Estatística
A Distribuição Normal
Prof. Helcio Rocha
Adaptado de Levine
6-1
A Distribuição Normal

Formato de sino
Simétrica
 Média, mediana e moda são
iguais

f(X)
A localização é determinada
pela média, μ
A amplitude é determinada pelo
desvio padrão, σ
σ
X
μ
Os dados podem assumir
valores de +  a  
6-2
A Distribuição Normal
Média e Desvio-padrão
Média
40
40
40
D. Padrão
10
15
15
N(40,10)
N(40,15)
0,05
0,04
0,04
0,03
0,03
0,02
0,02
0,01
0,01
0,00
0
10
20
30
40
50
60
70
80
6-3
Probabilidades na Distribuição
Normal
Probabilidade se traduz na área sob a curva,
onde área total = 1,00 = 100%
f(X)
P (a ≤ X ≤ b)
= P (a < X < b)
a
b
X
6-4
A Distribuição Normal Padronizada

Podemos converter qualquer distribuição
normal com média μ e desvio-padrão σ em
uma distribuição Z (μ = 0 e σ = 1)
f(Z)
1
0
Z
Benefício ► facilidade de cálculo de probabilidades
mediante tabela Z
6-5
Convertendo para Distribuição Z

Exemplo: Se X tem distribuição normal, com μ
= 100 e σ = 50, o valor de Z para X = 200 é
X  μ $200  $100
Z

 2.0
σ
$50

Isto significa que X = 200 está dois desviospadrão acima da média.
6-6
Probabilidade e distribuição Z
0.9772
Exemplo:
P(Z < 2.00) = 0.9772
0
2.00
Z
6-7
Probabilidade e distribuição Z


X representa o tempo (seg) para baixar uma imagem na internet.
Suponha que X é normal com média 18.0 seg e desvio-padrão 5.0 seg.
Encontre P(X < 18.6)
X  μ 18.6  18.0
Z

 0.12
σ
5.0
μ = 18
σ=5
18 18.6
P(X < 18.6)
μ=0
σ=1
X
0 0.12
Z
P(Z < 0.12)
6-8
Probabilidade e distribuição Z
P(X < 18.6)
= P(Z < 0.12)
Z
.00
.01
.02
0.5478
0.0 .5000 .5040 .5080
0.1 .5398 .5438 .5478
0.2 .5793 .5832 .5871
Z
0.3 .6179 .6217 .6255
0.00
0.12
6-9
Probabilidade na cauda superior


Suponha X normal com μ = 18.0 e σ =
5.0.
Encontre P(X > 18.6)
X
18.0
18.6
6-10
Probabilidade na cauda superior
(cont)
P(X > 18.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z ≤ 0.12)
= 1.0 - 0.5478 = 0.4522
0.5478
1.000
1.0 - 0.5478
= 0.4522
Z
0
0.12
Z
0
0.12
6-11
Probabilidade entre dois valores

Encontre P(18 < X < 18.6)
Calculando valores de Z:
X  μ 18  18
Z

0
σ
5
X  μ 18.6  18
Z

 0.12
σ
5
18 18.6
X
0 0.12
Z
P(18 < X < 18.6)
= P(0 < Z < 0.12)
6-12
Probabilidade entre dois valores
Z
.00
.01
.02
P(18 < X < 18.6)
= P(0 < Z < 0.12)
= P(Z < 0.12) – P(Z ≤ 0)
= 0.5478 - 0.5000 = 0.0478
0.0 .5000 .5040 .5080
0.0478
0.5000
0.1 .5398 .5438 .5478
0.2 .5793 .5832 .5871
0.3 .6179 .6217 .6255
Z
0.00
0.12
6-13
Probabilidade na cauda inferior
Encontre P(17.4 < X < 18)
P(17.4 < X < 18)
= P(-0.12 < Z < 0)
0.0478
= P(Z < 0) – P(Z ≤ -0.12)
= 0.5000 - 0.4522 = 0.0478
A distribuição normal é simétrica,
por isso…
0.4522
17.4 18.0
-0.12 0
X
Z
P(-0.12 < Z < 0) = P(0 < Z < 0.12)
6-14
Regra empírica
Para qualquer distribuição normal:
f(X)
μ ± 1σ cobre 68.26% da
área
σ
μ-1σ
σ
μ
μ+1σ
X
68.26%
6-15
Regra empírica
(cont)

μ ± 2σ cobre aprox. 95% da área

μ ± 3σ cobre aprox. 99.7% da área
2σ
3σ
2σ
μ
95.44%
x
3σ
μ
x
99.73%
6-16
Calculando X a partir da
probabilidade
Exemplo:

X representa o tempo (seg) para baixar uma imagem na
internet.

X tem distribuição normal com μ = 18 e σ = 5.0

Encontre X tal que 20% dos tempos de download são
inferiores a X.
0.2000
?
?
18.0
0
X
Z
6-17
Calculando X a partir da
probabilidade
1. Encontre Z para a probabilidade
Dica: na tabela procure Z para 80%
e inverta o sinal
Z
0,03
0,04
0,05
0,0
0,5120
0,5160
0,5199
0,7
0,7673
0,7704
0,7734
0,8
0,7967
0,7995
0,8023
0,9
0,8238
0,8264
0,8289

20% de área na cauda
inferior corresponde a Z
igual a -0.84
0.2005
?
18.0
-0.84 0
X
Z
6-18
Calculando X a partir da
probabilidade
2. Converta para X com a fórmula:
X  μ  Zσ
 18.0  (0.84)5.0
 13.8
Então, 20% dos valores com
distribuição normal de μ = 18 e σ = 5.0
são inferiores a 13.80.
6-19