Professor Joel
MATEMÁTICA
POLIEDROS
Professor Joel
Definição
POLIEDROS: Denomina-se poliedro o sólido limitado por
polígonos planos, de modo que:
Dois desses polígonos não estão num mesmo plano;
Cada lado de um polígono é comum a dois e somente dois
polígonos.
VÉRTICE
FACE
ARESTA
2
Professor Joel
Poliedros...
10 vértices
15 arestas
7 faces
6 vértices
12 arestas
8 faces
3
Professor Joel
Poliedro convexo
Um poliedro se diz convexo se, em relação a
qualquer de suas faces, está todo situado num
mesmo semi-espaço determinado pelo plano que
contém esta face. Caso contrário, o poliedro é dito
não-convexo.
4
Professor Joel
Poliedro convexo...
a
convexo
Não-convexo
convexo
5
Professor Joel
Nomenclatura dos poliedros
De acordo com o número de faces, os
poliedros convexos ou não, possuem nomes
especiais.
Nº de faces
4
5
6
7
8
Nome do poliedro
Tetraedro
Pentaedro
Hexaedro
Heptaedro
Octaedro
6
Professor Joel
Nomenclatura dos poliedros...
Nº de faces
9
10
11
12
13
14
15
20
Nome do poliedro
Eneaedro
Decaedro
Undecaedro
Dodecaedro
Tridecaedro
Tetradecaedro
Pentadecaedro
Icosaedro
7
Professor Joel
Poliedros regulares
Um poliedro convexo se diz regular quando:
Suas faces são polígonos regulares congruentes entre si;
Seus ângulos poliédricos são congruentes entre si.
Os poliedros regulares são chamados de sólidos platônicos, em
homenagem ao filósofo grego Platão(427 – 347 a.C.) que os
utilizava para explicar cientificamente os fenômenos naturais.
8
Professor Joel
Poliedros regulares...
Existem somente cinco poliedros regulares.
TETRAEDRO
4 faces triangulares equiláteras
4 vértices
6 arestas
9
Professor Joel
Poliedros regulares...
HEXAEDRO(cubo)
6 faces quadradas
8 vértices
12 arestas
10
Professor Joel
Poliedros regulares...
OCTAEDRO
8 faces triangulares equiláteras
6 vértices
12 arestas
11
Professor Joel
Poliedros regulares...
ICOSAEDRO
20 faces triangulares equiláteras
12 vértices
30 arestas
12
Professor Joel
Poliedros regulares...
DODECAEDRO
12 faces pentagonais
20 vértices
30 arestas
13
Professor Joel
Relação de Euler
Em todo poliedro convexo vale a relação:
V+F=A+2
HEXAEDRO OU PARALELEPÍPEDO
F=6
V=8
ONDE
V: Nº de vértices
A: Nº de arestas
F: Nº de faces
A = 12
V+F=A+2
8 + 6 = 12 + 2
14
Professor Joel
Propriedades...
Consideremos um poliedro convexo em que n é o
número de lados de cada face e p é o número de
arestas que concorrem em cada vértice.
Assim, temos:
2A = nF
Ex: CUBO
2A = nF = pV
2A = pV
nF = pV
A= 12, V= 8, F= 6
2 . 12 = 4 . 6 = 3 . 8
15
Professor Joel
Propriedades...
SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE UM POLIEDRO CONVEXO
A soma S dos ângulos das faces de um poliedro convexo
que possui V vértices é:
S = (V – 2) . 360º
Ex: Uma pirâmide de base quadrada.
V = 5,
S = (5 – 2) . 360º , S = 3 . 360º , S = 1080º
16
Professor Joel
Exercícios...
1) Um poliedro convexo tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1
face pentagonal e 2 faces hexagonais. Obtenha:
a) O número total de vértices, faces e arestas do poliedro.
b) A soma dos ângulos internos de todas as faces.
Resolução:
a)
2.A=n.F
F=3+1+1+2
2.A = 3.3 + 1.4 + 1.5 + 2.6
F=7
V+F=A+2
V + 7 = 15 + 2
V = 17 – 7
V = 10
2.A = 9 + 4 + 5 + 12
2.A = 30
b)
S = (10 – 2).360º
S = 8.360º
S = 2880º
A = 15
17
Professor Joel
Exercícios...
2) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem
três faces triangulares, duas faces quadrangulares, uma face
pentagonal e duas faces hexagonais.
Resolução:
F=3+2+1+2
2.A = n.F
V+F=A+2
F=8
2.A = 3.3 + 2.4 + 1.5 + 2.6
V + 8 = 17 + 2
2.A = 9 + 8 +5 +12
V = 19 – 8
2.A = 34
V = 11
A = 17
18
Professor Joel
Exercícios...
3) Em um poliedro convexo o número de vértices corresponde a 23
do número de arestas e o número de faces é 3 unidades a menos
do que o de vértices. Descubra quantas são as faces, os vértices e
as arestas desse poliedro.
Resolução:
V =
2
3
V+F=A+2
.A
F=V–3
V=F+3
2
3
2
3
.A=F+3
2
3
F= .A–3
.A + 2 .A – 3 = A + 2
3
2
3
V = . 15
V = 10
2
3
2A + 2A -9 = 3A + 6
F = . 15 – 3
A = 15
F = 10 – 3
F=7
19
Professor Joel
FIM
Prof. Joel Ferreira
“O temor a Deus é o princípio de toda
sabedoria”.