3. Distribuições de probabilidade
2013
Definição. Variável aleatória.
Seja  o espaço amostral associado a um experimento aleatório. Uma
variável aleatória, X, é uma função que tem domínio
em  e
contradomínio um subconjunto dos números reais.
Exemplo. Retira-se, ao acaso, um item produzido de um lote de 6 unidades.
Variáveis:
X: Número de defeitos no item selecionado.
Y: Tempo de vida do item (em h).
2
O espaço amostral associado a este experimento aleatório é
  a1 , a 2 , , a 6 
Os possíveis valores da variável X são 0,1,2,..., e os possíveis valores
da variável Y são os números reais não negativos. Ou seja, os
contradomínios das variáveis X e Y são
RX  0, 1, 2, 3, 
RY  t  ; t  0
Classificação:
•Variáveis aleatórias discretas. Contradomínio é um conjunto finito ou
infinito enumerável.
•Variáveis aleatórias contínuas. Contradomínio é um conjunto infinito
não enumerável.
3
Variáveis aleatórias discretas (VAD)
X é uma VAD com contradomínio RX. Uma função f(x) é uma função de
probabilidade se
(i) 0  f ( xi )  1,
(ii) P ( X  xi )  f ( xi ), xi  R X e
(iii)
 f ( x )  1.
xi R X
i
Exemplo. Um lote de um certo produto é formado por 35 itens, sendo
21 itens do tipo H e 14 do tipo M. Uma amostra de 3 itens será formada
sorteando-se, ao acaso, três itens do lote. Qual a probabilidade de
encontrarmos na amostra pelo menos dois itens do tipo M?
Definimos X: número de itens do tipo M na amostra.
4
Espaço amostral
HHH
HHM
HMH
MHH
HMM
MHM
MMH
MMM
x
P(X=x)
0
0,203
Probabilidade
21 20 19


 0,203
35 34 33
21 20 14


 0,150
35 34 33
21 14 20


 0,150
35 34 33
14 21 20


 0,150
35 34 33
21 14 13


 0,097
35 34 33
14 21 20


 0,097
35 34 33
14 13 21


 0,097
35 34 33
14 13 12


 0,056
35 34 33
1
0,450
X
0
1
1
1
2
2
2
3
2
0,291
3
0,056
Assim, P(X  2)  P(X  2 )  P(X  3 )  0,291 0,056 0,347.
5
Exemplo. A demanda diária de um item é uma variável aleatória discreta
com a função de probabilidade
C 2d
P( D  d ) 
; d  1, 2, 3, 4.
d!
(a) Determinar a constante C.
(b) P(D  2).
Solução. (a) Já que P(D = d) é uma função de probabilidade,
temos: (i) C>0 e (ii) P(D=1) + P(D=2) + P(D=3) + P(D=4)=1. Ou
seja,
 2 2 2 23 2 4 
1


P
(
D

d
)

1

C




1

C


 1 2! 3! 4! 
6
d RD


2d
P( D  d ) 
; d  1,2,3,4
6d !
2 4 2
(b) P( D  2)  1  P( D  2)  1  P( D  1)  1   
6 6 3
6
Função de distribuição acumulada de uma VAD
Definição. Função de distribuição acumulada (FDA).
X é uma VAD com contradomínio RX = {x1,x2,...} e função de
probabilidade f(x) = P(X =x). Para qualquer x, a FDA de X, denotada por
F(x), é definida como
F ( x )  P ( X  x )   f ( xi )   P ( X  xi ), em que xi  R X
xi  x
xi  x
Exemplo. Uma variável aleatória X tem função de probabilidade
1 / 15,

f ( x)  P( X  x)  7 / 15,
 0,

se
se
c.c
x 1
x  2,3
Determinar F(x).
7
Se x  1
F ( x)  P( X  x)  0
Se x  1
F (1)  P( X  1) 

P( X  xi )  P( X  1)  f (1) 
xi 1
Se 1  x  2 F ( x)  P( X  x) 

P( X  xi )  P( X  1) 
xi  x
Se x  2 F (2)  P( X  2) 

1
15
P( X  xi )  P( X  1)  P( X  2) 
xi  2
Se 2  x  3 F ( x)  P( X  x) 

1 7 8
 
15 15 15
P( X  xi )  P( X  1)  P( X  2) 
xi  x
Se x  3 F (3)  P( X  3) 
1
15
8
15
 P( X  x )  P( X  1)  P( X  2)  P( X  3)
i
xi 3
1 7 7
  1
15 15 15
Se x  3 F (3)  P( X  x)  P( X  xi )  P( X  1)  P( X  2)  P( X  3)  1


xi  x
8
Observação.
Se x  [1,2), então F ( x)  F (1);
se x  [2,3), então F ( x)  F (2). Em geral, se x  [ xl xl 1 ), então F ( x)  F ( xl )
sendo que xl e xl 1 são elementosde R x .
Logo, a função de distribuição acumulada é dada por
 0,
1 / 15,

F ( x)  
8 / 15,
 1,
se x  1
se 1  x  2
se 2  x  3
se x  3
9
Propriedades da função de distribuição acumulada
X é uma VAD
1. Para todo x, 0 F(x)  1.
2. F(x) é uma função monótona não decrescente.
3.
lim F ( x )  0
x  
e
lim F ( x )  1
x  
4. Se RX = {x1, x2,......}, em que x1<x2<..., então
f(xi) = P(X = xi) = F(xi) - F(xi-1).
5. Se a e b são tais que a<b, então
(i ) P ( X  a )  F ( a )
( ii ) P ( X  a )  1  P ( X  a )
( iii ) P ( a  X  b )  F ( b )  F ( a )
( iv ) P ( a  X  b )  F ( b )  F ( a )  P ( X  a )
( v ) P ( a  X  b )  F (b )  F ( a )  P ( X  b )
10
Exemplo. A variável aleatória X tem função de distribuição acumulada
 0
1 / 8


F ( x)  1 / 2
5 / 8


1
se
x0
se
0  x 1
se
se
1 x  2
2 x3
se
x3
Calcular
(a) P(1  X  3); (b) P( X  2) (c) f ( x).
Da propriedade 5(iii) da FDA t emosque
(a) P(1  X  3)  F (3)  F (1)  1  1 / 2  1 / 2,
(b) Da propriedade 5(i) da FDA : P (X  2)  1 - P (X  2)  1 - F(1)  1 - 1/2  1/2.
(c) Da FDA t em- se que RX  {0,1,2,3}. P ela propriedade 4 da FDA,
pode - se most rarque a função de probabilidade de X é dada por
1 / 8 se

f ( x)  P( X  x)  3 / 8 se
 0 c.c

x  0,2
x  1,3
11
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
0.4
F(x)
F(x)
0.6
0.6
0.8
0.8
1.0
1.0
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
0.4
F(x)
F(x)
0.6
0.6
0.8
0.8
1.0
1.0
Exemplos
3.0
3.0
3.5
x
3.5
4.0
4.0
x
4.5
4.5
3.0
5.0
3.0
3.5
x
3.5
4.0
4.0
4.5
4.5
5.0
5.0
x
12
Variáveis aleatórias contínuas (VAC)
Função densidade de probabilidade.
Uma função f(x) é chamada função densidade de probabilidade de uma
VAC X se
1. f ( x)  0, para x  .

2.
 f ( x)dx  1.

b
3. Seja o event oA  {x; a  x  b}. Ent ão,P( A)  P(a  X  b)   f ( x)dx.
a
Exemplo. O tempo de produção de um artigo (em minutos) é uma variável aleatória
X com função densidade
5  x

,
se 2  x  4,
f ( x)   4

caso contrário.
 0,
Verificar se f(x) é uma função densidade de probabilidade e calcular a probabilidade
que o tempo de produção de um artigo escolhido ao acaso seja menor do que 3
minutos.
13
Primeiro notamos que f(x)  0, para todo
x. Falta verificar a condição (2), ou seja a
área sob o gráfico de f(x) deve ser igual a
1.



2

f ( x)dx  0dx 

4

2

4
4
5 x
5 x
1
x
dx  0dx 
dx  (5 x 
)
 1.
4
4
4
2 x2
4
2


2
A probabilidade de que o tempo de produção de um artigo escolhido ao acaso
seja menor do que 3 minutos é a probabilidade do evento A = {x; x < 3}, ou seja,
3
P( A)  P( X  3) 


2
f ( x)dx 

3
0dx 


2
2
3
1
1
x
5
(5  x)dx  (5 x 
) 
4
4
2 2 8
14
Observação. Se X é uma variável aleatória contínua, então
(i) P( X  x)  0, para todo x  ,
(ii) P(a  X  b)  P(a  X  b)  P(a  X  b)  P(a  X  b), para todos a e b  ,
(iii) P( X  a)  P( X  a), para todo a  .
Definição. Função de distribuição acumulada. X é uma variável
aleatória contínua com função densidade f(x). A função de distribuição
acumulada (FDA) de X é
x
F ( x)  P( X  x) 
 f (t )dt, para todo x  .

Exemplo. Uma variável aleatória X tem função densidade
5  x

,
se 2  x  4,
f ( x)   4

caso contrário.
 0,
Determinar F(x).
15
Se x  2, t em- se que f ( x)  0, logo, F(x)  0.
Se 2  x  4, t em- se,

5t
5  t
F(x)   f(t )dt   0dt  
dt  
4
8
-

2
x
2
2 x
x
2
9  (5  x) 2

.
8
Sex  4 tem  se,
F(x) 
x
2
4
x
-




2



4


0
1
0
 f(t )dt   f (t )dt   f (t )dt   f(t )dt  1
Logo, a FDA de X é
0,

 9  (5  x) 2
F ( x)  
8

1,

se
x2
se 2  x  4
se
x4
16
Observação.
A FDA de X permite o cálculo de probabilidades de eventos da forma
E = {x; a  x b}, com a  b. Isto é,
P(E) = F(b) - F(a).
Exemplo. Considere a FDA abaixo. Obtenha P(X 3) e P(3 X < 5).
0,

2

 9  (5  x )
F ( x)  
8

1,


se
x  2,
, se
2  x  4,
se
x  4.
Solução.
9  (5  3) 2
5
P ( X  3)  F (3) 

e
8
8
5
3
P (3  X  5)  F (5)  F (3)  1 

.
8
8
17
Propriedades
1.
0  F(x)  1, para todo x.
2.
F(x) é uma função monótona não decrescente.
3.
F(x) é uma função contínua para todo x.
x
4. lim F ( x)  lim
x 
x 
x
 f (t )dt  0 e lim F ( x)  lim  f (t )dt  1
x

x 

5. Do teorema fundamental do cálculo obtemos
f(x) 
d
F ( x).
dx
Exemplo. Suponha que o tempo de vida de um processador é uma variável aleatória
X com
x


1  ke 2 ,
F ( x)  

0,

x  0,
x  0.
Determinar (a) o valor de k, (b) P(X  2) e P(2  X  4) e P(X  -1) e (c) f(x).
18
Solução. (a) Pela propriedade 3 de F(x) temos F(0) = 0:
1  ke 0
x


2
 0  k  1. Logo, F(x)  1 - e ,

 0,
se x  0
c.c
(b) P( X  2)  1  P( X  2)  1  (1  e 1 )  e 1.
P(2  X  4)  F (4)  F (2)  (1  e  2 )  (1  e 1 )  e 1  e  2 .
P( X  1)  F (1)  0.
(c) Da propriedade 5 de uma FDA contínuatemos
 1  2x
d
 e , x0
f ( x) 
F ( x)   2
dx
 0,
x0
19
Valor esperado e variância de uma variável aleatória
Definição. Valor esperado de uma variável aleatória. Seja X uma variável
aleatória com função de probabilidade ou função densidade de
probabilidade, f (x) . O valor esperado (ou esperança matemática ou média da
variável aleatória), denotado por E ( X )   é definido como
X
1. Se X é uma variável aleatória discreta,
E( X ) 
 xf ( x),
xR X
2. Se X é uma variável aleatória contínua,

E( X ) 
 xf ( x)dx,

supondo que o somatório e a integral existem.
20
Valor esperado de uma função de variável aleatória
Seja Y = h(X), sendo h uma função real e contínua de X. O valor esperado
de h(X) é dado por
1. Se X é uma variável aleatória discreta,
E (Y ) 
 h( x) f ( x),
xR X
2. Se X é uma variável aleatória contínua,

E (Y ) 
 h( x) f ( x)dx.

21
Definição. Variância de uma variável aleatória. X é uma variável aleatória com
função de probabilidade ou função densidade de probabilidade,f (x) , com média
E ( X )   . A variância de X, denotada por Var( X )   é definida como o
2
valor esperado de ( X   X ) .
2
X
X
1. Se X é um a variávelaleat óriadiscret a,
Var ( X ) 
2
(
x


)
f ( x ),

xR X
2. Se X é um a variávelaleat óriacont ínua,

Var ( X ) 
2
(
x


)
f ( x ) dx.


Definição. Desvio padrão. É a raiz quadrada da variância:
DP( X )   X  Var( X )
22
Exemplo. Suponha que a demando diária de uma peça é uma variável
aleatória discreta com função de probabilidade
 2x
 ,
P( X  x)   6 x!
 0,
x  1, 2, 3, 4,
c.c.
Determinar (a) a demanda esperada e (b) o desvio padrão da demanda.
Solução. (a) Pela definição de valor esperado temos
2
22
23
24
19
E ( X )   xf ( x)  1  2 
 3
 4

 2,1.
6
6  2!
6  3!
6  4! 9
xRX
23
Var ( X ) 
2
(
x


)
f ( x) 

xR X
19 2 2
19 2 2 2
19 2 23
19 2 2 4
80
 (1  )   (2  ) 
 (3  ) 
 (4  ) 
 ,
9
6
9
6  2!
9
6  3!
9
6  4! 81
DP( X )   X 
80
 0,99.
81
24
x
Assimetria à direita:
Assimetria à esquerda:
Moda < Mediana < Média
Moda > Mediana > Média
Moda
x
Média
Mediana
f(x)
Mediana
Média
Moda
f(x)
Moda, mediana e média (VAC)
Simetria: Mediana = Média (se existir).
25
Variáveis aleatórias independentes
X e Y são duas variáveis aleatórias. Dizemos que X e Y são
independentes se, e somente se,
P(( X  x)  (Y  y))  P( X  x)  P(Y  y))
 FX ( x)  FY ( y), para todosx e y,
sendo que FX e FY são as FDA’s de X e Y.
Em particular, se X e Y são duas variáveis aleatórias discretas, X e Y
são independentes se, e somente se,
P(( X  x)  (Y  y))  P( X  x)  P(Y  y), para todosx e y.
26
Propriedades do valor esperado e da variância
X e Y são duas variáveis aleatórias e a e b dois números reais.
1.E (a )  a.
2.E (aX )  aE( X )
3.E (aX  b)  aE( X )  b
4.E aX  bY   aE( X )  bE(Y )
5.Var ( X )  E ( X ) 
2
6. Var (a )  0

2
X
7.Var (aX )  a 2Var ( X )
8. Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então
Var(aX  bY)  a 2Var ( X )  b 2Var (Y ).
9. Se X 1 ,  , X n são n variáveis independentes, então
Var(X1  X 2   X n )  Var ( X 1 )  Var ( X 2 )  Var ( X n )
27
Exemplo. O total de vendas diárias de um empresa que comercializa
equipamentos eletrônicos (em dezenas de milhares de R$) é uma variável
aleatória com função densidade
x 2
 3 , se 2  x  4

6  x
f X ( x)  
, se 4  x  6
 6
c.c.
 0,


(a) Para um certo dia, determine a probabilidade de que as vendas da
empresa sejam maiores do que R$ 22.000, 00, mas não ultrapassem
R$ 45.000.
(b) A média e o desvio padrão das vendas diárias.
(c) Se o lucro diário é dado pela função Y = 0,2X - 0,5, calcule a média e
o desvio padrão do lucro diário.
28
Solução. Denotamos as vendas diárias (em dezenas de milhares de R$)
por X.
(a) Definimos A = {2,2 < X  4,5} e calculamos
x2
P ( A)  P (2,2  X  4,5)   f ( x)dx  
dx 
3
2, 2
2, 2
4,5
4
4
6 x
4 6 dx
4,5
4,5

1 x
1
x 

 
 2 x    6 x 
 0,806.
3 2
2 4
 2, 2 6 
2
2
29
(b) Iniciamos calculando

34
 x2
6 x
E ( X )   xf ( x)dx   x
dx

x
dx

 3,78




3 
6 
9

2 
4 
4

6
134
 x2
2 6  x 
E ( X )   x f ( x)dx   x 
dx

x
dx

 14,89.




9
 3 
 6 

2
4
2
4
2
6
2
Logo,
 X2  Var ( X )  E ( X 2 )   X2
134  34 



9
 9 
2
 50 / 81
 X  Var ( X ) 
50 / 81  0,786.
(c) Seja Y = 0,2X - 0,5. Das propriedades do valor esperado e da variância
obtemos E(Y) = E(0,2X - 0,5) = 0,2 E(X) - 0,5 = 0,2  34/9 - 0,5  0,256.
Var(Y )  Var(0,2 X  0,5)  0,22Var( X )  0,22  (50 / 81)  0,0247.
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