Disciplina de Lógica Aplicada - GST0049
Cursos de Graduação em Publicidade e em Jornalismo
Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.
Graduação em Administração - ESAG/UDESC
Doutorado e Mestrado em Engenharia de Produção - UFSC
Material Didático da Estácio
(Disponível no Leitor Estácio)
www.estacio.br/leitorestacio
- SUMÁRIO -
Funções
Introdução à Lógica
Gráficos
Lógica Proposicional
Porcentagem
Regra de Três
Tabela Verdade
Bibliografia
Lógica Aplicada
Funções
Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.
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FUNÇÕES
• Função é um
da matemática.
dos
conceitos
mais
importantes
• Existem várias definições, dependendo da forma como
são escolhidos os axiomas.
• Uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação
entre cada um de seus elementos. Também pode ser
uma lei que para cada valor x é correspondido por um
elemento y, também denotado por ƒ(x).
5
Principais Tipos de Funções
 Função Afim:
Exemplo: f(x) = 2x+5; f(x)= -x+4; f(x)= 3x.
O gráfico da função afim é uma reta.
 Função Linear:
É a função afim com b=o.
Exemplo: f(x) = 3x; f(x) ½ x; f(x) = -x.
O gráfico de uma função linear é uma reta passando pela origem.
6
Outros Tipos de Funções
 Função Recíproca: representada por f(x)=1, com x ≠ 0.
x
O gráfico da função recíproca é uma hipérbole eqüilátera.
 Função Exponencial: é representada por:
F(x) =ax, com a>0 e a≠1
Quando a>1, a função é crescente;
Quando 0<a<1, a função é decrescente.
Conceitos Iniciais
PAR ORDENADO - conceito primitivo
P(x,y) - ponto no plano cartesiano
Abscissa
Ordenada
y
P(x,y)
P (0,y)
P (x,0)
x
Plano Cartesiano
• Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par
ordenado de números, a abscissa e a ordenada respectivamente.
• Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.
 O primeiro número indica a
medida do deslocamento a partir
da origem para a direita (se
positivo) ou para a esquerda (se
negativo).
 O segundo número indica o
deslocamento a partir da origem
para cima (se positivo) ou para
baixo (se negativo).
Observe no desenho que:
(a,b)
(b,a) se a
b.
Considere o conjunto A = {2, 4} e B = {1, 3, 5}.
Enumerando seus elementos em um gráfico cartesiano.
A x B = {(2;1), (2;3), (2;5), (4;1), (4;3), (4; 5)}
A x B = {(2;1), (2;3), (2;5), (4;1), (4;3), (4; 5)}
Relação binária h = {(x;y)| y < x}
A
2
1
3
5
4
B
Relação binária g = {(x;y)| y= x + 3}
A
yx
h: {(2;1), (4;1), (4,3)}
2
4
1
3
5
B
y  x3
g: {(2;5)}
DEFINIÇÃO: Denomina-se Relação Binária de A em B qualquer
subconjunto do produto cartesiano de A x B.
OBSERVAÇÃO: Quando nesse subconjunto para todo elemento de A
existir um único correspondente em B, teremos uma função f de A em B.
A relação binária f = {(x;y)| y = x + 1}
A
2
1
3
5
4
B
f é uma função de A em B, pois todo
elemento de A está associado a um
único elemento em B
y  x 1
f: {(2;3), (4;5)}
ELEMENTOS DE UMA FUNÇÃO: f: A  B
DOMÍNIO: A = {2, 4}
CONTRA DOMÍNIO: B = {1, 3, 5}
CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}
Considere a função f: A  B definida por y = 3x + 2,
pode-se afirmar que o conjunto imagem de f é:
A
B
1
2
3
5
8
11
15
17
y  3x  2
f ( x)  3 x  2
y  3x  2
 f (1)  5
 f (2)  8
y  3.3  2  11  f (3)  11
y  3.1  2  5
y  3.2  2  8
 Im( f )  {5,8,11}
1) Seja f(x) = ax + b uma função linear.
Sabe-se que f(-1) = 4 e f(2) = 7. Dê o valor de f(8).
(UFSC, 2013)
y = ax + b
f(-1) = 4
(-1, 4)
4 = a(-1) + b
f(2) = 7
(2, 7)
7 = a(2) + b
- a  b  4

2a  b  7
a=1
f(x) = ax + b
f(x) = 1.x + 5
f(x) = x + 5
Logo:
f(8) = 8 + 5
f(8) = 13
b=5
2) A semi-reta representada no gráfico seguinte expressa o
custo de produção C, em reais, de n quilos de certo produto.
C (reais)
Se o fabricante vender esse
produto a R$ 102,00 o quilo,
a sua porcentagem de lucro
em cada venda será?
180
80
0
20 x (quilogramas)
Função do 1º grau:
f(x) = a.x+ b
80 = a.0 + b
f(1) = 5.1+ 80  f(1) = 85
b = 80
R$ 85
 100%
R$102

180 = a. 20 + 80
a=5
x
P1(0,80)
20a = 100
P2(20,180)
f(x) = a.x+ b
x = 120%
f(x) = 5.x+ 80
LUCRO DE 20%
3) Em um termômetro de mercúrio, a temperatura é uma função
afim (função do 1o grau) da altura do mercúrio. Sabendo que as
temperaturas 0oC e 100oC correspondem, respectivamente, às
alturas 20 ml e 270 ml do mercúrio, então a temperatura
correspondente a 112,5 ml é:
Função do 1º grau:
20 = a.0 + b
b = 20
y = 2,5x + 20
f(x) = a.x+ b
270 = a. 100 + 20
P1(0,20)
P2(100,270)
100a = 250
a = 2,5
f(x) = a.x+ b
f(x) = 2,5.x+ 20
112,5 = 2,5x + 20
92,5 = 2,5x
37°C = x
Gráficos
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GRÁFICOS
Gráfico é a forma geométrica de apresentação dos dados e
respectivos resultados de sua análise.
A escolha do modelo ideal de representação gráfica depende das
preferências e do senso estético do elaborador.
Vantagens:
- Permitem a síntese dos resultados;
- Auxiliam o pesquisador na análise dos dados e
- Facilitam a compreensão das conclusões do autor.
18
EXPECTATIVA DE VIDA – Diferenças entre os países
RENDA PER CAPITA NO BRASIL (PNUD, 2000)
RENDA PER CAPITA EM SANTA CATARINA (PNUD, 2000)
ACESSO AO ENSINO SUPERIOR NO BRASIL (PNUD, 2000)
ACESSO AO ENSINO SUPERIOR EM SANTA CATARINA (PNUD, 2000)
GRÁFICO DE DISPERSÃO – RENDA x EDUCAÇÃO (PNUD, 2000)
NORMAS PARA A CONFECÇÃO DE GRÁFICOS
 Deve facilitar a interpretação dos dados para um leigo;
 Não há a necessidade de se colocar título se estiver na mesma
página da tabela correspondente;
 Há a necessidade de se colocar o título se a tabela
correspondente não estiver na mesma página.
 O senso estético individual determina o espaço do gráfico (L x A);
 As colunas, barras, linhas e áreas gráficas devem ser ordenadas
de modo crescente ou decrescente, mas a ordem cronológica
prevalece.
ORIGEM DOS GRÁFICOS
O diagrama cartesiano é a figura geométrica que deu origem
à técnica de construção de gráficos estatísticos.
Utiliza-se o primeiro quadrante do sistema de eixos
coordenados cartesianos ortogonais.
Ordenadas (eixo y)
1o Quadrante
Abscissas (eixo x)
Eixo y
Frequências
Eixo x
Valores da Variável
GRÁFICO EM COLUNAS OU DE BARRAS
Tabela 1: Quantidade de exames realizados em
um determinado laboratório em 2015.
Exames
Figura 1: Gráfico em colunas do número de
exames realizados em um determinado laboratório
em 2015.
Quantidade
25000
Hematologia
Bioquímica
Imunologia
Parasitologia
9824
21534
15432
4310
Fonte: Hipotética
20000
15000
10000
5000
0
Hemat
Bioq
Imunol
Parasit
GRÁFICO DE BARRAS HORIZONTAIS
Tabela 2: Quantidade de exames realizados em
um determinado laboratório em 2015.
Exames
Quantidade
Hematologia
Bioquímica
Imunologia
Parasitologia
9824
21534
15432
4310
Fonte: Hipotética
Figura 2: Gráfico de Barras Horizontais do número
de exames realizados em um determinado
laboratório em 2015.
Parasit
Imunol
Bioq
Hemat
0
5000
10000
15000
20000
25000
GRÁFICO DE SETORES OU CIRCULAR
Tabela 3: Quantidade de exames realizados em
um determinado laboratório em 2015.
Exames
Hematologia
Bioquímica
Imunologia
Parasitologia
Figura 3: Gráfico circular do número de exames
realizados em um determinado laboratório em 2015.
Quantidade
9824
21534
15432
4310
Parasit
Hemat
Imunol
Fonte: Hipotética
Bioq
HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIA
Tabela 4: Notas dos alunos na disciplina de
Estatística no curso de Administração (ano x)
Notas
Frequência
Figura 4: Histograma das notas dos alunos
12
10
0
2
2
8
2
4
7
6
4
6
11
4
6
8
10
2
8
10
5
Fonte: Dados Fictícios
0
0a2
2a4
4a6
6a8
8 a 10
HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIA PERCENTUAL
• A área do histograma é
proporcional à soma das
frequências;
• Para
comparar
duas
distribuições, o ideal é utilizar
números percentuais;
Figura 5: Histograma dos percentuais das notas
dos alunos
35
31,4
28,6
30
25
20
20
14,3
15
10
5,7
5
0
0a2
2a4
4a6
6a8
8 a 10
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA
• É um Gráfico em Linha de
uma
distribuição
de
frequência;
• Para se obter um polígono
(linha
fechada),
deve-se
completar a figura, ligando os
extremos da linha obtida aos
pontos médios da classe
anterior à primeira e posterior
à última, da distribuição.
Figura 6: Polígono de Frequência percentual de
das notas dos alunos
35
31,4
30
28,6
25
20
20
15
14,3
10
5,7
5
0
0
0a2
2a4
4a6
6a8
8 a 10
11
GRÁFICO STEM AND LEAF (Tronco e Folhas)
Figura 7: Gráfico Stem-Leaf onde o primeiro
dígito é o tronco e o segundo é a folha
13
22
33
45
53
62
71
14
23
35
47
57
63
72
15 15
28 29
36 37 39 39
58 58 59
65
Conjunto de Dados
Tronco (Stem)
1
2
3
4
5
6
7
Folha (Leaf)
3455
2389
356799
57
37889
235
12
GRÁFICO DE BARRAS COM DESVIO PADRÃO
Figura 8: Gráfico de barras com os valores médios e o desvio padrão das alturas de
estudantes da faculdade x (valores fictícios).
1,95
1,9
1,85
1,8
1,75
1,7
1,65
1,6
1,55
Medicina
Odontologia
Farmacia
Nutrição
GRÁFICO POLAR
Figura 9: Precipitação pluviométrica na cidade do Recife em 1993 (Ministério da Agricultura).
É o gráfico ideal para representar séries temporais cíclicas
CARTOGRAMA
Figura 10: Distribuição populacional e densidade demográfica na Região Sul em 1994 (IBGE)
Cartograma é a representação sobre uma carta geográfica.
PICTOGRAMA
O pictograma constitui um dos processos gráficos que melhor fala ao
público, pela sua forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva.
A representação gráfica consta de figuras.
PICTOGRAMA
Figura 11: Distribuição populacional na Andaluzia – Espanha.
Nº de habitantes de 8 províncias de Andaluzia
Porcentagem
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PORCENTAGEM
• É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou
reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando
por base 100 unidades. Alguns exemplos:
A gasolina teve um aumento de 15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00
O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
Dos jogadores que jogam no Avaí, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores do Avaí, 90 são craques.
40
SIMBOLOGIA (%)
Significado: divida o número por 100
X% =
X
100
41
TAXA PERCENTUAL (%)
Muito usada no ambiente publicitário, ela indica a
razão centesimal de uma conta.
Supondo que em um exame um aluno tenha
acertado 12 de 15 questões:
12:15 ou 12 = 0,8 x 100 = 80%
15
ELEMENTOS DO CÁLCULO PERCENTUAL
Vimos que:
12
=
0,8 x 100 = 80%
15
percentagem
principal
Representado por:
 Principal: P;
 Percentagem: p;
 Taxa: r
=
taxa x 100
TAXA
• É o valor que representa a quantidade de unidades
tomadas em cada 100.
PERCENTAGEM
• É o valor que representa a quantidade tomada de outra,
proporcionalmente a uma taxa.
PRINCIPAL
• É o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem.
TAXA UNITÁRIA
Vimos que a taxa percentual se refere a 100, ou seja:
25 = 25%
100
Porém é muito mais prático (e, as vezes, necessário) tomarmos
como valor referencial a taxa unitária (simbolizada por um i):
25 =
100
i
i=
1
25 = 0,25
100
i = 0,25 = 25 = 25%
100
TAXA UNITÁRIA: Percentual, Fracionária ou Decimal
Percentual
Fracionária
Decimal
30%
30/100
0,30
70%
5%
70/100
0,70
5/100
0,05
220%
220/100
3500%
3500/100
2,20
35
46
Fator de aumento = 1 + fator simples
Acréscimo ou Lucro
Fator de Multiplicação
10%
1,10
15%
1,15
20%
1,20
47%
1,47
67%
1,67
PALAVRAS: INFLAÇÃO, ACRÉSCIMO, ÁGIO,
REPOSIÇÃO, VALORIZAÇÃO.
47
Fator de desconto = 1 – fator simples
Desconto
Fator de Multiplicação
10%
0,90
25%
0,75
34%
0,66
60%
0,40
90%
0,10
PALAVRAS: DESCONTO, DECRÉSCIMO, DESÁGIO,
DEFLAÇÃO, DESVALORIZAÇÃO, ABATIMENTO.
48
TIPOS DE QUESTÕES
PROBLEMAS SIMPLES
PROBLEMAS COM AUMENTO
PROBLEMAS COM DESCONTO
Valor Inicial
. Fator % = Valor Final
49
PROBLEMAS SIMPLES
Exemplos:
Quanto é 20% de 60?
20
x
 60  x  12
100
20 é 80% de quanto?
80
20 
 x  x  25
100
12 é quanto por cento de 30?
x
 30
100
 x  40%
12 
50
PROBLEMAS COM AUMENTO
Exemplos:
Aumento de 30% sobre x
1,3∙x
Aumento de 80% sobre x
1,8∙x
Aumento de 7% sobre x
1,07∙x
Aumento de 320% sobre x
4,2∙x
Aumento de 1300% sobre x
14∙x
PALAVRAS: INFLAÇÃO, ACRÉSCIMO, ÁGIO,
REPOSIÇÃO, VALORIZAÇÃO.
51
PROBLEMAS COM DESCONTO
Exemplos:
Desconto de 20% sobre x
0,80∙x
Desconto de 70% sobre x
0,30∙x
Desconto de 5% sobre x
0,95∙x
Desconto de 7% sobre x
0,93∙x
Desconto de 130% sobre x
não existe
PALAVRAS: DESCONTO, DECRÉSCIMO, DESÁGIO,
DEFLAÇÃO, DESVALORIZAÇÃO, ABATIMENTO.
52
PORCENTAGENS CONSECUTIVAS
MULTIPLICAR OS
FATORES
MÊS
INFLAÇÃO
FATOR
MAIO
10%
1,1
JUNHO
20%
1,2
QUAL É A INFLAÇÃO
ACUMULADA?
ACUMULADA = 1,1 ∙ 1,2 = 1,32
32% DE INFLAÇÃO ACUMULADA
53
INTERPRETAÇÃO
130% DE x
AUMENTO DE
30% SOBRE x
DESCONTO DE
20% SOBRE x
1,3∙x
0,8∙x
80% DE x
54
PORCENTAGENS CONSECUTIVAS
Exemplo: Se a desvalorização de determinado
imóvel foi, em maio de 10% e, em junho de 20%, qual
a desvalorização acumulada dos dois meses?
Fator de desconto de maio =
0,9
Fator de desconto de junho =
0,8
0,9 ∙ 0,8 = 0,72
28% DE
DESVALORIZAÇÃO
ACUMULADA
55
Questão 1: Durante a crise do abastecimento de
álcool um carro sofreu duas desvalorizações
consecutivas de 10%. Que porcentagem do preço
original passou a custar?
a) 90%
Fator de desconto 1a desvalorização =
0,9
Fator de desconto 2a desvalorização =
0,9
b) 81%
c) 80%
d) 79%
e) 0%
Porcentagem do
preço inicial =
0,9 ∙ 0,9 = 0,81 = 81%
56
Questão 2: Um comerciante aumenta o preço original
de uma mercadoria em 60%. Em seguida anuncia essa
mercadoria com desconto de 50%, o que resulta em um
preço de R$ 24,00. O desconto real sobre o preço
original da mercadoria é:
a) 10%
b) 20%
FATOR DE AUMENTO DE 60% = 1,6
FATOR DE DESCONTO DE 50% = 0,5
c) 25%
d) 40%
e) 30%
1,6 ∙ 0,5 = 0,8
57
Regra de Três
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REGRA DE TRÊS
• Regra de três é um processo prático para resolver problemas
que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles.
Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já
conhecidos.
• É chamado assim o problema nos quais figura uma grandeza
que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais
grandezas.
59
GRANDEZAS PROPORCIONAIS
A relação entre duas grandezas estabelece a lei de
variação dos valores de uma em relação a outra.
As grandezas proporcionais podem ser:
- Diretamente proporcionais
- Inversamente proporcionais
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Quando valores pequenos da variável a tendem a estar relacionados com
valores pequenos de b, enquanto que valores grandes de a tendem a
estar relacionados com valores grandes de b.
a
Exemplos:
Peso x Altura
Nível socioeconômico x Volume de vendas
Consumo de Álcool x Preval. Cirrose Hepática
b
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Quando valores pequenos da variável a tendem a estar relacionados com
valores grandes de b, enquanto que valores grandes de a tendem a estar
relacionados com valores pequenos de b.
a
Exemplos:
Renda Familiar x Número de Filhos
Escolaridade x Absenteísmo
Volume de vendas x Passivo circulante
b
TIPOS DE REGRA DE TRÊS
- Regra de Três Simples:
Trabalha com apenas duas grandezas
- Regra de Três Composta:
Envolve mais de duas grandezas
REGRA DE TRÊS SIMPLES
São dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra,
o qual corresponde a um dos valores da primeira grandeza.
Devemos obter o valor da segunda grandeza correspondente
ao segundo valor da primeira.
Passos utilizados numa regra de três simples
 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da
mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha
as
grandezas
de
espécies
diferentes
em
correspondência.
 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou
inversamente proporcionais.
 3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplo 1
Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha
com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora
de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia
produzida?
Montando a tabela e identificando a relação:
Solução:
Área (m2)
Energia (W/h)
1,2
400
1,5
x
1,2/1,5 = 400/x
1,2 x = 1,5 . 400
X = 600 / 1,2 = 500 W/h
Exemplo 2
Para construir uma casa 10 pedreiros levam 30 dias. Se passarmos a
contar com 15 pedreiros em quantos dias a casa ficará pronta?
Montando a tabela e identificando a relação:
Solução:
Pedreiros
Tempo (dias)
10
30
15
x
30/x = 15/10
15 x = 10 . 30
X = 300 / 15 = 20 dias
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Ocorrem três ou mais grandezas relacionadas entre si.
Nesse caso, para cada grandeza são dados dois valores com
exceção de uma delas, que tem apenas um valor, relacionado
com um dos valores de cada uma das outras grandezas.
Exemplo 1
O dono de uma carpintaria sabe que precisa de 50 operários para
fazer 10 estantes em 5 dias, mas sabendo ele que para fazer as estantes
tem apenas dois dias, de quantos operários vai precisar?
Montando a tabela e identificando a relação:
Solução:
Operários
Estantes
Dias
50
10
5
x
10
2
50/x = 10/10 . 2/5
x = 1 . 50 . 5 / 2
X = 125 Operários
Exemplo 2
Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m³ de areia. em 5 horas,
quantos caminhões serão necessários para descarregar 125 m³?
Montando a tabela e identificando a relação:
Areia (m³)
Horas
Caminhões
160
8
20
25
5
x
Solução:
20/x = (5/8) . (160/125)
x = 25 Caminhões
Exemplo 3
Se para imprimir 87.500 exemplares 5 rotativas gastam 56 min, em
que tempo 7 rotativas iguais às primeiras, imprimirão 350.000 desses
exemplares?
Montando a tabela e identificando a relação:
Exemplares
Solução:
Rotativas
Tempo (m)
87.500
5
56
350.000
7
x
56/x = (87.500/350.000) . (7/5)
x = 160 min
x = 2h40min
Exemplo 4
Quinze operários trabalhando 9 horas por dia, construíram 36 m de
muro em 16 dias. Em quanto tempo 18 operários farão 60 m do mesmo
muro, trabalhando 8 h por dia?
Montando a tabela e identificando a relação:
Operários
Jornadas (h)
Comprimentos (m)
Dias
15
9
36
16
18
8
60
x
Solução:
16/x = (36/60) . (8/9) . (18/15)
x = 25 dias
Introdução à Lógica
Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.
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INTRODUÇÃO À LÓGICA
 A Lógica é um ramo da Filosofia e da Matemática e estuda os
princípios e métodos de argumentação.
 A Lógica tem por objetivo estudar os métodos e princípios que
permitem distinguir raciocínios válidos de outros não válidos;
 A Lógica cuida das regras do bem pensar, se preocupa
basicamente com a estrutura do raciocínio.
74
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
 A História da Lógica teve início em 384–322 a.C., com o filósofo
grego Aristóteles e já com a teoria dos silogismos (certa forma
de argumento válido).
 Os fundamentos da Álgebra da Lógica só foram publicados
entre 1840 e 1910.
 “Eu sustento que a descoberta da forma dos silogismos é uma
das mais belas conquistas da mente humana. É uma espécie de
matemática universal, cuja importância não é suficientemente
conhecida“ (LEIBNIZ).
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SILOGISMO
• Toda regra tem exceção.
Isto é uma regra.
Logo, deveria ter exceção.
• Portanto, nem toda regra tem exceção.
• Deus é amor.
O amor é cego.
Steve Wonder é cego.
• Logo, Steve Wonder é Deus.
76
PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS
- Chama-se PROPOSIÇÃO a
todo o conjunto de palavras ou
símbolos que exprimem um
pensamento completo.
- Tecnicamente, uma proposição
é uma frase que pode ser
apenas verdadeira ou falsa,
são os chamados valores
lógicos de uma proposição.
77
PROPOSIÇÕES: EXEMPLIFICANDO
Exemplos:
1. Dez é menor que sete.
2. Ela é muito talentosa!
3. Existem formas de vida em outros planetas do universo.
• A frase 1 é uma proposição pois é falsa.
• Na frase 2, “Ela” não está especificada, a frase não é
portanto nem verdadeira nem falsa, logo não temos uma
proposição.
• A frase 3 é uma proposição, embora não saibamos se é
verdadeira ou falsa, apenas uma das opções ocorre.
78
PROPOSIÇÕES: EXEMPLIFICANDO
Costuma-se usar a palavra “proposição” para designar o
significado de uma sentença ou oração declarativa.
• Exemplo:
“João ama Maria” é o mesmo que
“Maria é amada por João”.
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PROPOSIÇÃO
• Toda proposição é uma frase mas, nem toda frase é uma
proposição);
• Uma frase é uma proposição apenas quando admite um dos
dois valores lógicos: Falso (F) ou Verdadeiro (V).
Exemplos:
• Frases que não são proposições
– Pare!
– Quer uma xícara de café?
• Frases que são proposições
– A lua é o único satélite do planeta terra (V)
– Salvador é a capital do estado do Amazonas (F)
– O numero 712 é ímpar (F)
– A raiz quadrada de dois é um número irracional (V)
80
TIPOS DE PROPOSIÇÃO
PROPOSIÇÃO SIMPLES
É aquela que não possui nenhuma outra proposição como parte
integrante de si mesma.
Representadas pelas letras p,q,r,s,..., minúsculas.
p: 19 é número primo.
q: O triângulo que tem 3 lados diferentes é isósceles.
PROPOSIÇÃO COMPOSTA
É aquela formada pela Combinação de duas ou mais proposições.
Representadas pelas letras P,Q,R,S..., maiúsculas.
P: 4 é a raiz de 16 e 9 é o cubo de 2.
Q: Mercúrio é um planeta e a lua é o Satélite da terra.
81
CONECTIVOS LÓGICOS
Conectivos = Conectores
Símbolos:
Negação (não)
∨
Conjunção (e)
∨
Disjunção (ou)
Ou Exclusivo


Condicional
Equivalência
82
Proposição Composta Condicional
Se então
Notação: p q (lê-se se p então q)
O valor lógico de uma condicional será falso quando “p”
for verdadeira e “q” for falsa, e Verdadeiro nos demais
casos.
EXEMPLOS:
“Se tem fumaça então tem fogo.”
“Se hoje é domingo então tem jogo na televisão.”
83
Proposição Composta Condicional
Se então
1. A primeira proposição (p) é chamada de antecedente,
hipótese ou condição suficiente;
2. A segunda proposição (q) é chamada de consequente
ou condição necessária;
3. A proposição composta resultante da operação
condicional de uma proposição em outra somente será
falsa,se a proposição antecedente for verdadeira e a
consequente for falsa. Em todos os outros casos, a
proposição resultante será verdadeira.
84
Proposição Composta Condicional
Se então
“Se João passou de ano, então João passou em física”.
Atenção para algumas variações frequentes:
“João Passará em física, se João passar de ano”.
“João passar de ano é condição suficiente para que João
passe em física”.
“João passar de ano é condição necessária para que
João passe em física”.
“João passará de ano somente se João passar em física”.
85
Vamos analisar outra situação:
p: João passou de ano.
q: João passou em física.
p  q: Se João passou de ano, então João passou em física.
• Percebe-se nesta última proposição que, se João
passou de ano, é porque também passou em física.
• E que há apenas um caso em que elas e torna falsa:
João passou de ano, associado com João não passou
em física.
A proposição composta resultante da operação
condicional de uma proposição em outra somente será
falsa, se a proposição antecedente for verdadeira e a
consequente for falsa
86
Facilitando o entendimento:
“Se nasci em Florianópolis, então sou catarinense”.
Qual é a única maneira dessa proposição estar incorreta?
Se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa.
• Ou seja, se é verdade que eu nasci em Florianópolis, então
necessariamente é verdade que eu sou catarinense.
• Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em
Florianópolis, e que é falso que eu sou catarinense, então
este conjunto estará todo falso.
87
Percebe-se que o fato de eu ter nascido em Florianópolis é
condição suficiente (basta isso!) para que se torne um
resultado necessário que eu seja catarinense. Mirem
nessas palavras:
Suficiente e necessário
Uma condição suficiente gera um resultado necessário.
Se alguém disser que:
“Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica”,
então pode-se reescrever essa sentença usando o formato da condicional:
“Se Pedro for rico, então Maria é médica”.
88
Por outro lado, se ocorrer de alguém disser que:
“Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja
rico”, também poderemos traduzir isso de outra forma:
“Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico”
é igual a:
“Se Pedro for rico, então Maria é médica”
89
A tradução das palavras suficiente e necessário para o
formato da proposição condicional já foi bastante exigido em
questões de concursos.
→ Uma condição suficiente gera um resultado necessário.
Se as proposições p e q forem representadas como
conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição
condicional "Se p então q" corresponderá à inclusão do
conjunto p no conjunto q (p está contido em q).
q
p
pCq
90
Outros Exemplos da Proposição Condicional
Exemplo1:
Se 4 é maior que 2, então 10 é menor que 20.
p: 4 é maior que 2
q: 10 é menor que 20
p
q
V
V
Resultado V
Exemplo2:
Se o mês de Maio tem 31 dias, então a Terra é plana
O mês de Maio tem 31dias: p
A Terra é plana: q
p
q
V
F
Resultado F
91
Lógica Proposicional
Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.
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LÓGICA PROPOSICIONAL
• As regras de lógica dão um significado preciso para
sentenças matemáticas.
• Essas regras são usadas para distinguir argumentos
matemáticos válidos e inválidos.
 PROPOSIÇÃO
É uma sentença declarativa verdadeira ou falsa.
Toda sentença declarativa declara um fato.
93
PROPOSIÇÕES
• Sentenças declarativas:
1.
Brasília é a capital do Brasil.
2. Toronto é a capital do Canadá.
3.
1+1=2
4.
2+2=3
As proposições 1 e 3 são verdadeiras e 2 e 4 são falsas.
94
NÃO-PROPOSIÇÕES
• Analise as seguintes sentenças:
1.
Que horas são?
2.
Leia isso cuidadosamente.
3.
x+1=2
4.
x+y=z

As sentenças 1 e 2 não são proposições porque não são sentenças
declarativas.

As sentenças 3 e 4 não são nem verdadeira e nem falsas.
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ATENÇÃO
• Ao se atribuir valores para as variáveis das sentenças 3 e 4
elas se tornam PROPOSIÇÕES:
3.
x+1=2
4.
x+y=z

Se (x = 2) a sentença 3 ficaria: 3 + 1 = 2 (Falso).

Se (y = 3 e z = 5) a sentença 4 ficaria: 2 + 3 = 5 (Verdadeiro).
96
ARISTÓTELES
Aristóteles
(em grego antigo: Ἀριστοτέλης, transl. Aristotélēs)
Estagira, 384 a.C. - Atenas, 322 a.C.
Foi um filósofo grego, aluno de Platão e professor
de Alexandre, o Grande.
Seus escritos abrangem diversos assuntos, como a física,
a metafísica, as leis da poesia e do drama, a música, a lógica,
a retórica, o governo, a ética, a biologia e a zoologia.
Juntamente com Platão e Sócrates (professor de Platão),
Aristóteles é visto como um dos fundadores da filosofia
ocidental.
97
CONECTORES LÓGICOS


98
DEFINIÇÃO 1
Seja p uma proposição. A negação de p é indicada por
sentença “não é o caso de p”.
p éa
Exemplo:
Proposição p:
“Hoje é sexta-feira”
A negação é:
“Não é o caso de hoje ser sexta-feira”.
“Hoje não é sexta-feira”.
99
DEFINIÇÃO 2
Sejam p e q proposições.
A conjunção de p e q, indicada por p ^ q, é a proposição p e q.
A preposição p ^ q é verdadeira quando ambas são verdadeiras
e falsa caso contrário.
Exemplo:
Proposição p:
“Hoje é sexta-feira”
Proposição q:
“Hoje está chovendo”
A proposição p ^ q é:
“Hoje não é sexta-feira e hoje está chovendo”.
100
DEFINIÇÃO 3
Sejam p e q proposições.
A disjunção de p e q, indicada por p ∨ q, é a proposição p ou q.
A disjunção p ∨ q é falsa quando ambas são falsas e verdadeira
em qualquer outro caso.
Exemplo:
Proposição p:
“Hoje é sexta-feira”
Proposição q:
“Hoje está chovendo”
A proposição p ∨ q é:
“Hoje é sexta-feira ou hoje está chovendo”.
101
DEFINIÇÃO 4
Sejam p e q proposições.
A disjunção exclusiva (chamada ou exclusivo) de p e q, indicada
por p q, é a proposição que é verdadeira quando exatamente
uma das duas é verdadeira e falsa nos outros dois casos.
p
q
p
q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
102
DEFINIÇÃO 5
Sejam p e q proposições.
A proposição condicional p  q é a proposição “se p, então q”.
P é chamada de hipótese (ou antecedente ou premissa) e q é a
conclusão (ou consequência ou consequente)
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
103
DEFINIÇÃO 5
 Se eu for eleito, então eu vou diminuir os impostos.
 Se você tirar 10 na prova, então terá conceito A.
 Se Maria aprender matemática, então ela vai conseguir
um bom emprego.
 Se hoje está ensolarado, então eu vou à praia.
 Se hoje é sexta-feira, então 2 + 3 = 5.
 Se está chovendo, então o time da casa ganha o jogo.
104
DEFINIÇÃO 6
Sejam p e q proposições.
A proposição bicondicional p
se q”.

q é a proposição “p e somente
Bicondicionais são também chamadas de bi-implicações.
p
q
p  q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
105
DEFINIÇÃO 6
 Você pode tomar o avião, se e somente se você comprou
uma passagem.
 Você pode ir ao cinema, se e somente se você fizer os
deveres da escola.
 João poderá dirigir, se e somente se ele não beber.
 Maria poderá chegar cedo na escola, se e somente o
ônibus não atrasar.
106
CONECTORES LÓGICOS
CONECTIVO
SÍMBOLO
Negação (não)
Conjunção (e)
∨
Disjunção (ou)
∨
Ou Exclusivo
Condicional (implicação)

Equivalência (bi-implicação)

107
Tabela Verdade
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109
110
Bibliografia
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Bibliografia
CRESPO, Antonio Arnot. Matemática Financeira Fácil. 14.ed.. São Paulo:
Saraiva, 2009.
ROSEN, Kenneth H.. Matemática Discreta e Suas Aplicações. 6.ed. São Paulo:
McGraw-Hill, 2010.