Sinais e Sistemas 1. Definição 2. Classificação de Sinais 3. Operações Básicas em Sinais 4. Sinais Elementares 5. Propriedades dos Sistemas Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas 1. Definição Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas 2. Classificação de Sinais Sinais unidimensionais de valor único, ou seja há apenas um único valor da função para um único valor de tempo. O valor poderá ser real ou complexo. O tempo possui valor real. Pode-se identificar cinco métodos de classificação de sinais baseados em diferentes recursos. Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas 2. Classificação de Sinais a) Sinais de Tempo Contínuo e Discreto a1 Sinal de Tempo Contínuo É o sinal x(t) cujo a variável independente (t) faz parte do conjunto R. a2Sinal de Tempo Discreto É o sinal x[n] cujo a variável independente (n) faz parte do conjunto Z. n= ..-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,.... t=nT portanto x[n]=x(nT ) Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas a) Sinais de Tempo Contínuo e Discreto 2. Classificação de Sinais Contínuo Discreto Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas 2. Classificação de Sinais b) Sinais Pares e Impares b1 Sinal Par Sendo x(t) um sinal contínuo no tempo, pode-se dizer que x(t) é par quando: x(-t)=x(t) Ou seja, quando x(t) é simétrico em relação à ordenada (eixo vertical). Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas 2. Classificação de Sinais b) Sinais Pares e Impares b2 Sinal Impar Sendo x(t) um sinal contínuo no tempo, pode-se dizer que x(t) é impar quando: x(-t)=-x(t) Ou seja, quando x(t) é antissimétrico em relação à ordenada (eixo vertical). Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas 2. Classificação de Sinais b) Sinais Pares e Impares Um sinal x(t) pode ser descrito pela soma de duas componentes: xp(t) – par e xi(t) impar Lembrando: xp(-t)=xp(t) e xi(-t)=-xi(t) Portanto: Sinais e Sistemas x(t)=xp(t)+xi(t) x(-t)=xp(t)-xi(t) André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas 2. Classificação de Sinais b) Sinais Pares e Impares A partir das duas expressões pode-se definir os sinais pares e impares com base em x(t) e x(-t). Fazendo-se: x(t)+x(-t) Obtém-se: 1 x p (t ) x(t ) x(t ) 2 Fazendo-se: x(t)-x(-t) Obtém-se: 1 xi (t ) x(t ) x(t ) 2 Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas 2. Classificação de Sinais b) Sinais Pares e Impares Exercício: Considere xp(t)=cos(x) e xi(t)=sen(x). Monte as equações x(t) e x(-t) correspondente às componentes par e impar do sinal e prove que xp(t)=cos(x) e xi(t)=sen(x) utilizando o procedimento do parágrafo anterior. Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas 2. Classificação de Sinais b) Sinais Pares e Impares No caso em que x(t) seja complexo, ou seja: Real x(t)=a(t)+jb(t) Imaginário j 1 Se: x(-t)=x*(t) então x(t) é conjugado simétrico. x*(t)=a(t)-jb(t) Comparando-se, verifica- a(t) é par se que x(t) é conjugado b(t) é impar simétrico se: Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas 2. Classificação de Sinais c) Sinais Periódicos e não periódicos São sinais que se repetem de tempos em x(t) tempos. 0 1 2 t Período: duração de um ciclo completo O valor do sinal se repete para múltiplos de T0 x(t)=x(t+T) para todo t T T=T0, 2T0, 3T0 ....... Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas 2. Classificação de Sinais c) Sinais Periódicos e não periódicos O recíproco do período é a frequência que corresponde à número de ciclos da onda em um determinado ponto do espaço em um segundo: 1 f T [f]=s-1=Hz Há também a frequência angular: 2 T Sinais e Sistemas []=rad/s André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas 2. Classificação de Sinais c) Sinais Periódicos e não periódicos Para o caso dos sinais discretos: x[n]=x[n+N] para todos os números inteiros n É inteiro positivo 2 N []=rad N=25 Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas c) Sinais Periódicos e não periódicos 2. Classificação de Sinais O sinal não periódico não se repete em períodos pré determinados. (aperiódicos) Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas 2. Classificação de Sinais c) Sinais Determinísticos e Sinais Aleatórios Determinísticos: Podem ser modelados como função do tempo completamente especificados. Aleatórios: Há incerteza da ocorrência real. Exemplo: Ruído, Eletroencefalograma, etc. Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas 2. Classificação de Sinais c) Sinais de Energia e Sinais de Potência São sinais relacionados à sistemas elétricos. Considerando-se a corrente e a tensão em um resistor R. Tensão v(t) Corrente i(t) A potência pode ser definida como: v 2 (t ) P(t ) R P(t ) Ri (t ) 2 A potência é proporcional à amplitude elevada ao quadrado. Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas 2. Classificação de Sinais c) Sinais de Energia e Sinais de Potência Considerando: R= 1 ohm x(t) pode expressar v(t) ou i(t) P(t ) x (t ) 2 A energia total, no tempo contínuo é definida como: E lim T T /2 T / 2 2 x (t )dt A Potência média: T /2 E 1 2 P lim x (t )dt T T T T / 2 2 x (t )dt Para um sinal periódico: T /2 1 2 P x (t )dt T T / 2 A raiz quadrada da potência é o valor quadrático médio do sinal x(t) (RMS – root-mean-square) Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas 2. Classificação de Sinais c) Sinais de Energia e Sinais de Potência Para sinais discretos: x[n] Energia: E lim T T /2 T / 2 2 x (t )dt 1 Potência Média: P lim N 2 N Potência Média do sinal periódico x[n] com período N : 2 x (t )dt N 2 x [n] n N 1 P N N 1 2 x [ n] n 0 Um sinal é chamado de sinal de energia: Por outro lado, ele é chamado de sinal de potência: Sinais e Sistemas 0E 0P André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas c) Sinais de Energia e Sinais de Potência 2. Classificação de Sinais A classificação dos sinais de energia e potência são mutuamente exclusivas; • Um sinal de Energia tem potência média zero • Sinais não periódicos • Sinais determinísticos • Um sinal de Potência tem energia infinita • Sinais periódicos • Sinais aleatórios Exercícios Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas 3. Operações Básicas em Sinais Constitui uma questão fundamental por se tratar da manipulação do sinal pelo sistema. Há duas classes de operações: Sinais e Sistemas • Operações realizadas dependente na variável • Operações realizadas independente na variável André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas 3. Operações Básicas em Sinais • Operações realizadas na variável dependente a) Mudança de escala de amplitude: x(t) – sinal de tempo contínuo y(t) – mudança de amplitude y(t) = C x(t) y[n]=C y[n] C é o fator de escala Exemplo: Amplificador. Para sinal de corrente RLC. y(t) é a tensão de saída. x(t) 2 C=2 1 -1 Sinais e Sistemas y(t) 1 t -1 1 t André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas 3. Operações Básicas em Sinais •Operações realizadas na variável dependente b) Adição x1(t) e x2(t) – são sinais de tempo contínuo y(t) = x1(t)+x2(t) y[n]=x1[n]+x2[n] Exemplo: Misturador de Audio: Música + Voz. Exemplo: x1(t) x2(t) 1 1 -1 y(t) 2 t -1 1 t y(t) = x1(t)+x2(t) -1 Sinais e Sistemas 1 t André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas 3. Operações Básicas em Sinais •Operações realizadas na variável dependente c) Multiplicação x1(t) e x2(t) – são sinais de tempo contínuo y(t) = x1(t).x2(t) y[n]=x1[n].x2[n] Exemplo: Sinal de rádio AM x1(t) sinal de corrente contínua (cc) x2(t) sinal senoidal. Onda portadora Exemplo: x1(t) x2(t) 1 1 -1 y(t) t -1 1 t 1 y(t) = x1(t).x2(t) -1 Sinais e Sistemas 1 t André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas •Operações realizadas na variável dependente 3. Operações Básicas em Sinais d) Diferenciação x(t) - sinal de tempo contínuo d y (t ) x(t ) dt Exemplo: O indutor realiza diferenciação: d v (t ) L i (t ) dt Indutor com v(t) nos seus terminais induzindo corrente i(t) e) integração x(t) - sinal de tempo contínuo t y(t ) Exemplo: O capacitor realiza Integração: t 1 v(t ) i( )d C Sinais e Sistemas x( )d Capacitor com corrente i(t) induzindo tensão v(t) em seus terminais. André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas 3. Operações Básicas em Sinais • Operações realizadas na variável independente a) Mudança de escala de tempo x(t) - sinal de tempo contínuo y(t)=x(at) Compressão Caso discreto: Y[n]=x[kn] estenção k>0 e só inteiro Neste caso alguns valores do sinal de tempo são perdidos Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas •Operações realizadas na variável independente 3. Operações Básicas em Sinais b) Reflexão x(t) - sinal de tempo contínuo y(t)=x(-t) Reflexão de x em relação ao eixo da amplitude Para sinais pares obviamente não há mudanças Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas 3. Operações Básicas em Sinais •Operações realizadas na variável independente c) Deslocamento no tempo x(t) - sinal de tempo contínuo y(t)=x(t-t0) x(t) t0=1 1 -1 y(t)=x(t-1) 1 1 t y(t)=x(t+1) t0=-1 -1 1 1 2 t -2 -1 t Para o caso do sinal discreto: Y[n]=x[n-m] m é inteiro positivo ou negativo Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas •Operações realizadas na variável independente 3. Operações Básicas em Sinais Regra de precedência para deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo y(t) – sinal de tempo contínuo derivado de outro sinal de tempo contínuo x(t) y (0) x(b) y (t ) x(at b) b y x(0) a Obtenção de y(t) deve respeitar a ordem: 1. Deslocamento no tempo: t→t-b 2. Mudança da escala de tempo: t→at Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas •Operações realizadas na variável independente 3. Operações Básicas em Sinais 1. Deslocamento no tempo: t→t-b Sinal intermediário: v(t)=x(t-b) 2. Mudança da escala de tempo: t→at Sinal de saída: y(t)=v(at)=x(at-b) Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas •Operações realizadas na variável independente 3. Operações Básicas em Sinais Exemplo: Considere o pulso retangular x(y) de amplitude unitária e duração 2 unidades de tempo descrito na figura abaixo. Encontre y(t)=(2t+3). Ordem correta: Ordem incorreta: Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br
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