4ª Assembleia Luso-Espanhola de Geodesia e Geofísica
Figueira da Foz 2004
Obtenção de Ortometria de Precisão.
Jorge Teixeira Pinto, engº. Geógrafo, IGP
Helena Cristina Ribeiro, engª. Geógrafo
Figueira da Foz 2004.02.3-7
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O problema: refracção vertical
A determinação de altimetria usando distâncias zenitais confronta-se
com o problema da correcta modelação da refracção vertical, RV.
Porém:
• Os modelos existentes para a RV não são satisfatórios;
Contudo:
• Desenvolvimentos instrumentais recentes (Böckem, 2001) provam
que é possível medir directamente a refracção vertical com suficiente
precisão;
Outra possibilidade consiste em
Conjugar as observações de distância zenital com as
“distâncias zenitais” deduzidas do vector GPS.
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Distâncias Zenitais e GPS.
V
ea
V eb N
Zb; Z’b
W
N
Za; Z’awa
wb
B
s
A
g
Incógnitas:
ea; eb; wa; wb; g’
Observadas:
Z’a; Z’b - Classicas
Za; Zb; s; g - GPS
g’
Fig. 1
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Convenções.
v
N
+
W
x
e>0
n
v
+
h
n
e<0
B
A
O Desvio, e, é negativo quando o geóide “cresce” acima do elipsóide
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4
Relações fundamentais.
eb - ea = (Z’a+wa)+(Z’b+wb)-(p+g)
Heiskanen e Moritz,
Physical Geodesy, pg 176
ou: (eb - ea)-(wa+ wb) = (Z’a+Z’b)-(p+g)
e = xcosa+hsena
a - azimute da visada AB
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Relações deduzidas.
da fig 1:
e-w=Z’-Z
[A]
W-E = p+g -(Z’a+Z’b)
[B]
com E=eb-ea e W=wa+wb
Cada lado AB [A] fornece duas equações, e [B] uma.
Por cada lado temos 4 incógnitas: ea, eb, wa, wb.
Há que descobrir uma quarta relação!
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Relações possíveis (1).
Uma 4ª relação possível é a seguinte:
wab/wac=ABsenZab/ACsenZac
C
Esta relação teórica não proporciona
Wac
bons resultados. Irá ser substituída
wac
A
wab
Wab
B
por esta:
wab/wac = Wab/Wac [C]
que é empírica.
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Relações possíveis (2).
wab/wac = Wab/Wac
Vantagens:
•
Robusta;
•
Relaciona dois lados adjacentes.
C
Wac
Desvantagens:
wac
A
wab
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Wab
B
•
Pressupõe observações recíprocas e
simultâneas.
•Não
se pode aplicar aos chamados
casos de inversão.
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Mais relações possíveis (3).
Da bem conhecida fórmula Dh=DH+DN, pode-se, após algumas
manipulações obter a seguinte relação:
s/2x(cos(Z’a+wa)-cos(Z’b+wb))+sx(ea+eb)/2 = Dh
[D’]
assumindo uma variação linear para o desvio da vertical
ao longo do trajecto AB.
Simplificando e linearisando [D’] obtém-se:
wb-wa+ea+eb = 2xDh/s-(cosZ’a-cosZ’b)
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[D]
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Relações que envolvem o Triângulo de alturas.
e
DHab+ DHbc- DHac=0
[E]
Dhab+ Dhbc- Dhac=0
[E’]
0,5xsabx(ea+eb)+0,5xsbcx(ea+eb)-0,5xsacx(ea+eb)=0
[F]
As fórmulas [E] e [E’] podem ser linearizadas usando a conhecida
fórmula, onde se desprezou o termo nos coef. de refracção:
DH=0,5xs(cosZa-cosZb)
Obtendo-se expressões do tipo:
-sabwab+sabwba -sbcwbc+sbcwcb +sacwca-sacwac=erro de fecho obs. [E]
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Relações que envolvem o Triângulo de alturas.
As relações anteriores permitem estabelecer, para um
triângulo de alturas, um sistema sobre-determinado com 18
eq. e 12 incógnitas.
Infelizmente esses sistemas tem tendência a apresentar
soluções com igual refracção para cada extremo.
Como fortalecer o sistema!
Vamos utilizar as componentes Norte-Sul e EsteOeste do desvio, DV.
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Componentes do desvio.
C
x
eac
A
e1 = u1+v1= xcosa1+hsena1
e2 = u2+v2= xcosa2+hsena2
B
h
eab
u1/u2 = cosa1/cosa2
v1/v2 = sena1/sena2
[G]
cada vertice passa de uma incógnita, o desvio, para duas,
as componentes, mas temos também mais duas eq.
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Componentes do desvio (2).
Uma vez obtidos (u,v) para cada vérice, o desvio segundo as
duas direcções emergentes obtém-se de:
e1 = xcosa1+hsena1
e2 = xcosa2+hsena2
Donde:
x =(e1-e2sena1/sena2)/(cosa1-cosa2xsena1/sena2)
h =(e2-xcosa2)/sena2
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[H]
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Um caso particular.
Que acontece em casos como o ilustrado?
V
N
A
C
B
Onde todos os lados partilham a mesma direcção.
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Um caso particlar.
Nestes PERFIS, e podemos se quisermos observar PERFIS,
consegue-se uma simplificação enorme:
Na estação B: wba+ wbc=(Zba+Zbc)-(Z’ba+Z’bc)
1 equ.
Na estação A (e C): wac-wab= (Zab-Z’ab)-(Zac-Z’ac) 2 equ.
Para obter as restantes 3 equ. posso usar, se aplicável, as
relações empíricas:
||| wab/wac = Wab/Wac [C]
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Um exemplo de um perfil.
Pilares P1; P2 e P5 da Geobase, Estremoz:
S id e
D eflect io n a lo ng th e
sid e
DH
1 8, 3 ”
0 ,9 "
1 57 ,8 3 2
1 7, 5 ”
(in P 2)
2 1, 6 ”
-0, 6"
2 1, 7 ”
(in P 1)
3 8”
2"
3 6, 3 ”
(in P 5)
V ertic al
R efract io n
P 2-P 5
P 2-P 1
P 1-P 5
T o ta l le n gth- 3 0 km
m
1 58 ,2 0 1
-0, 3 74
E rro de fec ho = 0 ,0 0 5
Soluções de 3 sistemas 2x2
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Caso geral: triângulos no Faial
Açores, observados em 1997.
Figueira da Foz 2004.02.3-7
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Caso geral: triângulos no Faial
Açores, observados em 1997.
Resultados para Milhafres-Galego-Arrochela (M-G-A)
L a do
R efracç ão
D es vio
seg und o a
d ir ecçã o
C o m p . D esvio
x;h )
DH
Re síduo s
DN
m
m
D h -(D H +D N )
mm
M -G
G -A
A -M
4 ,2” ± 0,8”
-1, 6 ”± 1, 1 ”
-1, 6 ”± 1, 3 ”; -1 ”± 1”
5 ,3” ± 0,8”
1 ,6” ± 1,1”
-1, 6 ±1 ,3 ”; -1 ,7 ” ±1 ”
6 ,0” ± 0,9”
2 ,2” ± 0,9”
-1, 6 ”± 0, 8 ”; -1 ,6 ”± 1 ”
8 ,7” ± 0,9”
-1, 6 ”± 0, 9 ”
-0, 8 ”± 0, 8 ”; -1 ,4 ”± 1 ”
6 ,0” ± 0 ,8 ”
-0, 9 ”± 0 ,9”
-1” ± 0,8” ; - 1, 4 ”± 1”
7 ,8” ± 0,9
0 ,3” ± 0,8
-1, 5 ”± 0, 6 ”; -1 ”± 0, 9 ”
Figueira da Foz 2004.02.3-7
1 26 ,0 4 5
0 ,0 2 5
1
1 54 ,6 9 4
-0, 0 35
-2
-28 0, 7 38
0 ,0 1 0
0
E rro de
fec ho =0
E rro de
fec ho =0
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Caso geral: triângulos no Faial
Açores, observados em 1997.
Resultados para Milhafres-Cabeço da Rocha Alta-Galego (M-R-G)
L a do
M -R
R -G
G -M
R efracç ão
D es vio
seg und o a
d ir ecçã o
C o m p . D esvio
x;h )
DH
DN
D h -(D H +D N )
mm
2 ,6” ± 0,6”
-3, 0 ”± 1, 4 ”
-1, 2 ”± 1, 4 ”; -7 ,0 ”± 1 ,4 ”
2 ,6” ± 0,8”
2 ,9 ± 0,9”
-1, 1 ±0 ,7 ”; -7 ,0 ” ±0 ,9 ”
3 ,0” ± 0,8”
0 ,9” ± 0,9”
-1, 1 ”± 0, 8 ”; -7 ,0 ”± 1 ,0 ”
2 ,3” ± 0,6”
-0, 8 ”± 1, 2 ”
-1, 1 ”± 1, 3 ”; -6 ,7 ”± 1 ,2 ”
4 ,6” ± 0 ,6 ”
1 ,4” ± 0,5”
-1, 2 ”± 0, 7 ”; -6 ,6 ”± 0 ,0 ”
4 ,1” ± 0,7”
-1, 4 ”± 0, 6 ”
-1, 2 ”± 0, 8 ”; -7 ,0 ”± 0 ,0 ”
Figueira da Foz 2004.02.3-7
Re síduo s
4 ,8 2 8
0 ,0 2 8
7
1 21 ,2 1 2
-0, 0 06
2
-12 6, 0 40
-0, 0 22
-5
E rro de
fec ho =0
E rro de
fec ho =0
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Caso geral: triângulos no Faial
Açores, observados em 1997.
Comparação dos valores obtidos para o lado comum MilhafresGalego (M-G):
L a do
V ér tice
R efracç ão
D es vio
seg und o a
d ir ecçã o
M -G
M
4 ,2” ± 0,7”
-1, 6 ”± 1, 1 ”
-1, 6 ”± 1, 3 ”; -1 ”± 1”
1º
T ri â ng ul o
G
5 ,3” ± 0,7”
1 ,6” ± 1,1”
-1, 6 ±1 ,3 ”; -1 ,7 ” ±1 ”
G -M
G
4 ,6” ± 0 ,6 ”
1 ,4” ± 0,5”
-1, 2 ”± 0, 7 ”; -6 ,6 ”± 0 ,0 ”
2º
T ri â ng ul o
M
4 ,1” ± 0,7”
-1, 4 ”± 0, 6 ”
-1, 2 ”± 0, 8 ”; -7 ,0 ”± 0 ,0 ”
Figueira da Foz 2004.02.3-7
C o m p . D esvio
x;h )
DH
DN
m
m
1 26 ,0 4 5
0 ,0 2 5
-12 6, 0 40
-0, 0 22
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Conclusões:
• A conjugação de obs. Zenitais clássicas com
Zenitais deduzidas do vector GPS permite obter
ortometria de precisão de um modo muito
económico;
• O Geóide pode ser localmente melhorado
(pequenos comprimentos de onda);
• A observação de perfis reduz a complexidade do
método.
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Fim.
Muito obrigado pela Vossa atenção.
Figueira da Foz 2004.02.3-7
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