Capítulo 5
Equilíbrio de um
corpo rígido
slide 1
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Objetivos deste capítulo
 Desenvolver as equações de equilíbrio para um corpo rígido.
 Introduzir o conceito do diagrama de corpo livre para um corpo
rígido.
 Mostrar como resolver problemas de equilíbrio de corpo rígido
usando as equações de equilíbrio.
slide 2
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Condições de equilíbrio do corpo rígido
Como mostra a Figura, este corpo está sujeito a um sistema externo
de força e momento de binário que é o resultado dos efeitos das
forças gravitacionais, elétricas, magnéticas ou de contato causadas
pelos corpos adjacentes.
slide 3
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Condições de equilíbrio do corpo rígido
O sistema de força e momento de binário que atuam sobre um corpo
podem ser reduzidos a uma força resultante e um momento de
binário resultante equivalentes em qualquer ponto O arbitrário dentro
ou fora do corpo. Se essa força e momento de binário resultantes são
ambos iguais a zero, então dizemos que o corpo está em equilíbrio.
slide 4
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Condições de equilíbrio do corpo rígido
Matematicamente, o equilíbrio de um corpo é expresso como:
Essas duas equações não são apenas necessárias para o equilíbrio;
elas são também suficientes.
slide 5
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Condições de equilíbrio do corpo rígido
Considere a soma dos momentos em relação a algum outro ponto,
como o ponto A na Figura abaixo:
Precisamos de:
slide 6
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Equilíbrio em duas dimensões
Consideraremos o caso em que o sistema de forças que age sobre um
corpo rígido se situa em, ou pode ser projetado para, um único plano
e, além disso, quaisquer momentos de binário atuando sobre o corpo
são direcionados perpendicularmente a esse plano.
Esse tipo de sistema de força e binário é frequentemente referido
como um sistema de forças bidimensional ou coplanar.
slide 7
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Equilíbrio em duas dimensões
Por exemplo,
slide 8
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Diagramas de corpo livre
 O diagrama de corpo livre é um esquema da forma do corpo, que
o representa isolado ou “livre” de seu ambiente, ou seja, um
“corpo livre”.
 Um entendimento completo de como desenhar um diagrama de
corpo livre é de primordial importância para a resolução de
problemas em mecânica.
slide 9
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Reações de apoio
Vamos analisar os vários tipos de reações que ocorrem em apoios e
pontos de contato entre corpos sujeitos a sistemas de forças
coplanares. Como regra geral:
 Se um apoio impede a translação de um corpo em uma determinada
direção, então, uma força é desenvolvida no corpo nessa direção.
 Se a rotação é impedida, um momento de binário é exercido sobre
o corpo.
slide 10
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Reações de apoio
Por exemplo, vamos considerar três maneiras na qual um membro
horizontal, como uma viga, é apoiado na sua extremidade.
 Um método consiste de um rolete ou cilindro. Como esse suporte
apenas impede que a viga translade na direção vertical, o rolete só
exercerá uma força sobre a viga nessa direção.
slide 11
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Reações de apoio
A viga pode ser apoiada de uma forma mais restritiva por meio de um
pino.
slide 12
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Reações de apoio
Aqui, o pino pode impedir a translação da viga em qualquer direção
ϕ e, portanto, o pino deve exercer uma força F sobre a viga nessa
direção.
slide 13
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Reações de apoio
Para fins de análise, geralmente é mais fácil representar essa força
resultante F por suas duas componentes retangulares Fx e Fy.
slide 14
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Reações de apoio
A maneira mais restritiva de apoiar a viga seria usar um apoio fixo.
Esse apoio impedirá tanto a translação quanto a rotação da viga.
slide 15
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Reações de apoio
Para fazer isso, uma força e momento de binário devem ser
desenvolvidos sobre a viga em seu ponto de conexão.
slide 16
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Reações de apoio
Tabela 5.1 Suportes para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças
bidimensionais
slide 17
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Reações de apoio
Tabela 5.1 Suportes para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças
bidimensionais
slide 18
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Reações de apoio
Tabela 5.1 Suportes para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças
bidimensionais
slide 19
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Reações de apoio
Tabela 5.1 Suportes para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças
bidimensionais
slide 20
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Reações de apoio
Tabela 5.1 Suportes para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças
bidimensionais
slide 21
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Reações de apoio
Exemplos comuns de suportes reais são mostrados na seguinte
sequência de fotos:
O cabo exerce uma
força sobre o suporte,
na direção do cabo.
slide 22
O suporte rocker para
esta viga mestra de
ponte permite um
movimento horizontal
de modo que a ponte
esteja livre para se
expandir e contrair
devido às mudanças de
temperatura.
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Reações de apoio
Exemplos comuns de suportes reais são mostrados na seguinte
sequência de fotos:
Esta viga mestra de
concreto está apoiada
sobre a base que deve
agir como uma superfície
de contato lisa.
slide 23
Esta construção
utilitária é
suportada por
pinos no alto da
coluna.
As vigas de solo
desta construção
são soldadas e,
portanto, formam
conexões fixas.
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Forças internas
 As forças internas que atuam entre partículas adjacentes em um
corpo sempre ocorrem em pares colineares de modo que tenham a
mesma intensidade e ajam em direções opostas (terceira lei de
Newton).
 Como essas forças se cancelam mutuamente, elas não criarão um
efeito externo sobre o corpo. É por essa razão que as forças
internas não devem ser incluídas no diagrama de corpo livre se o
corpo inteiro precisa ser considerado.
slide 24
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
O peso e o centro de gravidade
 Quando um corpo está dentro de um campo gravitacional, cada
uma de suas partículas possui um peso específico.
 O sistema de forças pode ser reduzido a uma única força resultante
que age em um ponto específico. Essa força resultante é chamada
de peso W do corpo, e a posição de seu ponto de aplicação, de
centro de gravidade.
slide 25
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Modelos idealizados
 Quando um engenheiro realiza uma análise de força de qualquer
objeto, ele considera um modelo analítico ou idealizado
correspondente que fornece resultados que se aproximam o
máximo possível da situação real.
 Para isso, escolhas cuidadosas precisam ser feitas de modo que a
seleção do tipo de apoio, o comportamento do material e as
dimensões do objeto possam ser justificados.
slide 26
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Modelos idealizados
Os dois casos a seguir ilustram o que é necessário para desenvolver
um modelo adequado.
slide 27
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Procedimentos para análise
 Desenhe a forma esboçada
 Mostre todas as forças e momentos de binário
 Identifique cada carga e dimensões
slide 28
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Pontos importantes
 Nenhum problema de equilíbrio deve ser resolvido sem antes
desenhar o diagrama de corpo livre, a fim de considerar todas as
forças e momentos de binário que atuam sobre o corpo.
 Se um suporte impede a translação de um corpo em uma
determinada direção, então o suporte exerce uma força sobre o
corpo nessa direção.
 Se a rotação é impedida, então o suporte exerce um momento de
binário sobre o corpo.
 Estude a Tabela 5.1.
slide 29
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Pontos importantes
 As forças internas nunca são mostradas no diagrama de corpo
livre, já que elas ocorrem em pares colineares iguais, mas opostos
e, portanto, se cancelam.
 O peso de um corpo é uma força externa e seu efeito é
representado por uma única força resultante que atua sobre o
centro de gravidade G do corpo.
 Momentos de binário podem ser colocados em qualquer lugar no
diagrama de corpo livre, já que são vetores livres. As forças podem
agir em qualquer ponto ao longo de suas linhas de ação, já que são
vetores deslizantes.
slide 30
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Equações de equilíbrio
As condições para o equilíbrio em duas dimensões são:
ΣFx = 0
ΣFy = 0
ΣMO = 0
slide 31
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Conjuntos alternativos de equações de equilíbrio
Dois conjuntos alternativos de três equações de equilíbrio
independentes também podem ser usados. Um desses conjuntos é
ΣFx = 0
ΣMA = 0
ΣMB = 0
slide 32
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Conjuntos alternativos de equações de equilíbrio
Para provar que essas equações oferecem as condições para o
equilíbrio, considere o diagrama de corpo livre da chapa mostrada na
figura abaixo:
slide 33
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Conjuntos alternativos de equações de equilíbrio
Todas as forças no diagrama de corpo livre podem ser substituídas por
uma força resultante equivalente FR = Σ F, atuando no ponto A, e um
momento de binário resultante MRA = ΣMA:
slide 34
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Conjuntos alternativos de equações de equilíbrio
Além disso, para que FR satisfaça ΣFx = 0, ela não pode ter qualquer
componente ao longo do eixo x e, portanto, FR precisa ser paralela ao
eixo y.
slide 35
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Conjuntos alternativos de equações de equilíbrio
Um segundo conjunto alternativo de equações de equilíbrio é:
ΣMA = 0
ΣMB = 0
ΣMC = 0
Aqui é necessário que os pontos A, B e C não estejam na mesma
linha.
slide 36
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Procedimentos para análise
Diagrama de corpo livre
 Estabeleça os eixos coordenados x, y em qualquer orientação
apropriada.
 Desenhe uma forma esquemática do corpo.
 Mostre todas as forças e momentos de binário que atuam sobre o
corpo.
 Rotule todas as cargas e especifique suas direções em relação ao
eixo x ou y. O sentido de uma força ou momento de binário de
intensidade desconhecida mas com uma linha de ação conhecida
pode ser assumido.
 Indique as dimensões do corpo necessárias para calcular os
momentos das forças.
slide 37
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Procedimentos para análise
Equações de equilíbrio
 Aplique a equação de equilíbrio de momento em relação a um
ponto (O) localizado na interseção das linhas de ação das duas
forças desconhecidas. Assim, os momentos dessas incógnitas são
iguais a zero em relação a O, e uma solução direta para a terceira
incógnita pode ser determinada.
 Ao aplicar as equações de equilíbrio de força, oriente os eixos x e y
ao longo das linhas que fornecerão a decomposição mais simples
das forças em suas componentes x e y.
slide 38
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Procedimentos para análise
Equações de equilíbrio
 Se a solução das equações de equilíbrio produzir um escalar
negativo para uma intensidade de força ou momento de binário,
isso indica que o sentido é oposto ao que foi presumido no
diagrama de corpo livre.
slide 39
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Membros de duas e três forças
 Membros de duas forças
Um membro de duas forças possui forças aplicadas em apenas dois de
seus pontos.
slide 40
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Membros de duas e três forças
 Membros de duas forças
Para que qualquer membro de duas forças esteja em equilíbrio, as
duas forças agindo sobre o membro precisam ter a mesma
intensidade, agir em direções opostas e ter a mesma linha de ação
direcionada ao longo da linha que une os dois pontos onde essas
forças atuam.
slide 41
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Membros de duas e três forças
 Membros de três forças
O equilíbrio de momentos pode ser satisfeito apenas se as três forças
formarem um sistema de forças concorrentes ou paralelas.
slide 42
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Equilíbrio em três dimensões
Diagramas de corpo livre
Reações de apoio
As forças reativas e os momentos de binário que atuam em vários
tipos de suportes e conexões quando os membros são vistos em três
dimensões são relacionados na tabela a seguir.
slide 43
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Reações de apoio
Tabela 5.2 Suportes para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças
tridimensionais
slide 44
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Reações de apoio
Tabela 5.2 Suportes para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças
tridimensionais
slide 45
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Reações de apoio
Tabela 5.2 Suportes para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças
tridimensionais
slide 46
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Reações de apoio
Tabela 5.2 Suportes para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças
tridimensionais
slide 47
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Reações de apoio
Tabela 5.2 Suportes para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças
tridimensionais
slide 48
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Reações de apoio
É importante reconhecer os símbolos usados para representar cada
um desses suportes e entender claramente como as forças e os
momentos de binário são desenvolvidos. Como no caso
bidimensional:
 Uma força é desenvolvida por um suporte que limite a translação
de seu membro conectado.
 Um momento de binário é desenvolvido quando a rotação do
membro conectado é impedida.
slide 49
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Diagramas de corpo livre
O procedimento geral para estabelecer o diagrama de corpo livre
requer primeiro ‘isolar’ o corpo desenhando um esboço de sua forma.
Isso é seguido de uma cuidadosa rotulação de todas as forças e todos
os momentos de binário com relação a um sistema de coordenadas x,
y, z estabelecido.
É recomendável que as componentes de reação desconhecidas que
atuam no diagrama de corpo livre sejam mostradas no sentido
positivo.
slide 50
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Equações de equilíbrio
As condições de equilíbrio de um corpo rígido sujeito a um sistema
de forças tridimensional exigem que a força e o momento de binário
resultantes que atuam sobre o corpo sejam zero.
Equações de equilíbrio vetoriais
As duas condições para o equilíbrio de um corpo rígido podem ser
expressas
matematicamente na forma vetorial como:
ΣF = 0
ΣMO = 0
slide 51
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Equações de equilíbrio escalares
Se todas as forças externas e momentos de binário forem expressos na
forma de vetor cartesiano e substituídas nas equações apresentadas
anteriormente, temos:
ΣF = ΣFxi + ΣFyj + ΣFzk = 0
ΣMO = ΣMxi + ΣMyj + ΣMzk = 0
slide 52
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Equações de equilíbrio escalares
Como as componentes i, j e k são independentes, as equações
anteriores são satisfeitas desde que
ΣFx = 0
ΣFy = 0
ΣFz = 0
e
ΣMx = 0
ΣMy = 0
ΣMz = 0
slide 53
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Restrições e determinação estática
Para garantir o equilíbrio de um corpo rígido, é necessário não apenas
satisfazer as equações de equilíbrio, mas também o corpo precisa estar
adequadamente fixo ou restrito por seus suportes.
Restrições redundantes
Quando um corpo possui suportes redundantes, ou seja, mais suportes
do que o necessário para mantê-lo em equilíbrio, ele se torna
estaticamente indeterminado.
slide 54
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Restrições e determinação estática
Por exemplo:
slide 55
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Restrições impróprias
Ter o mesmo número de forças reativas desconhecidas que equações
de equilíbrio disponíveis nem sempre garante que um corpo será
estável quando sujeito a uma determinada carga. Por exemplo,
slide 56
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Restrições impróprias
Em três dimensões, um corpo estará incorretamente restrito se as
linhas de ação de todas as forças reativas interceptarem um eixo
comum. Por exemplo,
slide 57
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Restrições impróprias
Outra maneira em que a restrição imprópria leva à instabilidade
ocorre quando as forças reativas são todas paralelas. Exemplos bi e
tridimensionais disso:
slide 58
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Restrições impróprias
Em alguns casos, um corpo pode ter menos forças reativas do que
equações de equilíbrio que precisem ser satisfeitas. O corpo, então, se
torna apenas parcialmente restrito. Por exemplo,
slide 59
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Pontos importantes
 Sempre desenhe o diagrama de corpo livre primeiro quando
resolver qualquer problema de equilíbrio.
 Se um suporte impede a translação de um corpo em uma direção
específica, então o suporte exerce uma força sobre o corpo nessa
direção.
 Se um suporte impede a rotação em relação a um eixo, então o
suporte exerce um momento de binário sobre o corpo em relação a
esse eixo.
slide 60
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Pontos importantes
 Se um corpo está sujeito a mais reações desconhecidas do que
equações de equilíbrio disponíveis, então o problema é
estaticamente indeterminado.
 Um corpo estável exige que as linhas de ação das forças reativas
não interceptem um eixo comum e não sejam paralelas.
slide 61
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Procedimentos para análise
Diagrama de corpo livre
 Desenhe um esboço da forma do corpo.
 Mostre todas as forças e momentos de binário que atuam sobre o
corpo.
 Estabeleça a origem dos eixos x, y, z em um ponto conveniente e
oriente os eixos de modo que sejam paralelos ao máximo possível
de forças e momentos externos.
slide 62
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Procedimentos para análise
Diagrama de corpo livre
 Rotule todas as cargas e especifique suas direções. Em geral,
mostre todas as componentes desconhecidas que possuem um
sentido positivo ao longo dos eixos x, y, z.
 Indique as dimensões do corpo necessárias para calcular os
momentos das forças.
slide 63
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Procedimentos para análise
Equações de equilíbrio
 Se as componentes de força e momento x, y, z parecem fáceis de
determinar, aplique as seis equações de equilíbrio escalares; caso
contrário, use as equações vetoriais.
 Não é necessário que o conjunto de eixos escolhido para a soma de
forças coincida com o conjunto de eixos escolhido para a soma de
momentos.
 Na verdade, pode-se escolher um eixo em qualquer direção
arbitrária para somar forças e momentos.
slide 64
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Procedimentos para análise
Equações de equilíbrio
 Para a soma de momentos, escolha a direção de um eixo de modo
que este intercepte as linhas de ação do maior número possível de
forças conhecidas.
 Perceba que os momentos de forças passando por pontos nesse
eixo e os momentos de forças que são paralelas ao eixo serão zero.
 Se a solução das equações de equilíbrio produz um escalar
negativo a uma intensidade de força ou momento de binário, então
o sentido é oposto ao considerado no diagrama de corpo livre.
slide 65
© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.