15ª aula
O método dos Volumes Finitos.
Método dos volumes-finitos
A equação de onde começámos é:
ck u j ck



t
x j
x j
 c 

  ( Fk  Pk )
 x 
j 

Esta equação resulta do princípio de conservação:
TaxaAcumulação  Entra  Sai Fontes Consumo
Processos
• Taxa de acumulação:


TaxadeAcumulação   cdvol 
t  vol

• Fluxos:
– Advectivo:


cu .n dA (porquê o sinal “-”)?


A
– Difusivo:
A

 
 c .n dA
Localização das variáveis no volume de
controlo: Fluxos advectivo e difusivo
através das faces
cxt txVolxt tx  cxt xVolxt x
cxt tVolxt t  cxt Volxt

*
*
  cu.n dA  ucdA x  x / 2  cQ x x / 2
A
 
 
 *

c*x  c*x x




c
.
n
dA


dA
A
 x x / 2
x


*
cxt txVolxt tx  cxt xVolxt x
ucdA*xx / 2  cQ*xx / 2
 *

c
c
x  x / 2
dA
x


*
x  x
*
x
*
Aplicando o princípio de conservação
A taxa de acumulação é igual ao que entra menos o que
sai, mais o que se produz menos o que se destrói, e
admitindo que não há produção nem destruição, obtémse:
c
t  t
x

Volxt  t  c xt Volxt

t

c c

 Qcx  x / 2    Ax  x / 2  x x  x   
 x  


 c x  x  c x  
 Qcx  x / 2    Ax  x / 2 
 
 x  

Fazendo convergir o volume para zero
c
t  t
x
 cx 
 c  c xx 
c
Vol xt  t  c xt Vol xt / t  Qxx / 2 C xx  Qxx / 2 C x     Axx / 2  x
    Ax x / 2  xx


x

x





No caso unidimensional o volume é o comprimento vezes a área vertical: Vol  xA
Se o volume de controlo for constante no tempo e as áreas de todos os
volumes forem iguais obtém-se a equação de advecção-difusão
dividindo a equação anterior pelo volume e fazendo dx tender para
zero:
c uc   c 

  
t x x  x 
Que é a equação diferencial de Advecção-Difusão no caso 1D, válida num ponto. No
caso tridimensional, com fontes e poços, para um constituinte “k” obteríamos:
ck u j ck



t
x j
x j
 c 

  ( Fk  Pk )
 x 
j 

Que representa o princípio de conservação para um ponto.
Caso upwind com Q>0
c
t  t
x
 cx 
 c  c xx 
c
Vol xt  t  c xt Vol xt / t  Qcxx / 2  Qcx x / 2     Axx / 2  x
    Axx / 2  x x


x

x





c *x x / 2  c *x x se : u *x x / 2  0
c *x x / 2  c *x se : u *x x / 2  0
c *x  x / 2  c *x se : u *x  x / 2  0
c *x  x / 2  c *x  x se : u *x  x / 2  0
c
t  t
x
 cx 
 c  c xx 
c
Vol xt  t  c xt Vol xt / t  Qxx / 2 C xx  Qxx / 2 C x     Axx / 2  x
    Ax x / 2  xx


x

x





Condição de estabilidade
c
t  t
x
 cx 
 c  c xx 
c
Vol xt  t  c xt Vol xt / t  Qxx / 2 C xx  Qxx / 2 C x     Axx / 2  x
    Ax x / 2  xx


x

x





c
t  t
x
c
c 
c c

c
 c xt Ax  AuC x  x  C x     Ax  x / 2  x x  x     Ax  x / 2  x  x x 
 x 
 x 


C  C x     cx x  2cx  cx  x 
 c xt
 u x  x


t
x
x 2


t  t
x
t 
 ut t  t
 ut
 t 
c xt  t  
 2 C xx  1 
 2 2 C tx   2 C txx
x
x 
 x x 

 x 
Condição de estabilidade:
t 
 ut
2 2 0
1 
x
x 

cit t  diCit1  1  ei Cit  fiC txx
ei  di  fi 
Valores médios nas faces =>Diferenças Centrais
c 
 c x  c x  x 


2


c 
 c x  c x  x 


2


*
x  x / 2
*
x  x / 2
*
*
c*xx / 2  c*xx / 2   cx  cxx  cx  cxx *   cxx  cxx *
x


2x
2x




2x


Diferenças Centrais explícitas
c
t  t
x
cxt  t
c c 
c c 
 cxt Ax  AuCx x  Cx  x     Ax x / 2  x x x     Ax  x / 2  x  x x 
 x 
 x 
t 
 ut t  t

 ut t  t

 2 C xx  1  2 2 C tx   
 2 C xx
x 
 x x 

 x x 

Condições de estabilidade:
 ut t 
 2 0

 x x 
t 

1

2
0

2 
x 

Interpretação das diferenças centrais
• Porque é que as diferenças centrais são instáveis
sem difusão?
– Resp: Violam a propriedade transportiva. Um ponto
fica a saber o que está abaixo através da advecção, o
que é fisicamente impossível.
• Porque é que a difusão pode estabilizar as
diferenças centrais?
– Resp: Porque a difusão transporta a informação para
montante. No caso de a difusão ser importante a
advecção transporta efectivamente para jusante
coisas que foram transportadas para montante pela
difusão.
Continuação
• Poderão as diferenças centrais explícitas ser usadas quando a advecção é
dominante?
– Resp: Não. Nesse caso difusão transporta para montante muito menos do que
a advecção transporta para jusante (Reynolds da malha)
• Se a difusão for dominante é preferível usar diferenças centrais ou
upwind?
– Se a difusão for dominante as diferenças centrais são vantajosas porque têm
precisão de 2ª ordem e por isso introduzem menos difusão numéricas
• E se o algoritmo fosse implícito? Seria o algoritmo mais estável?
– Resp: Sim. Nesse caso a solução seria função dos valores das variáveis no
passo de tempo seguinte. Se a advecção tende a criar concentrações
negativas, a difusão aumenta automaticamente para porque o gradiente de
concentração aumenta.
• E se o método fosse upwind?
– Resp: nesse caso as concentração não pode ficar negativa. Em upwind a
concentração fica negativa se retirarmos de uma célula mais do que lá existe
para sair. Mas como em implícito o que sai é função da nova concentração, se
ela ficasse negativa isso significaria que sairia uma quantidade negativa e por
isso a concentração cresceria…..
Outros métodos para a advecção
• Upwind: Passa numa face o que está a montante.
• Diferenças centrais: Passa numa face a média do que está
dos dois lados.
• E se ajustássemos um polinómio de 2ª ordem a 3
pontos? Obteríamos o método QUICK: (Quadratic
Upstream Interpolation for Convective Kinematics):

Q  0  C
Qi  0  Ci  1  6 8 Ci 1  3 8 Ci  18 Ci 2
i
2
i  12
 6 8 Ci  3 8 Ci 1  18 Ci 1


• Tem precisão de terceira ordem. Tem mais problemas de
estabilidade (em situações particulares, nomeadamente
junto às fronteiras.
• Afinal qual é o melhor método?
Método implícito
c
t  t
x
c

 c Ax  AuC x  x  C x 
t
x

t  t
C  Cx 
 cxt
 u x x
t
x
t  t
x
t  t
c c

   Ax  x / 2  x x  x 
 x 
 2cx  cx  x 
c
   x  x

x 2


t 
 ut t  t  t  ut

 2 C xx  1 
 2 2 cxt  t
x
x 
 x x 

t  t
c 
c
   Ax  x / 2  x  x x 
 x 
t  t
 t 
  2 cxt tx  C tx
 x 
 diCit1 t  1 ei Cit t  fiCit1 t  Cit
 diCit1 t  1  ei Cit t  fiCit1 t  TIi
t  t
Método Semi-implicito (Crank –
Nicholson)
1
1
 1  t  t 1
 1  t 1
t  t
t  t
t
 di C i1  1  ei Ci  f i C i1  di C i1  1  ei Ci  f i C it1
2
2
2
2
 2 
 2 
Condições Iniciais e de Fronteira
• Iniciais podem ser importantes ou não
• Fronteira idem. Como se impõem?
Ci
Ci-1
Ci+1
 diCit1 t  1 ei Cit t  fiCit1 t  Cit
Condições de fronteira
• Difusão:
– Requer o cálculo dos fluxos nas células de
fronteira e por isso a concentração no exterior. Se
não for conhecida a melhor solução é
normalmente gradiente nulo.
• Advecção
– Quando o escoamento entra no domínio
transporta as propriedades do exterior. As
propriedades têm que ser conhecidas.
Se as propriedades no exterior não
forem conhecidas?
• Poderá o gradiente de concentração ser
admitido como nulo?
ck u j ck



t
x j
x j
 c 

  ( Fk  Pk )
 x 
j 

• Sim, se as fontes/poços forem dominantes!
Sumário
• O método dos volumes finitos facilita a compreensão das consequências
das hipóteses feitas para o cálculo das concentrações nas faces e para a
discretização temporal.
• Nos métodos explícitos o método é instável quando retiramos de uma
célula num passo de tempo mais do que ela contém.
• As diferenças centrais são equivalentes a assumirmos que na face a
concentração é igual à média das concentrações das duas células
adjacentes, o que viola a propriedade transportiva.
• O método QUICK cálcula a concentração na face ajustando um polinómio
do terceiro grau a 3 pontos, um dos quais a jusante da face. Não respeita
de forma absoluta a propriedade transportiva e por isso pode gerar
instabilidades. Dificulta a imposição das condições aos limites. Junto às
fronteiras pode ser substituído pelo upwind.
• O método dos volumes finitos põe em evidência a vantagem de combinar
discretizações para resolver a advecção.