8.5 – Centro de massa
Posição do centro de massa de
um sistema de N partículas:
i
2

m
r
 ii
0
N




m r  m2 r2  ...  mN rN
Rcm  1 1

m1  m2  ...  mN

ri
1
i 1
N
m
i
i 1
Média, ponderada pelas massas, das posições das partículas
Em componentes:
X cm
m1 x1  m2 x2  ...  mN x N


m1  m2  ...  mN
N
m x
i 1
N
i i
m
i 1
i
(idem para y e z)
Exemplos em 1D: 2 partículas
X CM 
(a) m1  m2  xCM
x1  x2

2
m1 x1  m2 x2
m1  m2
x1
x2
x2
(b) m1  m2  xCM  x1
(c)
x
xCM
xCM
Em geral, o centro de massa é um ponto intermediário entre x1 e x2:
x1  X CM  x 2
2/3
m
x=0
1/3
xCM
2m
x=L
x
X CM 
Kits LADIF
m  0  2m  L 2
 L
3m
3
x
Exemplo: sistema de 3 partículas em 2D
0×1+ 0× 2 + 4× 4
m = 2,3 m
1+ 2 + 4
0×1+ 3× 2 + 0× 4
=
m = 0,9 m
1+ 2 + 4
x CM =
y CM
Distribuições contínuas de massa (qualitativo)
Objeto homogêneo com centro geométrico: CM no centro
Objeto com eixo de simetria: CM ao longo do eixo
Note que o c.m. pode estar localizado fora do objeto
Movimento do centro de massa




m1r1  m2 r2  ...  mN rN
Rcm 
m1  m2  ...  mN
Velocidade do centro de massa:





dRcm m1v1  m2v2  ...  mN vN
Vcm 

dt
m1  m2  ...  mN
Massa total: M  m1  m2  ... mN





MVcm  m1v1  m2v2  ... mN vN  P (momento linear total)
Momento linear total é igual à massa total
multiplicada pela velocidade do centro de massa
Como vimos na aula passada, se a resultante das forças externas for
nula, ou se o sistema for isolado:


P  constante Vcm  constante
Vídeo: Physics Demonstrations in Mechanics: Part II, No. 5
Exemplo: Y&F 8.14
E se houver força externa resultante não-nula?




MVcm  m1v1  m2v2  ... mN vN
Derivando mais uma vez:




dVcm
dvN
dv1
dv2
M
 m1
 m2
 ...  mN
dt
dt
dt
dt




MAcm  m1a1  m2a2  ... mN aN




MAcm  m1a1  m2a2  ... mN aN
Pela 2ª Lei de Newton:

 


MAcm  F1  F2  ...  FN   F



 F   Fext   Fint
Soma das
forças externas
Somatório de todas as
forças que atuam sobre
todas as partículas
Soma das
forças internas
Como vimos na aula passada, pela 3ª Lei de Newton:
(pares ação e reação se cancelam)

 Fint  0
Assim:


 F ext  MAcm

Ou:  F
ext





dVcm d MVcm
dP
M


dt
dt
dt
O centro de massa se move como uma partícula que concentrasse
toda a massa do sistema, sob ação da resultante das forças externas
Vídeo: Physics Demonstrations in Mechanics: Part II, No. 6
Colisões no referencial do centro de massa:
• ausência de forças externas, velocidade do c.m. permanece
inalterada pela colisão
• referencial do c.m. é inercial
Mostrar applet:
http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/Applets/Collision/jarapplet.html


Trajetória

uA
u B
do c.m.

vA
A

vA
A

vB
B
A

uA
A
B
C.m. está
parado

uB
B
Referencial do c.m.

vB
B
Referencial do laboratório
Velocidades no referencial
do centro de massa:




u A  v A  Vcm




u B  vB  Vcm




u A  v A  Vcm




u B  vB  Vcm
Conservação do momento linear:



mA uA  Vcm






mAvA  mB vB  mAvA  mB vB






 mB uB  Vcm  mA uA  Vcm  mB uB  Vcm









mAu A  mBuB  mAu A  mBuB
Momento linear também se conserva no referencial do centro de
massa (como esperado, pois trata-se de um referencial inercial)

Energia cinética no referencial do lab:
Antes:
Ec 
1
1
m Av A2  mB vB2
2
2
Mudança de variáveis para velocidade do c.m. e velocidade relativa:



mAv A  mB vB

Vcm 
mA  mB

v  v  v  u  u (independedo referencial)
A
B
A
B
 rel
Invertendo, obtemos:

mB

v A  Vcm  m  m

A
B


v  V  m A
cm
 B
m A  mB

vrel

vrel
Substituindo na expressão para a energia cinética:
1
1
2
Ec  m Av A  mB vB2
2
2
2
1 
mB   1  
mA  
Ec  m A Vcm 
vrel   mB Vcm 
vrel 
2 
m A  mB
m A  mB
 2 

Após alguma álgebra (quadro negro):
Definindo:
1
1 mAmB 2
2
Ec  mA  mB Vcm 
vrel
2
2 mA  mB
M  mA  mB
mA mB

mA  mB
(massa total) e
(massa reduzida)
2
Obtemos finalmente:
Ec 
1
1 2
MV cm2  vrel
2
2
Energia cinética do movimento
do centro de massa
Energia cinética do
movimento relativo
Análise:
1. Parece com a expressão da energia cinética de duas “partículas”
2. No referencial do c.m., temos:
E
cm
c
1 2
 vrel
2
( vel. do c.m.  0)
Ou seja, a energia cinética depende do referencial, e a energia
cinética mínima é aquela calculada no referencial do c.m.
3. Antes e depois de uma colisão, a velocidade do c.m. não varia,
de modo que a variação da energia cinética é:
1
1 2
2

Ec  vrel  vrel
2
2
Ou seja, a variação de energia cinética não depende do referencial
(como esperado)
4. Em uma colisão elástica, temos:


1
1 2
2
  vrel  0  vrel  vrel

Ec  vrel
2
2
Ou seja, o módulo da velocidade relativa não é alterado pela colisão
5. A perda máxima de energia cinética (colisão totalmente
inelástica), ocorre quando: 0
1
1 2
1 2
2
  vrel   vrel
Ec  vrel
2
2
2
Desta forma, explica-se porque as partículas ficam “grudadas”
depois de uma colisão totalmente inelástica
8.6 – Propulsão de um foguete
Exemplo de movimento de um sistema de massa variável:
Instante t

v
Massa m
http://www.youtube.com/watch?v=sJj1WpbvxM4
Velocidade de exaustão dos
gases relativa ao foguete
Instante t + dt


v  dv
m +dm
dm < 0
-dm

vex
Conservação do momento linear:
P(t )  m v
P(t  dt)  m  dm(v  dv)  (dm)(v  vex )
mv  m  dm(v  dv)  (dm)(v  vex )
mv  mv mdv vdm dmdv vdm vexdm
mdv  vexdm
Infinitésimo de
ordem superior
dv
dm
dm
m
 vex
 F  vex
dt
dt
dt
Força de propulsão do foguete
(proporcional à taxa e à
velocidade de exaustão)
Note que, ainda que a força seja supostamente constante, a aceleração
aumenta com o tempo, pois a massa diminui continuamente
Cálculo da velocidade:
dm  dv  v dm
mdv  vexdm  dv  vex
ex 

m
m
v0
m0
v
m
v  v0  vex ln
m0
m0
v  v0  vex ln
m
Exemplo: Y&F 8.16
m
Próximas aulas:
4a. Feira 26/10: Aula de Exercícios (sala A-327)
6a. Feira 28/10: Feriado
4a. Feira 02/11: Feriado
6a. Feira 04/11: Aula Magna (sala A-343) e Testes do Cap. 8