    0



F  FF   F   1  0
'''
' 2
''
y  0  u  0,
f '  0   0 e F'  0   0
y  0  v  0,
f 0  0 e F 0   0
y    u  kx, f '     1 e F'     1
A EDO é resolvida numericamente utilizando, por exemplo, uma
rotina Runge Kutta 4ª ordem com método de shooting.
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Schilichting, 7th ed
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Esta solução analítica de Hiemenz
mostra pela primeira vez o efeito do
Re no escoamento de fluidos!
Para Re ->  camada viscosa (cor
rosa) tende a zero – Camada Limite.
Para Re ->0 camada viscosa ocupa
todo domínio (sem inércia)
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Figure 8.1 – Flow past a circular cylinder at Re = 0.16. The flow is from
left to right. It resembles superficially the pattern of potential flow. The
flow of water is shown by aluminum dust. (Courtesy of The Parabolic
Press, Stanford, California. Reprinted with permission.)
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Jeffery Hamel Flow (2D)
• Escoamento desenvolvido num canal convergente / divergente
formado por duas placas paralelas inclinadas entre si.
• Linhas de corrente são retas que passam pela origem, em coordenadas
cilindrico-polar (r, ):
– u = 0 (desenvolvido) & rur = f()
George Barker Jeffery (9 May 1891 – 27 April 1957) was a leading mathematical physicist in the early
twentieth century.
Georg Karl Wilhelm Hamel (12 September 1877 – 4 October 1954) was a German mathematician with
interests
mechanics,
the foundations of mathematics and function theory.
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Prof.in
Eugênio
Rosa
Re.
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d
c
c
2c
e 2c = C, então
C
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=
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Perfil de Velocidade (10º)
i.
ii.
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Canal convergente, sempre
possível, Re cresce o perfil fica
mais plano com forte gradiente
próximo parece, C.L.
Canal divergente é limitado a
Recritico=const/ e Re >Recritico.
Pode ocorrer separação quando
 aumenta ou Re diminui
Comentários da Solução
• O perfil de velocidades para um canal convergente
ou divergente diferem entre sí.
• Para o canal convergente a medida que Re aumenta
o perfil tende a ficar cada vez mais uniforme em
toda a extensão do canal;
• Para o canal divergente o perfil depende de Re e
pode apresentar valores negativos! Isto é,
recirculação.
• Para haver recirculação é necessário que o
escoamento tenha separado (um estágio anterior). O
modelo mostra que separação ocorre com o aumento
do ângulo e a diminuição de Re
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Leitura Complementar
Algumas soluções analíticas NS
• Algumas soluções analíticas das eqs. NS estão reportadas em
White, F.M., Viscous Flow, cap. 3 e Schlichting, H.,
Boundary Layer Theory, cap. 5.
–
–
–
–
–
–
Unsteady duct flows
Unsteady flows with moving boundaries *
Assymptotic suction flows
Wind driven flows
Hiemenz flow (2D and axis-symmetric) *
Von Karman, flow near infinite rotating disk
– Jeffery-Hamel flow in a wedge shaped region *
• Existe uma segunda grande classe de soluções aproximadas
de NS que são obtidas por séries assintóticas.
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