Simetria de rotação
Ox
Ox
Rotação de centro
O e medida de
amplitude 900.
Ox
Rotação de centro
O e medida de
amplitude 1800 .
Ox
Rotação de centro
O e medida de
amplitude 2700 .
Ox
Rotação de centro
O e medida de
amplitude 3600 .
A figura tem quatro simetrias de rotação de centro O e medida de
amplitude 900 , 1800 , 2700 e 3600 .
Isometria
Isometrias são aplicações que transformam uma figura
geométrica numa outra figura congruente.
É uma isometria.
Não é uma isometria.
TRANSLAÇÃO
REFLEXÃO
r
ROTAÇÃO
REFLEXÃO DESLIZANTE
s
u
90º
x
o
Translação

A
translação associada ao vetor ué uma isometria do plano
que transforma qualquer ponto P num ponto P’ tal que:

’
u
P =P+
A translação referida representa-se por Tu
P

u
P’
Propriedades da translação
P

u
P’
•
•
•
Um segmento de reta é transformado num segmento de reta paralelo e
com o mesmo comprimento.
Uma reta ou uma semirreta é transformada numa reta ou
numa semirreta paralelas, respetivamente.
Um ângulo é transformado num ângulo geometricamente igual e com o
mesmo sentido.
Reflexão
Dada uma reta r (eixo de reflexão), dá-se o nome de reflexão de eixo r à
isometria que transforma os pontos de r em si próprios e que, a cada
ponto P não pertencente a r , faz corresponder um ponto P’ tal que o
eixo r é a mediatriz de [PP’].
S
R’
R
S’
r
T
O
Q’
Q
T’
P’
P
d
d
O’
Propriedades das reflexões
S
R’
R
S’
r
T
O
Q’
Q
P’
P
d
•
•
•
•
•
T’
O’
d
Um segmento de reta é transformado num segmento de reta com o mesmo comprimento.
Uma reta e uma semirreta são transformadas numa reta e numa semirreta respetivamente.
Um ângulo orientado é transformado num ângulo orientado com a mesma amplitude mas com
sentido inverso.
Qualquer ponto do eixo de reflexão transforma-se em si próprio.
A distância de um ponto original ao eixo de reflexão é igual à distância da imagem desse ponto ao
eixo.
Rotação de centro O e ângulo α é a isometria do plano que
transforma qualquer ponto P no ponto P’, tal que OP = OP’ e PÔP = α ,
sendo O o centro de rotação e α o ângulo de rotação.
O ângulo de rotação é um ângulo orientado:
Sentido positivo(sentido antihorário) ou sentido negativo(sentido
horário).
A rotação assim definida representa-se por RO , α .
C
A
A’x
C’x
B
P’
α
O
Desenhar a figura transformada da
figura dada por uma rotação de centro O
e amplitude 900 .
1.o Desenham-se [OA], [OB], e [OC] .
B’x
Ox
P
2. o Desenham-se os arcos de
circunferência ou circunferências
de centro O e raios OA , OC , e OB .
3. o Com a ajuda do transferidor
medem-se os ângulos de modo que :
A’ÔA=900 ; B’ÔB=900 ; C’ÔC=900 .
4. o Desenhar o triângulo [A’B’C’].
Propriedades da rotação
•
Um segmento de reta é
transformado num segmento de reta
com o mesmo comprimento.
•
Um ângulo é transformado num
ângulo com a mesma amplitude e
com o mesmo sentido.
•
Uma reta ou uma semirreta são
transformadas numa recta ou numa
semirreta respetivamente.
•
O centro de rotação é o único ponto
que se mantém fixo se o ângulo da
rotação não for um múltiplo de 360o
A’X
CX
xC’
AX
XB
B’x
Ox
Reflexão deslizante é uma isometria resultante da composição de uma
reflexão de eixo e com uma translação cujo vetor (não nulo) é paralelo a
e.
S
R’’
R
S’’
r
T
O
Q’’
Q
P’’
P
d
R’
d
Q’


u
u
T’’
O’’
S’
T’
P’
O’
Propriedades da reflexão deslizante
•
Não existem pontos invariantes, pois mesmo os pontos do que
pertencem ao eixo de reflexão continuam a pertencer-lhe mas são
deslocados pelo vetor.
•
Um segmento de reta é transformado noutro segmento de reta,
reflectido pelo eixo e deslocado pelo vetor.
•
Um ângulos orientado é transformado num ângulo orientado com a
mesma amplitude mas com sentido inverso.
•
Uma reta e uma semirreta são transformadas numa reta e numa
semirreta respetivamente.
•
A distância de um ponto ao eixo é igual à distância da imagem desse
ponto ao eixo.
Propriedades das isometrias
Em qualquer isometria:
•
Uma isometria do plano é
necessariamente uma translação, uma
reflexão, uma rotação ou uma reflexão
deslizante
•
Uma reta é transformada numa reta.
•
Uma semirreta é transformada numa
semirreta.
•
Um segmento de reta é transformado
num segmento de reta com o mesmo
comprimento.
•
Um ângulo é transformado num ângulo
com a mesma amplitude.
Simetria
Quando a imagem dessa figura, através de uma
isometria diferente da identidade, coincide com a figura
original, então a figura tem simetria.
Desta forma uma figura pode ter:
Simetria de reflexão
 Simetria de rotação
Simetria de translação
Simetria de reflexão deslizante
Simetria de reflexão
Uma figura tem simetria de reflexão se a sua
transformada por uma reflexão é a própria figura.
e1
e2
e3
e4
e5
e6
Esta figura tem seis
simetrias de reflexão.
Simetria de rotação
Ox
Ox
Rotação de centro
O e medida de
amplitude 900.
Uma figura tem uma simetria de rotação se a sua
transformada por uma rotação, distinta da identidade, é a
própria figura.
Ox
Rotação de centro
O e medida de
amplitude 1800 .
Ox
Rotação de centro
O e medida de
amplitude 2700 .
Ox
Rotação de centro
O e medida de
amplitude 3600 .
A figura tem quatro simetrias de rotação de centro O e medida de
amplitude 900 , 1800 , 2700 e 3600 .
Simetria de translação

Uma figura tem uma simetria de translação de vector u
se o

transformado da figura pela translação associada ao vector u é a própria
figura.
…
…

u

u

u

u
Simetria de reflexão deslizante
Uma figura tem uma simetria de reflexão deslizante se o transformado da
figura por uma dada reflexão deslizante é a própria figura.
…
…
Rosáceas
Uma rosácea é uma figura plana com as seguintes características:
– Possui um número finito de simetrias de rotação ou de reflexão.
– Todas as rotações que deixam a figura invariante estão centradas num
mesmo ponto O.
– Todas as simetrias de reflexão estão associadas a uma reta que contém
o ponto O.
Ox
Simetrias de rotação e simetrias de reflexão
4 simetrias de rotação
4 simetrias de reflexão
16 simetrias de rotação
0 simetrias de reflexão
5 simetrias de rotação
5 simetrias de reflexão
6 simetrias de rotação
6 simetrias de reflexão
8 simetrias de rotação
8 simetrias de reflexão
3 simetrias de rotação
0 simetrias de reflexão
Frisos
Um friso é uma figura plana que possui uma infinidade de simetrias de translação.
Os vetores associados a essas translações possuem todos a mesma direção e são

múltiplos inteiros de um dado vetor u não nulo.
Nota: As restantes simetrias da figura podem ser rotações de ângulo 180⁰, reflexões
ou reflexões deslizantes relativamente a uma reta paralela a u .
…
…
Os 7 tipos de Frisos
Padrão
Um padrão e uma figura plana que possui uma infinidade de
simetrias de translação em mais do que uma direção.
Nota: Para além de translações, um padrão pode ser invariante por
reflexões, rotações e reflexões deslizantes.
Uma reflexão sobre as provas
nacionais
Augusta Neves
geral@augusta-neves.net
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Apresentação