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Capítulo 1
MATEMÁTICA COMERCIAL
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MATEMÁTICA COMERCIAL
1.1 - Razões e Proporções
Dados dois números a e b, com b  0, chamamos de
razão de a para b , ou simplesmente razão entre a e b,
nessa ordem, ao quociente a que também pode ser
indicado por a : b.
b
a  antecedente
b  consequente
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Dadas as razões a e c , à sentença de igualdade a = c
b d
b
d
chamamos de proporção.
a e d  extremos
b e c  meios
Propriedade
Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao
produto dos meios.
Exemplos.
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Exemplos:
1) Um investidor aplicou 20 mil reais sendo 8 mil reais numa caderneta de poupança e 12 mil reais em ações. Calcule a razão entre:
a) o valor aplicado em ações e o valor total investido.
b) o valor aplicado em caderneta de poupança e o valor total
investido.
c) o valor aplicado em ações e o valor aplicado em caderneta de
caderneta de poupança.
2) Um atleta A faz um determinado percurso em 52 minutos, ao passo
que um atleta B faz o mesmo percurso em 1 hora e 8 minutos.
Qual a razão entre os tempos gastos pelos atletas A e B?
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3) Vamos determinar o valor de x em cada uma das proporções:
a)
b)
4) Uma empresa pretende alocar 200 mil reais entre pesquisa e
propaganda, de modo que a razão entre as quantias seja 2 : 3.
Quais os valores alocados para pesquisa e propaganda?
5) Uma pessoa recebe um salário mensal S igual a R$ 1250,00.
Quanto vale 2/5 de S ?
6) Gustavo gasta 1/5 de seu salário com a prestação do apartamento,
1/8 do salário com alimentação e ainda lhe sobram R$ 2430,00.
Qual o salário de Gustavo?
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1.2 – Grandezas diretamente e inversamente
proporcionais
1.2.1 - Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando,
aumentando (ou diminuindo) uma delas numa
determinada razão, a outra aumenta (ou diminui) nessa
mesma razão.
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1.2.2 - Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais
quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas numa
determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) nessa
mesma razão.
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Exemplos:
1) Três sócios A, B e C resolveram abrir uma pizzaria. O primeiro
investiu 30 mil reais, o segundo investiu 40 mil reais e o terceiro 50
mil reais. Após 1 ano de funcionamento, a pizzaria deu um lucro de
24 mil reais. Se esse lucro for distribuído aos sócios de forma que
a quantia recebida seja diretamente proporcional ao valor investido,
quanto recebeu cada um?
2) Três máquinas levam 2 horas para produzir um lote de 1000 peças.
Se o número de máquinas for inversamente proporcional ao número
de horas para produzir o mesmo lote de 1000 peças, quanto tempo
será necessário para produzir o lote com 4 máquinas?
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1.3 - Porcentagem
Toda razão de denominador 100 é chamada de razão
centesimal, taxa percentual ou simplesmente
porcentagem.
As porcentagens podem ser expressas nas forma de
fração, sob forma decimal ou, mais comumente,
indicada pelo numerador seguido do símbolo % (lê-se:
“por cento”).
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Exemplos:
1) Converta as razões abaixo para a forma decimal, arredondando
para quatro casas decimais, quando for o caso, e em seguida
coloque-as na forma de porcentagem.
a) ¾
b) 8/50
c) 45/18
d) 14/42
2) Um investidor comprou um terreno por R$ 15000,00 e vendeu-o,
um ano depois, por R$ 18750,00. Qual o lucro, em porcentagem,
do preço de custo?
3) Em um curso de gestão, a razão entre o número de homens e o de
mulheres é 2/5. Em relação ao total de alunos, qual a porcentagem
de homens?
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4) Uma corrente de ouro cujo preço de tabela é de R$ 360,00 é
vendida com um desconto de 15%. Qual é o preço após sofrer o
desconto?
5) Uma geladeira é vendida por R$ 1200,00. Se seu preço sofrer
um acréscimo igual a 8% desse preço. Quanto passará a custar?
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1.4 – Variação Percentual
Dada uma grandeza que assume um valor V0 na data
0 e o valor Vt numa data t, chamamos de variação
percentual dessa grandeza entre as datas 0 e t, e
indicamos por j o número dado por:
j = Vt – V0 
V0
j = Vt - 1
V0
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1.4.1 – Variações percentuais sucessivas
Dados os instantes de tempo 0, t1, t2, t3,..., tn-1, tn, e chamemos
de j1 a variação percentual da grandeza entre 0 e t1, j2 a
variação percentual entre t1 e t2, e assim sucessivamente até
jn que representa a variação percentual da grandeza entre tn-1
e tn.
As variações j1, j2, j3,..., jn-1 e jn são chamadas de variações
percentuais sucessivas.
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1.4.2 – Variações percentuais acumuladas
Se indicarmos por V0, V1, V2, ..., Vn os valores da grandeza nas
datas 0, t1, t2, t3, ... tn-1, tn, temos:
Vn = V0 ( 1 + j1) ( 1 + j2) ( 1 + j3) ... ( 1 + jn)
À variação percentual entre as datas 0 e tn damos o nome de
variação percentual acumulada, expressa por:
jac = ( 1 + j1) ( 1 + j2) ( 1 + j3) ... ( 1 + jn) – 1
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Exemplos:
1) No final do ano o número de habitantes de uma cidade era igual
a 40000 e no final do ano seguinte esse número subiu para
41000. Qual a variação percentual entre as datas consideradas?
2) Em 20/5/2012 o preço de uma ação era R$ 205,00 e em
7/7/2012 o preço caiu para R$ 190,00. Qual a variação
percentual?
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3) O lucro de uma empresa foi de R$ 300000,00 em 2008.
a) Qual o lucro em 2009 se nesse ano ela crescer 5%?
b) Qual o lucro em 2011 se nesse ano ela crescer 5% em
2009, 6% em 2010 e 7% em 2011?
4) O preço de um automóvel 0km era R$ 25000,00. Um ano
depois, o preço teve um decréscimo de 15% e, mais um ano,
teve outro decréscimo de 10%.
a) Qual o preço do automóvel dois anos depois?
b) Qual a taxa acumulada de decréscimo?
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1.5 – Taxas de Inflação
1.5.1 - Inflação
É o fenômeno do aumento persistente e generalizado
dos preços de bens e de serviços, com consequente
perda do poder aquisitivo da moeda.
1.5.2 - Deflação
É o fenômeno da queda persistente dos preços de
bens e de serviços.
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Observações:
• A inflação é medida segundo a composição de uma cesta
básica de produtos com quantidades físicas determinadas.
• A definição de inflação é baseada no chamada método de
Laspeyres ( Ètienne Laspeyres, 1834-1913) com
quantidades fixas na época base.
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• Índices oficiais de inflação:
- IPCs ( Índice de Preços ao Consumidor )  produtos de
consumo final  calculada por diversas instituições.
- IPA ( Índice de Preços no Atacado )  preços negociados no
atacado  FGV
- INCC ( Índice Nacional do Custo da Construção Civil ) 
preços e produtos da construção civil  FGV
- IGP ( Índice Geral de Preços )  média ponderada entre IPA,
IPC (RJ e SP) e INCC  FGV.
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Exemplos:
1) Em janeiro, fevereiro e março as taxas de inflação foram 1%,
1,5% e 2%, respectivamente. Qual a taxa acumulada no
trimestre?
2) Uma taxa mensal de inflação de 1% acumula que taxa em 10
meses?
3) Que taxa mensal constante de inflação deverá vigorar em cada
um dos próximos 12 meses para acumular uma taxa de 20%?
4) Num período em que a inflação é de 20%, qual a perda do poder
aquisitivo da moeda?