PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE
CATÓLICA DE CAMPINAS
Prof. Msc. Mário Sérgio Trainotti
1
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE
CATÓLICA DE CAMPINAS
Prof. Msc. Mário Sérgio Trainotti
2
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE
CATÓLICA DE CAMPINAS
Prof. Msc. Mário Sérgio Trainotti
3
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE
CATÓLICA DE CAMPINAS
DO QUE ESTAMOS FALANDO AQUI?
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4
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE
CATÓLICA DE CAMPINAS
CENTRO DE ECONOMIA E
ADMINISTRAÇÃO
FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO
DISCIPLINA: MATEMÁTICA
FINANCEIRA/PBL
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5
Professores
Prof. Msc. Mário Sérgio Trainotti
E-mail: Pessoal: [email protected]
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6
Agenda do dia
•Apresentação dos docentes e do
curso;
•Introdução nos conceitos básicos da
Matemática Financeira
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7
Plano de Curso
EMENTA:
Habilita o profissional a compreender e
utilizar a matemática como instrumento de
gestão
financeira
e
empresarial
distinguindo o valor do dinheiro no tempo
em cálculos e análises de investimentos,
financiamentos e viabilidades financeiras.
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8
Plano de Curso
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Proporcionar ao aluno uma visão detalhada
da utilização de matemática financeira,
visando habilitá-lo tecnicamente na solução
de problemas financeiros e noções de
análise de projetos de Investimentos,
utilizando cálculos algébricos e calculadoras
financeira.
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Plano de Curso
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
Módulo 1 = JUROS SIMPLES E DESCONTO
RACIONAL E COMERCIAL
Módulo 2 = JUROS COMPOSTOS
Módulo 3 = TAXAS DE JUROS
Módulo 4 = FLUXOS DE CAIXA HOMOGÊNEOS
Módulo.5 = CONCLUSÃO DE MATEMÁTICA
FINANCEIRA
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Plano de Curso
METODOLOGIA:
PBL – Problem Based Learning
*neste curso com aulas expositivas
Aula expositiva e exercício em sala.
 Apresentação dos Grupos, Debate e
Fechamento. (04 grupos apresentarão por módulo)
* Cuidado: A presença e empenho são decisivos
neste metodologia.
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PROCESSO DE AVALIAÇÃO
Notas:
TRABALHOS E PARTICIPAÇÃO...................................40%
Apresentação ......................................................... 20%
Relatório Final ........................................................ 20%
PROVA FINAL ............................................................... 60%
TOTAL ……………………………………………………..100%
Relatório do Líder: avaliar com coerência, ética, senso de justiça e com
imparcialidade. Dar NOTA depois da avaliação. Qualitativo e
quantitativo.
Excelente ................ 100%
Bom: ........................ 80%
Razoável: ................ 60%
Insuficiente: ............. 40%
Sem avaliação: ........ JUSTIFICAR 0%
* Os grupos poderão sofre alterações, desde que autorizado.
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PROCESSO DE AVALIAÇÃO
Apresentação:
O porta-voz será convidado resolver
uma questão sorteada da lista no
quadro, comentando os exercícios, as
dificuldades encontradas, a forma
como trabalharam e a solução
encontrada.
1. Postura
2. Clareza
3. Didática
Caso o aluno não faça o exercício ou se recuse a apresentar,
o GRUPO perderá 50% da nota e outro membro do grupo
poderá fazê-lo. Erro não implica em perda de pontuação.
1. Postura: seriedade, preparação, motivação...
2. Clareza: tom de voz, calma, palavreado...
3. Didática: explicação do Problema, sem leitura de slides.
Não será permitida a CONSULTA em materiais, somente a
calculadora.
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13
Plano de Curso
BIBLIOGRAFICA BÁSICA:
PUCCINI, A. Matemática Financeira Objetiva e
Aplicada. 8.ed. São Paulo: Saraiva, 2008.
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira
e Suas Aplicações. 10ª.ed. São Paulo: Atlas, 2008
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Plano de Curso
FERRAMENTA DE TRABALHO:
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Contrato Pedagógico
As aulas só poderão ser gravadas ou filmadas com autorização do professor.
Relações se constroem a partir do respeito;
Respeito às Perguntas;
Disciplina em sala;
Celular;
 Frequência;
Comentários do professor.
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Objetivos Pessoais
CAPACITAR o aluno na solução de problemas financeiros
AJUDAR o aluno a compreender a lógica da matemática financeira
ESTIMULAR o aluno a pensar
ATENDER o aluno com as suas dúvidas
PREPARAR o aluno para a vida profissional
Obrigações:
MINISTRAR as aulas
CORRIGIR os trabalhos realizados
COBRAR o aprendizado
AVALIAR o aluno
O sucesso individual é resultado do esforço individual!!!
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17
Não posso caminhar por
vocês!!!
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GRUPOS DE TRABALHO
10 GRUPOS COM 05 ELEMENTOS CADA
Nomes dos Grupos:
capital
Juros
Juros simples
Taxa de desconto
Série uniforme
Fluxo de Caixa
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 Montante
 Taxa de juros
Juros Composto
Desconto
Amortização
Valor Presente Líquido
19
DUVIDAS???
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20
ROSA DOS VENTOS
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21
1º. MÓDULO:
FUNDAMENTOS
O QUE É MATEMÁTICA FINANCEIRA?
Matemática financeira é o conjunto de equações
matemáticas
combinados
com
raciocínios
financeiros, que traduz em números as
movimentações de valores monetários no tempo,
considerando seu fluxo de entrada e saída,
desvalorização ou remuneração. (Prof. Mário Sérgio)
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OBJETIVOS DA MATEMÁTICA
FINANCEIRA
Possibilitar o cálculo de valores financeiros
dentro de um determinado fluxo de caixa
considerando o conceito do valor do dinheiro no
tempo.
Obter as taxas reais de custo e/ou de
rentabilidade de uma operação financeira.
Permitir a análise, comparação e tomada de
decisão econômica-financeira de diferentes
operações financeiras.
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23
Porque é importante estudar e
conhecer os conceitos da
Matemática Financeira?
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SIMBOLOGIAS E CONCEITOS
BÁSICOS
FLUXO DE CAIXA:
Conjunto de entradas e saídas de valores
monetários ocorridos ao longo de um
determinado tempo em função de uma
operação financeira.
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25
SIMBOLOGIAS E CONCEITOS
BÁSICOS
FLUXO DE CAIXA – REPRESENTAÇÃO
GRÁFICA:
Saídas
Entradas
0
1
3
2
4
n
Tempo
* EXISTEM MUITAS POSSIBILIDADE DE FLUXOS DE CAIXA
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SIMBOLOGIAS E CONCEITOS
BÁSICOS
JUROS:
Custo a ser pago pelo uso do capital do
financiador pelo financiado;
Remuneração do capital em um investimento
produtivo ou financeiro.
É correta dizer que o juros de cartão de crédito
pode chegar à 20% a.m.?
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27
SIMBOLOGIAS E CONCEITOS
BÁSICOS
TAXA DE JUROS:
Expressão do valor do juro em valores
percentuais.
Ex: 12% a.a.
5% a.m.
1% a.d.
Nas fórmulas e na HP = i
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SIMBOLOGIAS E CONCEITOS
BÁSICOS
PERÍODOS:
Expressão temporal das ocorrências financeiras.
Ex: “0” indica o início do fluxo
“n” indica o final do fluxo
Nas fórmulas e na HP = n
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SIMBOLOGIAS E CONCEITOS
BÁSICOS
VALOR PRESENTE/PRINCIPAL (Presente ValuePV):
É o valor capital na data “0”, ou seja, no início
do fluxo.
Nas fórmulas e na HP = PV
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30
SIMBOLOGIAS E CONCEITOS
BÁSICOS
VALOR FUTURO/MONTANTE (Future ValueFV):
É o valor capital em um determinado momento
futuro no fluxo de caixa.
Nas fórmulas e na HP = FV
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SIMBOLOGIAS E CONCEITOS
BÁSICOS
PRESTAÇÃO/SÉRIE DE PAGAMENTOS
(Periodic PayMent):
São ocorrências de pagamentos ou recebimentos
que ocorrem em uma série de períodos.
Nas fórmulas e na HP = PMT
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SIMBOLOGIAS E CONCEITOS
BÁSICOS
FLUXO DE CAIXA – REPRESENTAÇÃO
GRÁFICA:
PMT
FV
PV
i
0
i
1
i
2
i
3
i
4
n
* EXISTEM MUITAS POSSIBILIDADE DE FLUXOS DE CAIXA
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SIMBOLOGIAS E CONCEITOS
BÁSICOS
REGIMES OU SISTEMAS DE
CAPITALIZAÇÃO):
Juros Simples – Crescimento Linear
Juros Compostos – Crescimento Exponencial
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34
SIMBOLOGIAS E CONCEITOS
BÁSICOS
Exercício 2 “muito” simples
O garotão resolve agradar a nova namorada e vai ao shopping.
Escolhe o presente e encontra 3 diferentes lojas oferecendo diferentes
opções de pagamento:
Loja 1 – R$97,00 à vista
Loja 2 – R$100,00 com pagamento em 30dd
Loja 3 – R$50,00 à vista e R$50,00 a 30dd
Qual é a melhor opção para o garotão considerando que as lojas
cobram a taxa de 3%a.m.?
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35
Resposta do Exercício 2 “muito” simples
Levando a Valor Futuro (30 dias)
Loja 1 – 97,00 (+) 2,91 (=) 99,91
Loja 2 – 100,00
Loja 3 – 50,00 (+) 1,50 (=) 51,50 (+) 50,00 (=) 101,50
Trazendo a Valor Presente
Loja 1 – 97,00
Loja 2 = 100,00 / 1,03 = 97,09
Loja 3 50,00 + (50,00 / 1,03) => 50,00 + 48,54 = 98,54
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36
JUROS SIMPLES
Capitalização a juros simples é toda a operação
financeira em que o cálculo dos juros é feito com
base no capital inicial, ou no saldo após o
pagamento de parte desse capital.
Nesta forma de capitalização, nunca se soma o
juro de um período no saldo do período seguinte.
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JUROS SIMPLES
Período
Capital
Juros
Amortiz.
Saldo
8%a.m.
0
500
0
0
500
1
500
40
0
540
2
500
40
0
580
3
500
40
0
620
4
500
40
0
660
5
500
40
0
700
6
500
40
0
740
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JUROS SIMPLES
Período
Capital
Juros
Amortiz.
Saldo
8%a.m.
0
500
0
0
500
1
500
40
0
540
2
500
40
0
580
3
500
40
250
370
4
250
20
0
390
5
250
20
0
410
6
250
20
0
430
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39
JUROS SIMPLES
ANO
Saldo no
início do
ano
Saldo no
Saldo no
Juros ao
Pagamento fi0nal do
final do ano
ano
do ano
ano após
antes pagto
pagto
0
1.000,00
1.000,00
1
1.000,00
80,00
1.080,00
0,00
2
1.080,00
80,00
1.160,00
0,00
3
1.160,00
80,00
1.240,00
0,00
4
1.240,00
80,00
1.320,00
1.320,00
Prof. Msc. Mário Sérgio Trainotti
Copyright@ Abelardo Puccini. 2009. Editora Saraiva.
1.080,00
1.160,00
1.240,00
0,00
40
JUROS SIMPLES
Prof. Msc. Mário Sérgio Trainotti
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JUROS SIMPLES
Período
Capital
Juros
Amortiz.
Saldo
8%a.m.
0
500
0
0
500
1
500
40
0
540
2
500
40
0
580
3
500
40
0
620
4
500
40
0
660
5
500
40
0
700
6
500
40
0
740
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42
JUROS SIMPLES
ANO
Saldo no
início do
ano
Saldo no
Saldo no
Juros ao
Pagamento
final do ano
final do ano
ano
do ano
antes pagto
após pagto
0
1.000,00
1.000,00
1
1.000,00
80,00
1.080,00
0,00
2
1.080,00
80,00
1.160,00
0,00
3
1.160,00
80,00
1.240,00
0,00
4
1.240,00
80,00
1.320,00
1.320,00
Prof. Msc. Mário Sérgio Trainotti
Copyright@ Abelardo Puccini. 2009. Editora Saraiva.
1.080,00
1.160,00
1.240,00
0,00
43
Capitalização a Juros Simples
Calculando o juros...
J = PV . i . n
Calculando o montante...
FV= PV + J
FV = PV . (1 + i . n)
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44
Capitalização a Juros Simples
Calculando o principal...
PV =
FV
=
(1 +( i . n))
Ex em sala
Calculando o i ???
Calculando o n ???
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45
Capitalização a Juros Simples
Cálculo do Período
PV .(1 +( i . n)) = FV  PV + PV.i.n = FV
PV.i.n = FV- PV
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
n=
FV - PV
PV.i
46
Capitalização a Juros Simples
Cálculo da Taxa
PV .(1 +( i . n)) = FV  PV + PV.i.n = FV
PV.i.n = FV- PV
Prof. Msc. Mário Sérgio Trainotti
 i = FV - PV
PV.n
47
Capitalização a Juros Simples
Verificando as fórmulas...
Calcular o montante a ser pago
por um empréstimo de R$ 1.880,00
depois de 12 meses a um juros
simples anual de R$ 191,76.
* Verificar todas as fórmulas...
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48
Capitalização
Descontos....
a Juros Simples
Desconto “Comercial ou Por Fora”
Desconto = FV - Desconto
Df = FV.d.n
PV= FV.(1-d.n)
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49
Capitalização
Descontos....
a Juros Simples
Desconto “Comercial ou Por Fora”
Ex:
Vr. Título: 1.000,00
n= 119 dias
d= 15% a.a.
PV= ?
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50
Capitalização
Problematização....
a Juros Simples
Uma empresa comercial decidiu dar um
desconto igual ao valor que a operadora de
cartão lhe cobra (6%) para quem pagar suas
compras com dinheiro. Sua estratégia foi um
sucesso, mas ao apurar os resultados percebeu
que esta política causou uma queda na sua
lucratividade de R$ 5.094,30. Seu faturamento
bruto, sem o desconto foi de R$ 1.500.000,00
para esta venda, explique o que aconteceu.
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51
Capitalização
a Juros
Simples
Deconto ‘Por
Dentro”
ou
“Racional”
Desconto= FV - PV
PV =
FV
=
(1 +( i . n))
*Agora vamos achar qual a taxa de
desconto “por fora” correta para a empresa
recuperar o valor sem o custo do cartão.
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52
Capitalização
a Juros
Juros Simples
naSimples
HP
para entrar com o número de dias;
para entrar com a taxa anual;
e
para entrar com o valor principal
para obter os juros
para obter o montante.
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53
Capitalização
a Juros
Juros Simples
naSimples
HP
para entrar com o número de dias; (30 dias)
para entrar com a taxa anual; (100%)
para entrar com o valor principal ($ 2.000,00)
para obter os juros
para obter o montante.
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54
Capitalização
a Juros Simples
Séries Uniformes
PMT
i
0
i
1
FV
i
2
i
3
i
4
n
Série ou Pagamento Antecipado
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55
Capitalização
a Juros Simples
Séries Uniformes
PMT
i
0
i
1
FV
i
2
i
3
i
4
n
Série ou Pagamento Postecipado
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56
Taxas
Antecipada
e Postecipado....
Capitalização
a Juros
Simples
A taxa de juros antecipada é aquela que é
informada e contratada na assinatura do
contrato. A taxa de juros postecipada é
aquela que só será conhecida no final do
contrato ou da periodicidade.
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57
Capitalização
a JurosJuros
Simples
Taxa proporcional
Simples!
Qual a taxa de juros proporcional , diária,
mensal, semestral e trianual para uma
taxa de 120% a.a.
Diária: 120% / 360dias
= 0,333% a.d.
Mensal: 120% / 12 meses = 10% a.m.
Semestral: 120% / 2
= 60% a.s.
10% . 6 meses = 60% a.s.
Trianual: 120% . 3 anos = 360%
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58
Prof. Msc. Mário Sérgio Trainotti
59
JUROS COMPOSTOS
Tecnicamente, a capitalização a Juros
Compostos difere dos Juros Simples pelo
fato de que, a cada período transcorrido, o
valor do juro deste período é incorporado
ao saldo do principal, ou seja, a base de
cálculo muda em todos os períodos.
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60
JUROS COMPOSTOS
Período
Capital
Juros
Amortiz.
Saldo
inicial
8%a.m.
0
500
40
0
540
1
540
43
0
583
2
583
47
0
630
3
630
50
0
680
4
680
54
0
735
5
735
59
0
793
6
793
Prof. Msc. Mário Sérgio Trainotti
61
Capitalização
a Juros
Simples
Capitalização
a Juros
Compostos!
Período
Capital
Juros
Amortiz.
Saldo
inicial
8%a.m.
0
500
40
0
540
1
540
43
0
583
2
583
47
0
630
3
630
50
0
680
4
680
54
0
735
5
735
59
0
793
6
793
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62
Qual a diferença percentual entre os dois
valores?
ANO
0
1
2
3
4
ANO
0
1
2
3
4
Saldo no
início do
ano
1.000,00
1.080,00
1.160,00
1.240,00
Saldo no
início do
ano
1.000,00
1.080,00
1.166,40
1.259,71
Prof. Msc. Mário Sérgio Trainotti
Saldo no
Saldo no
Juros ao
Pagamento
final do ano
final do ano
ano
do ano
antes pagto
após pagto
1.000,00
1.000,00
80,00
1.080,00
0,00
1.080,00
80,00
1.160,00
0,00
1.160,00
80,00
1.240,00
0,00
1.240,00
80,00
1.320,00
1.320,00
0,00
Saldo no
Saldo no
Juros ao final do Pagament final do
ano
ano antes o do ano ano após
pagto
pagto
1.000,00
1.000,00
80,00
1.080,00
0,00
1.080,00
86,40
1.166,40
0,00
1.166,40
93,31
1.259,71
0,00
1.259,71
100,78
1.360,49 1.360,49
0,00
63
Copyright@ Abelardo Puccini. 2009. Editora Saraiva.
Capitalização a Juros
Compostos
Formação de um Montante
Juros Compostos FV= PV . (1+i)ⁿ
Juros Simples FV = PV . (1 + i . n)
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64
Capitalização a Juros
Compostos
Formação de um Montante
Juros Compostos FV= PV . (1+i)ⁿ
Qual o valor do montante obtido por
alguém que tomou $ 2.000,00, durante
8 meses à taxa de 6.5% a.m.?
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65
JUROS COMPOSTOS
ANO
Saldo no
início do
ano
Saldo no
Saldo no
Juros ao final do Pagament final do
ano
ano antes o do ano ano após
pagto
pagto
0
1
1.000,00
80,00
1.000,00
1.080,00
2
1.080,00
86,40
1.166,40
0,00
1.166,40
3
1.166,40
93,31
1.259,71
0,00
1.259,71
4
1.259,71
100,78
1.360,49
1.360,49
0,00
Prof. Msc. Mário Sérgio Trainotti
0,00
1.000,00
1.080,00
66
Proporcionalidade de taxas de
juros compostos.!
Fórmula para fracionar do maior para
o menor:
n
Iqn =
1+ i - 1
Fórmula para fracionar do menor
para o maior :
iqn = ((1+i)ⁿ-1)
*Exercício em sala
Prof. Msc. Mário Sérgio Trainotti
67
Proporcionalidade de taxas de
juros compostos.!
Calculando Potencias na HP 12C
1,2
1,44
2
1,44
2
Prof. Msc. Mário Sérgio Trainotti
1,2
68
Juros Compostos.!
Calculando os juros:
j = PV. ((1+i)ⁿ - 1)
j = FV – PV
j = PV . (1+i)ⁿ - PV
Ex. Qual o juros que produz um capital de $34.560,00
durante 18 meses à taxa de 1,5% a.m.?
Prof. Msc. Mário Sérgio Trainotti
69
Juros Compostos.!
Calculando o principal:
FV
PV =
n
( 1+ i )
Quanto devo receber ao descontar uma
duplicata de $ 4.650,00 que vencerá em 60 dias,
com taxa de 3,5% a.m.?
Prof. Msc. Mário Sérgio Trainotti
70
Juros Compostos.!
Calculando a taxas:
log
n=
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FV
PV
log (1 + i)
71
Série Uniforme!
Calculando o pagamento de uma série:
n
i .(1 + i)
PMT = PV .
((1 + i)n ) -1
(
Prof. Msc. Mário Sérgio Trainotti
)
=
72
Série Uniforme!
Calculando o valor presente de uma
série:
PV = PMT.
Prof. Msc. Mário Sérgio Trainotti
(
n
((1 + i) ) -1
i .(1 + i)n
)
=
73
Prof. Msc. Mário Sérgio Trainotti
74