Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
3ª aula
Sistemas de equações lineares
e
matrizes
2 x  3 y  10

x  y  5
 x  5 y  5

2 x  3 y  10

x  y  5
  x  5 y  5


2 x  3 y  10

 4 x  6 y  20

3
x y 5

2

 2 x  3 y  10

 4 x  6 y  10
Um sistema de equações pode:
• Não ter solução
• Ter uma única solução
• Ter mais do que uma solução
Chama-se conjunto solução ou
solução geral de um sistema
ao conjunto de todas as
soluções de um sistema
Classificação dos sistemas:
• Sistema impossível
(o conjunto solução é vazio)
• Sistema possível e determinado
(o conjunto solução tem um único elemento)
• Sistema possível e indeterminado
(o conjunto solução é infinito)
Sistemas equivalentes:
Dois sistemas de
lineares dizem-se
equações
equivalentes
quando têm o mesmo conjunto
solução
Regras para obter sistemas equivalentes:
• Regra 1: Trocar a ordem de duas
equações
• Regra 2: Multiplicar ambos os membros
de uma equação por uma constante não
nula
• Regra 3: Adicionar a uma equação outra
multiplicada por uma constante
2 x  3 y  5 z  10

 x  y  10z  20
 x  y  z  5

2 x  3 y  5 z  10

 x  y  10z  20
 x  y  z  5

3 5
 2
A   1  1 10
 1 1  1
Matriz dos coeficientes
 x
X   y 
 z 
Incógnitas
 10
B   20
 5
Termo independente
2 x  y  2 z  10

 x  y  4 z  20
 x  y  z  5

1 2
 2
A   1  1 4
 1 1  1
2 x1  x2  2 x3  10

 x1  x2  4 x3  20
 x  x  x  5
2
3
 1
 x1 
X   x2 
 x3 
AX=B
 10
B   20
 5
1 2
 2
A   1  1 4
 1 1  1
 x1 
X   x2 
 x3 
 10
B   20
 5
AX=B
Matriz aumentada (ou ampliada)
1 2
 2
 1 1 4

 1 1  1
10
20
5
Regras para obter sistemas equivalentes:
Usar as regras para obter sistemas
equivalentes corresponde a efectuar
operações elementares sobre as
linhas da matriz aumentada.
1 2
 2
 1 1 4

 1 1  1
4
 1 1
 0
3 6

 1 1  1
4
 1 1
0
1 2

0 0
1
10
20
5
 1 1 4
 2
1
2

 1 1  1
20
10
5
20
 30
5
4
 1 1
0
3

6

0 0
3
20
 30
25
20
 10
25 / 3
 1 1 4
0
1
0

0 0 1
20
20 / 3
25 / 3
 1 1 4
0
1
0

0 0 1
20
20 / 3
25 / 3
1 0 0
0 1 0

0 0 1
 20 / 3

20 / 3
25 / 3
 1 1 0
0
1 0

0 0 1
 40 / 3
20 / 3
25 / 3
 x1  20 / 3

 x2  20 / 3
 x  25 / 3
 3
 a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1
 a x  a x  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2



am1 x1  am 2 x2    amn xn  bm
 a11 a12  a1n   x1   b1 
a





a

a
x
b
21
22
2
n
2

    2
 


      

   
am1 am 2  amn   xn  bm 
 a11 a12  a1n

a
a

a
21
22
2n

 




am1 am 2  amn
b1 

b2 


bm 
 x1  2 x2  3

 2 x1  x2  0
3 x  x  1
 1 2
 1 2 3


2

1
0


 3
1  1
 x1  2 x2  3

 2 x1  x2  0
3 x  x  1
 1 2
1
2
3


0

5

6


0  5  10
 1 2 3


2

1
0


 3
1  1
 x1  2 x2  3

 2 x1  x2  0
3 x  x  1
 1 2
1
2
3


0

5

6


0  5  10
 1 2 3


2

1
0


 3
1  1
1
2 3


0

5

6


0
0  4
 x1  2 x2  3

 2 x1  x2  0
3 x  x  1
 1 2
1
2
3


0

5

6


0  5  10
 1 2 3


2

1
0


 3
1  1
1
2 3


0

5

6


0
0  4
 x1  2 x2  3

 2 x1  x2  0
3 x  x  1
 1 2
1
2
3


0

5

6


0  5  10
 x1  2 x2  3

0 x1  5 x2  6
0 x  0 x  4
2
 1
 1 2 3


2

1
0


 3
1  1
1
2 3


0

5

6


0
0  4
 x1  2 x2  3

 2 x1  x2  0
3 x  x  1
 1 2
1
2
3


0

5

6


0  5  10
 x1  2 x2  3

0 x1  5 x2  6
0 x  0 x  4
2
 1
 1 2 3


2

1
0


 3
1  1
1
2 3


0

5

6


0
0  4
 x1  2 x2  3

 2 x1  x2  0
3 x  x  1
 1 2
1
2
3


0

5

6


0  5  10
 x1  2 x2  3

0 x1  5 x2  6
0 x  0 x  4
2
 1
 1 2 3


2

1
0


 3
1  1
1
2 3


0

5

6


0
0  4
IMPOSSÍVEL
 2 x1  3 x2  x3  2

 x1  x2  3 x3  0
 x  4x  2x  2
2
3
 1
 2 3
1 2



1
1

3
0


 1 4  2 2
 2 x1  3 x2  x3  2

 x1  x2  3 x3  0
 x  4x  2x  2
2
3
 1
 1 0 2 2 / 5


0
1

1
2
/
5


0 0 0
0
 2 3
1 2



1
1

3
0


 1 4  2 2
 2 x1  3 x2  x3  2

 x1  x2  3 x3  0
 x  4x  2x  2
2
3
 1
 1 0 2 2 / 5


0
1

1
2
/
5


0 0 0
0
 2 3
1 2



1
1

3
0


 1 4  2 2
 x1  0 x2  2 x3  2 / 5

 0 x1  x2  x3  2 / 5
 0x  0x  0x  0
2
3
 1
 x1  0 x2  2 x3  2 / 5

 0 x1  x2  x3  2 / 5
 0x  0x  0x  0
2
3
 1
 x1  2 / 5  2 x3

 x2  2 / 5  x3
Conjunto solução:
2
2


3
S  x1 , x2 , x3    : x1   2 x3 , x2   x3 
5
5


2
2


3
S  x1 , x2 , x3    : x1   2 x3 , x2   x3 
5
5


 2

2

S    2 ,   ,   :   
5

 5

 2 2 

S   , ,0    2 ,  ,   :   
 5 5 

 2 2 

S   , ,0     2,1,1 :   
 5 5 

 x1  x2  x3  30

 3 x1  x2  2 x3  20
 x  3 x  x  
2
3
 1
 1 1 1 30


 3 1  2 20
 1 3   
 x1  x2  x3  30

 3 x1  x2  2 x3  20
 x  3 x  x  
2
3
 1
1 1
1
30 


 70 
0  2  5
0 4   1   30
 1 1 1 30


 3 1  2 20
 1 3   
 x1  x2  x3  30

 3 x1  x2  2 x3  20
 x  3 x  x  
2
3
 1
1 1
1
30 


 70 
0  2  5
0 4   1   30
 1 1 1 30


 3 1  2 20
 1 3   
1 1
1
30 


0

2

5

70


0 0   9   110
1 1
1
30 


0

2

5

70


0 0   9   110
Se:
=9 e  110  sistema impossível
=9 e = 110  sistema indeterminado
9  sistema determinado
=9 e  110
car(A) = 2 e car(A|B) = 3
1 1
1
30 


0

2

5

70


0 0
0   110
=9 e  110
car(A) = 2 e car(A|B) = 3
=9 e = 110
car(A) = car(A|B) = 2
1 1
1
30 


0

2

5

70


0 0
0   110
1 1
1
30 


0

2

5

70


0 0
0
0 
=9 e  110
car(A) = 2 e car(A|B) = 3
=9 e = 110
car(A) = car(A|B) = 2
9
car(A) = car(A|B) = 3
1 1
1
30 


0

2

5

70


0 0
0   110
1 1
1
30 


0

2

5

70


0 0
0
0 
1 1
1
30 


 70 
0  2  5
0 0   9   110
Resumindo:
Resumindo:
Número de variáveis livres
=
número de colunas de A – car(A)
Um sistema em que o termo
independente é o vector nulo chama-se
homogéneo.
Um sistema homogéneo tem sempre pelo
menos uma solução
Um sistema em que o termo
independente é o vector nulo chama-se
homogéneo.
Um sistema homogéneo tem sempre pelo
menos uma solução:
A solução nula
Chama-se núcleo da matriz A ao conjunto
das soluções do sistema homogéneo
AX = O
Ao núcleo de uma matriz pertence sempre
o vector nulo.
S é solução do sistema A X = O
U é solução do sistema A X = B
Isto é:
AS=O e AU=B
A S = O
A ( S )= O
A (U + S) = O + B = B
V = U + S
é solução de
AX=B
2 3 4 3
2 1 1 0
0 0 4 8

0 0 0 0
livre
livre
1  1

0 0
0 0

0 0
2 3 4 3
2 1 1 0
0 0 4 8

0 0 0 0
livre
livre
1  1

0 0
0 0

0 0
1  1

0 0
0 0

0 0
0  3
1 1 / 2 0  1
0 0 1 2

0 0 0 0
0
2
2 3 4 3
2 1 1 0
0 0 4 8

0 0 0 0
1  1

0 0
0 0

0 0
0  3
1 1 / 2 0  1
0 0 1 2

0 0 0 0
0
2
livre
livre
1  1

0 0
0 0

0 0
 x1  x2  2 x4  3
 x  1 / 2 x  1
 3
4

 x5  2

0  0
 x1  3  x2  2 x4

 x3  1  1 / 2 x4
x  2
 5
 x1  3  x2  2 x4

 x3  1  1 / 2 x4
x  2
 5
 3
1
  2
 0
1


0
 
 


X    1   0    1 / 2
 
 


1
 0
0 

 2
0

0
AX = B