Calculus for Coloring
Prof. Juan López Linares
FZEA-USP, D. de Ciências Básicas,
Pirassununga, São Paulo, BRASIL
E-mail: [email protected]
Motivation
Calculus:
Why not?
Why coloring?
• Help focus in details.
• Active learning: hands and mind must be
coordinated. Help Memorization.
• More beautiful.
• Unique (each one choose his colors).
• Better when color are associated with
concepts.
Text
Teorema de Fermat
O teorema de Fermat afirma que se uma função f(x) possuir um máximo ou mínimo
local em x0 e f’(x0) existir, então f’(x0) = 0.
A figura 1 ilustra o gráfico de uma função f(x) com um mínimo local em xmín e um
máximo local em xmáx. Nota-se que nos pontos de máximo e mínimo local as retas
tangentes (Tmín e Tmáx) são horizontais e, portanto, o ângulo de inclinação destas retas
respeito ao eixo x é igual à zero. Como a derivada de uma função em um ponto é igual à
inclinação da reta tangente a curva neste ponto temos que f’(xmín) = 0 e f’(xmáx) = 0.
Porém, o recíproco do teorema de Fermat não é sempre verdade. Isto é, o fato de f’(x0)
= 0 não garante que exista sempre um máximo ou um mínimo. Observe a função f(x) =
x3 na figura 2. Sua primeira derivada é f’(x) = 3x2, logo para x = 0, f’(0) = 0. A derivada
nula significa que a função tem uma reta tangente horizontal (T) nesse ponto. Mas, f(x)
= x3 não possui máximo nem mínimo em x = 0.
Outro exemplo em que devemos ter cuidado é o da figura 3. Note que a função f(x) = 1|x| tem um máximo (local e absoluto) em x = 0, porém esse valor não pode ser
encontrado equacionando-se f’(x) = 0, pois f’(0) não existe. Isto é, não existe a derivada
da função f(x) = 1- |x| em x = 0, devido à formação de um bico, a curva não é suave
nesse ponto.
É preciso ter cuidado ao interpretar o teorema de Fermat. Não se deve localizar os
valores de máximo e mínimo apenas escrevendo f’(x) = 0 e resolvendo para x.
Define-se um número crítico, c, de uma função f(x) como um número no domínio da
função em que f’(c) = 0 ou em que f’(c) não existe. No exemplo da figura 1 temos dois
pontos críticos: xmín e xmáx. Nos exemplos das figuras 2 e 3 existe um único número
crítico, c = 0.
Usando a definição anterior pode ser provado que se um máximo ou mínimo local de
uma função f(x) existir este acontece em um ponto crítico.
Dica: Pinte os pontos críticos de diferentes cores para destacá-los.
For Coloring
Colored
Evaluations
• Two surveys: one in 2010 with 77 students of
Calculus III and the second in 2013 with 80
students of Calculus IV.
• Both cases they found it the method helpful
for studying.
Publications
• Sergio Adriani David, C. Valentim e J. López,
Calculus for Coloring, Creative Education, Vol.4,
No.4, 254-258, April (2013).
http://www.scirp.org/journal/ce/,
DOI:10.4236/ce.2013.44037
• Estudantes e professores com cadastro no site de
Aprendizado Eletrônico da USP Tidia-Ae
(http://tidia-ae.usp.br/portal) podem inscreverse no curso “Cálculo para Colorir” e ter acesso
gratuito a todas as lâminas: de texto, para colorir
e coloridas.