A radiciação é a operação inversa da potenciação.
Ex.
4  2
pois
Na raiz , temos: n
2
a
2
 4
=b
RADICAL
O número n é chamado índice;
O número a é chamado radicando;
O número b é chamado raiz.
Radiciação
Raiz quadrada de um número positivo “a” é o
número positivo que elevado ao quadrado dê “a”.
Exemplos:
9 3
36  6
49  7
81  9
1 1
0 0
1,21  1,1
6, 25  2,5
1 1

4 2
9 3

25 5
0,04  0, 2
2
A Raiz Enézima de a
Radical
Índice
n
a b
Radicando
Raiz enézima de a
Propriedades da Radiciação
a) n a  n b  n ab
n
a n a
b) n 
(b  0)
b
b
c)
d)
 a
m
n
n m
 a
a 
e) a 
n
n
m
mn
np
m
a
a
mp
Propriedades dos radicais:
Se


a  R , b  R , m  Z , n  N , p  N , temos:
a) a  b  a  b
n
n
b) a 
m
n
n p
a
m p
n
a
a
n
c)
 n (b  0)
b
b
 
n
d) a
e)
p n
m
 a
a 
n
p n
m
a
5  2  5  2  10
3
 3
n

5 
2
3

4

3

3
3
32
2.2
5
3
 5
4
6
5 45
4
3
3
8 
5
 8   2   2
3
5
3
3
7  32 7  6 7
5
5
 32
Radicais Semelhantes
Dois ou mais radicais são semelhantes,
quando possuem o mesmo índice e mesmo
radicando
2 3
 43 5
e
7 3
e
 63 5
RADICIAÇÃO
Potência com expoente racional
Observe as seguintes igualdades:
ou
Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um
radical.
De modo geral, definimos:
, com a
IR,m,n,
IN, a >0, n>0, m>0
Podemos também transformar um radical com expoente fracionário, isto é,vale
também a volta.
O exercício que foi resolvido anteriormente na multiplicação, pode também agora ter
esta resolução:
3
2
3
3
4
4
5
a 2 .4 a3 .5 a 4  a .a .a  a
2 3 4
   
3 4 5
a
133
60
 60 a133  a 2 . 60 a13
RADICIAÇÃO
Potência com expoente racional
Propriedade das potências com expoentes racionais
As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para
os expoentes inteiros.
Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais,
temos que:
p
m
p
m
a
a
a
n
m
n
p
q
.a
q
 a
 a
a.b 
a


b
m
n
m
n
n

q
m
p

n
q
 a

a
b
m
n
m
n
m
n
.b
m
n
Simplificando Radicais
Simplificar um radical é reduzir o radicando à sua expressão
mais simples.
Exemplos:
a) 8  2 
6
6
3
63
2
33
 2 2
2
b) 3 288  3 2  3  3 2  2  3 
5
2
4
2
3  2  2  3  3  2  2  3  36 2
4
2
2
RADICIAÇÃO
“Introdução” de um fator no radical

2.3 7  3 23 .3 7  3 23.7  3 56

104 3  4 104.3  4 30000

6 5  62.5  180

10 5  102.5  500
Processo prático:
23 7  3 23.7  3 56
RADICIAÇÃO
Operações com Radicais:
Adição e Subtração
Exemplo 1: Efetue: 3  3 3  7 3
Resolução: Os três radicais são semelhantes, pois possuem o mesmo índice 2 e
o mesmo radicando 3. Adicionando algebricamente os coeficientes, podemos
escrever: 3  3 3  7 3  31  3  7  2 3
Exemplo 2: Efetue: 3 8  32  4 18
Resolução: Os três radicais aparentemente não são semelhantes, mas se os
simplificarmos, perceberemos que eles são verdadeiramente semelhantes.
Simplificando cada um dos radicais, teremos:
3 23  2 25  4 2. 32 3.2 2  2 2 2  4.3 2  6 2  4 2  12 2  14 2
RADICIAÇÃO
Operações com Radicais:
Adição e Subtração
Exemplo 3: Efetue: 75  4 400  6 125  8 81
Resolução: Os três radicais aparentemente não são semelhantes, mas se os
simplificarmos, perceberemos que eles são semelhantes dois a dois.
Simplificando cada um dos radicais, teremos:
3.52  4 24.52  6 53  8 34  5 3  22.5  5  3  6 3  5
RADICIAÇÃO
Operações com Radicais:
Multiplicação
Exemplo 1:
2. 5
Resolução: Os dois são homogêneos, pois possuem o mesmo índice 2. Multiplicando os
radicandos e conservando o índice, podemos escrever:
Exemplo 2: Efetue:
3
2. 5  2.5  10
a 2 .4 a3 .5 a 4
Resolução: Os três radicais são heterogêneos, pois possuem índices diferentes. Reduzindo-os
ao mesmo índice, teremos:
3
a2 .4 a3 .5 a4  60 a40 .60 a45 .60 a48  60 a40 .a45 .a48  60 a133
E simplificando o radical 60
133 teremos:
a
60
a120 .a13  a2 .60 a13
RADICIAÇÃO
Operações com Radicais:
Divisão
RADICIAÇÃO
Operações com Radicais:
Divisão
RADICIAÇÃO
Operações com Radicais:
Potenciação

 2 
5
2 . 2 . 2  2.2.2  2  8
5
5
7
5
3
1
3
2
5
5
Logo, 7
3
3
3 7
7
2
7
5
5
2 2.
5 5. 5
Logo,

3
5
5
3.1
 5 .5  5
3
6
3
7
5 .
3
3
7
6
 2.3
De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar
o radicando àquele expoente.
a
n
r
m
 a
n
rm
RADICIAÇÃO
Operações com Radicais:
Radiciação

3
6
64  2 Logo,
81  9  3 e 4 81  3 Logo,


64  3 8  2 e
3
3
4096  3
64  3 8  2
3.2
3 2
64  6 64
2.2
2 2
81  4 81
ou
4096  12 4096  12 212  2
De modo geral, satisfeitas as condições de existência dos radicais
envolvidos, podemos indicar a radiciação de um radical assim:
n m
a  m.n a
RADICIAÇÃO
Expressões
 3
18  84  4  25  3 18  84  4  5  3 18  84  9 
 3 18  84  3  3 18  81  3 18  9  3 27  3
3


14
3 11 3 14
15  11 3 14
4







125
5 25
125
25
125
25
14 2 3 14  50 3 64 4
3

 


125 5
125
125 5
3
52 : 3 13 .3 16 
75  12

588
3
52 : 13.16 
3.52  2 2.3
2 2.3.7 2
3
4.16 
3
64  4  2
5. 3  2. 3
7. 3
1



2.7. 3
2.7. 3 2
RADICIAÇÃO
Desenvolvendo Produtos Notáveis



2  2   2  2 . 2  2   4  2
2


  3 
3 6. 3 6 
 
2

2
  
2
 
2
2 2 2 2  44 2 2  64 2
3 . 6  3. 6 

 6
2
 
2
 3 6  9
 10  3  10  3 . 10  3  10  10 . 3  10 . 3  3  10  2. 30  3  13  2. 30
RADICIAÇÃO
Racionalização de Denominadores
Em alguns cálculos, você pode se deparar com raízes no denominador da
fração, o que a torna irracional. Para que você possa prosseguir com os
cálculos, é conveniente que você elimine essas raízes do denominador, esse
processo chamado de racionalização de denominadores. Isto é, transforma-se
um denominador irracional em racional, para que assim possamos trabalhar
com
tranquilidade
com
a
fração
que
agora
teremos
o denominador
é um número irracional e deve ser eliminado.
Atenção: o importante é eliminar a raiz (que pode ser quadrada, cúbica, etc),
mantendo uma fração "equivalente", ou seja, que representa o mesmo valor.
Uma dica é multiplicar tanto o numerador (parte de cima), quanto o denominador
pelo mesmo número, o que não interfere na igualdade. Se a fração anterior for
multiplicada em cima e em baixo por
ficará:
Note que
é igual a 1, logo a multiplicação de um número por 1 não o altera.
RADICIAÇÃO
Racionalização de Denominadores
Prosseguindo:
Como se pode notar o denominador agora é um número racional (3).
RADICIAÇÃO
Racionalização de Denominadores
Raízes não-quadradas
Para eliminar raízes cúbicas, ou de outros índices diferentes de 2 (lembre-se: raiz
quadrada é, na verdade, uma raiz de índice 2), é necessário utilizar um artifício.
Multiplique, no numerador e no denominador, por uma raiz de mesmo radicando (o
número dentro da raiz) e cujo índice seja equivalente ao índice da raiz original, e o
expoente do radicando seja o valor do índice menos um. Por exemplo:
ou
é o fator racionalizante de
RADICIAÇÃO
Racionalização de Denominadores
Soma de raízes no denominador
Veja:
Deve-se multiplicar por
Isso porque a multiplicação de
por
é, na verdade, a multiplicação de
(a + b). (a - b), um produto notável, cujo resultado é (a2 - b2), isto é, os radicais
somem!
é o fator racionalizante de
é o fator racionalizante de
é o fator racionalizante de