Curso de Nivelamento
Equações do 1º e 2º grau
Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo
Recife
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Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo
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Apelido: Alexandre Cordel
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E-mail/gtalk: [email protected]
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Site: http://www.alexandrecordel.com.br/fbv
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Celular: (81) 9801-1878
O que são equações?
Em matemática, uma equação é uma sentença
aberta, ou seja, uma sentença que apresenta letras,
expressa por uma igualdade envolvendo expressões
matemáticas. Estas possuem 2 membros, o 1º está à
esquerda da igualdade e o 2º está à direita. No caso,
estamos tratando de equações de 1º grau, por isso o
expoente da variável é sempre dada por 1.
Ex: x + 7 = 16
1º MEMBRO
2º MEMBRO
Raízes de uma equação
A raiz de uma equação é o valor que a torna
verdadeira, ou seja, que ao substituí-la podemos
encontrar o mesmo resultado.
Ex: Seu João foi comprar x laranjas e 3x tomates. Se x é
igual a 2, quantas laranjas e tomates Seu João
comprou ?
x + 3x = 2 + 3.2 = 8
R= Ele comprou 2 laranjas e 6 tomates.
EQUAÇÃO: é uma igualdade entre duas expressões
onde, pelo menos numa delas, figura
uma ou mais letras .
3x+5=2-x+4
Sou equação
3+(5-2-4) = 3+1
Não sou equação
3
x  2  3 x  4  x
2
• termos: 3 x ; -2 ; 3x ; - 4 ; - x
1º membro
• termos com incógnita: 3x ; - x ; x
2º membro
2
• incógnita: x
• termos independentes: -2 ; -4
3
2
Solução de uma equação: é um número que colocado no
lugar da incógnita transforma
a equação numa igualdade
numérica verdadeira
3x  18
SOLUÇÃO
6
3  6  18 proposiçãoverdadeira
x  7  12
5
SOLUÇÃO
20  x  15
5
Mesmo conjunto solução
Equações equivalentes:
SOLUÇÃO
x  7  12  20  x  15
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES
DO 1º GRAU
Equações sem parênteses e sem denominadores
5 x  6  3x  4
5 x

 3x   6  4 

2x  10


2 x 10

2
2


x5
•Resolver uma equação é
determinar a sua solução.
•Numa equação podemos
mudar termos de um membro
para o outro, desde que lhes
troquemos o sinal
•Num dos membros ficam os
termos com incógnita e no
outro os termos independentes
•efetuamos as operações.
•Dividimos ambos os membros
pelo coeficiente da incógnita.
 
Conjunto solução 5
•Determinamos a solução.
EQUAÇÕES E A IDEIA DA BALANÇA
Imagine que alguém colocou quatro objetos iguais em um
dos pratos da balança e dois pesinhos (que você sabe quanto
pesam!). Se os pratos ficarem equilibrados, quer dizer que os
objetos de um lado têm a mesma massa das do outro.
Como você não sabe quanto pesam os cubinhos,
você vai dizer que eles pesam "x":
Se for colocado um objeto x de cada lado, a balança
continua em equilíbrio, já que é a mesma massa que
foi adicionada a cada lado.
Agora imagine outra situação. Em uma dessas balanças de
pratinho, você tem, de um lado, 5 pesinhos de valor
desconhecido e um pesinho de 31 gramas. Do outro, um pesinho
de 86 gramas. E os dois lados estão em equilíbrio. Quanto pesará,
então, cada um dos pesinhos?
Podemos começar retirando 31 gramas de cada lado da
balança. De um lado, você terá apenas os pesinhos de massa x
gramas. Do outro, 86 - 31 gramas.
Como você tem 5 pesinhos, e quer saber quanto pesaria um
deles sozinho, divida, os dois lados, por 5 .
Sua equação está resolvida!
EQUAÇÕES COM PARÊNTESES
• simplificação de expressões com parênteses:
•Sinal menos antes dos parênteses: Tiramos os parênteses
trocando os sinais dos
 2 x  2  3x  5   2 x  2  3x  5 termos que estão dentro
•Sinal mais antes dos parênteses: Tiramos os parênteses
mantendo os sinais que
  3x  2  5x  1  3x  2  5x  1 estão dentro.
•Número antes dos parênteses: Tiramos os parênteses,
aplicando a propriedade
distributiva.
 2 3x  3  x  1  6 x  6  2 x  2
Como resolver uma equação com parênteses.
  2 x  1  35x  2  6   x  8 
 2x 115x  6  6  x  8 
 2x 15x  x  1 6  6  8 
 12x  3

•Eliminar
parênteses.
•Agrupar os
termos com
incógnita.
•Efetuar as
operações

12
x

3



 12  12
•Dividir ambos os membros
pelo coeficiente da incógnita
1
 x
4
•Determinar a solução, de
forma simplificada.
1 
C.S =  
4
EQUAÇÕES COM DENOMINADORES
1
2x
3 x



2 6  4 3
3 4 

6 6 x 12  4 x
 

12 12
12
 6  6x
12  4 x

12
12




 6  6x  12 4x 
 6x  4x  6 12 
 2x  18 
18
 x
9
2
•Redui-se todos os termos ao
mesmo denominador.
•Duas frações com o mesmo
denominador são iguais se os
numeradores forem iguais.
•Podemos tirar os
denominadores desde que sejam
todos iguais.
Sinal menos antes de uma fração
 3x  2  5 x  3

2
•O sinal menos que se encontra antes da fração
afeta todos os termos do numerador.
Esta fração pode
ser apresentada
da seguinte forma
3x 2 5 x 3
 

2 2 2 2
1  2x
1 x

 8
3
2
1  2x
1
x

 8 

3(2) 1 2
2
(6) (3)
(3)
•Começamos por “desdobrar”
a fração que tem o sinal menos
antes.(atenção aos sinais!)
•Reduzimos ao mesmo
denominador e eliminamos os
denominadores.
 2  4 x  48  3  3x 
  4 x  3x  2  48  3 
43
43
x
  7 x  43  x 
7
7
EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES
•Devemos começar por eliminar os parênteses e
depois os denominadores
2x  1
 x 1  x
 3
  
3
 2  2

3x 3 x
2x 1 
   
2(3) 2(3) 2(3) 3(2) 3(2)
 9x  9  3x  4x  2  9x  3x  4x  9  2 
 2x  11 
11
x

2
11
11
C.S.=  
x
2
2
Dizemos que uma equação do 1º
grau está na forma canónica se
está escrita na forma
ax  b  0
onde, a  0
com a e b  IR.
Para as atividades que se seguem imaginem uma balança de
dois braço em equilíbrio!
1) Qual é o peso do cachorro?
2) Desenvolva a Equação.
9kg
x + 16 = 25
3) Os dois sacos tem pesos iguais.
Quanto pesa cada saco?
4) Desenvolva a Equação.
6kg
2x = 12
5) As 3 caixas possuem o mesmo
peso. Qual o peso de cada caixa?
6) Desenvolva a Equação.
6kg
3x = 18
7) Qual o peso do coelho?
8) Desenvolva a Equação.
2kg
x+1+1+1=1+1+1+1+1
x+3=5
9) As bolsas são iguais. Qual o peso de
cada uma?
10) Desenvolva a Equação.
2x = x + 3 + 2
5kg
2x = x + 5
Os processos da álgebra levados para a vida moderna são decisivos
muitas vezes, para resumir experiências realizadas ou desenvolver
roteiros que nos levam até a entender mistérios da natureza.
Tente responder as questões abaixo:
1) Queremos cortar um pedaço 2) Agora se quer cortar um pedaço
de barbante de 30 cm de de barbante, também com 30 cm de
comprimento em duas partes comprimento, em duas partes de
não necessariamente iguais. forma que uma dessas partes meça o
Quanto deverá medir cada dobro da outra. Quanto deverá
parte?
medir cada parte?
3) O que se deseja é dividir um
pedaço de barbante de 35 cm de
comprimento em quatro partes de
modo que uma dessas parte seja igual
ao triplo de uma das outras três,
quanto deverá medir cada parte?
4) Ache um número que:
a) adicionado ao seu triplo
resulte 20.
b) somado com o
quadrado resulte 30.
seu
Problema
...
A minha infância durou 1/6 de minha vida, a barba
surgiu após 1 /12 depois de outro 1/7 de minha vida,
casei-me. 5 anos depois nasceu meu filho, que viveu
somente a metade de minha idade. Morri 4 anos
após a morte do meu filho....
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Dizemos que uma equação do 2º
grau está na forma canónica se
está escrita na forma
2
ax  bx  c  0
onde, a  0
com a, b e c  IR.
EQUAÇÃO DO 2º GRAU COM UMA INCÓGNITA
1) DEFINIÇÃO

Chama-se de equação do 2º grau com uma incógnita, toda
equação que assume a forma:
ax² + bx + c = 0.
Onde:

x é a incógnita.

a, b e c são números reais, com a ≠ 0.

a é coeficiente do termo em x².

b é coeficiente do termo em x.

c é o coeficiente do termo independente de x.
Exemplos:
a) 3x² + 4x + 1 = 0
a=3
b=4
b) p² - 5p + 6 = 0
a=1
c)
d)
b = -5
c=1
(Equação completa)
(incógnita p)
c=6
(Equação completa)
-5t² + 7t – 2 = 0
(incógnita t)
a = -5
c = -2
b=7
(Equação completa)
2y² - 10y = 0
(incógnita y)
a=2
c=0
b = -10
e) 4z² - 100 = 0
a=4
f)
(incógnita x)
b=0
7m² = 0
a=7
(Equação incompleta)
(incógnita z)
c = -100 (Equação incompleta)
(incógnita m)
b=0
c=0
(Equação incompleta)
FORMA NORMAL OU REDUZIDA DA EQUAÇÃO
DO 2º GRAU
•
•
Uma equação do 2º grau, com uma incógnita, está na
forma normal ou reduzida quando assume a forma geral
ax² + bx + c = 0,
com a ≠ 0.
Exemplos:
a)
x² - 7x + 10 = 0
b)
y² - 81 = 0
c)
-2t² + 5t – 2 = 0
d)
-6m² + m = 0
FORMA NORMAL OU REDUZIDA DA EQUAÇÃO
DO 2º GRAU
•
a)
Vejamos alguns exemplos de equações do 2º grau, com uma
incógnita, que serão representadas na forma reduzida aplicando os
princípios aditivo e multiplicativo das equações.
x² - 16 = 48
x² - 16 – 48 = 0
- Aplicando o princípio aditivo.
x² - 64 = 0
- Forma reduzida.
b) y² + 2y = 3y + 1
y² + 2y – 3y – 1 = 0
- Aplicando o princípio aditivo.
y² - y – 1 = 0
- Reduzindo os termos semelhantes.
y² - y – 1 = 0
- Forma reduzida.
FORMA NORMAL OU REDUZIDA DA EQUAÇÃO
DO 2º GRAU
c)
(3m + 1)² = 7 – (m + 8)(m – 3)
9m² + 6m + 1 = 7 – m² - 5m + 24
- Eliminando os parênteses.
9m² + m² + 6m + 5m + 1 – 7 – 24 = 0
- Aplicando o princípio aditivo.
10m² + 11m – 30 = 0
d)
x
1
2
+ =
x- 4 2
x
2 x.x + x.( x - 4) 2.2( x - 4)
=
2 x ( x - 4)
2 x( x - 4)
2 x ² + x ² - 4 x = 4 x - 16
2 x ² + x ² - 4 x - 4 x + 16 = 0
3 x ² - 8 x + 16 = 0
- Forma reduzida.
- Reduzindo ao mesmo denominador.
- Aplicando o princípio aditivo.
- Forma reduzida.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU
1º CASO:
a)
Equação do tipo ax² + bx = 0.
O quadrado de um número real positivo é igual ao seu quíntuplo. Determine esse número.
RESOLUÇÃO

Representando o número procurado por x obtemos a equação:
x² = 5x

x² - 5x = 0
- Forma reduzida.
x.(x – 5) = 0
- Fator comum em evidência.
Para que o produto entre dois números reais seja igual a zero um desses dois números precisa
ser zero. Logo:
x=0
- Uma raiz da equação.
ou
x–5=0


x=5
- Outra raiz da equação.
As raízes da equação são 0 e 5.
Resposta: Como o problema nos pede um número real positivo, concluímos que o número
procurado é o 5.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU
b) Determine os números reais que satisfazem a equação: 3m² - 21m = 0.
RESOLUÇÃO
3m² - 21m = 0
m.(3m – 21) = 0
- Fator comum em evidência.
m=0
- Uma raiz da equação.
ou
3m – 21= 0
m=7
- Outra raiz da equação.
As raízes da equação são 0 e 7.
Resposta: Os números procurados são 0 e 7.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU
2º CASO:
Equação do tipo ax² + c = 0.
a) Do quadrado de um número real subtraí 2 e obtive 34. Qual é esse número?
RESOLUÇÃO
Representando o número procurado por x, obtemos a equação:
x² - 2 = 34
x² - 2 – 34 = 0
x² - 36 = 0
x² = 36
x = + 36 = +6 , pois (+ 36)² = 36
x = - 36 = - 6 , pois (- 36)² = 36
x=±6
As raízes da equação são -6 e 6.
Resposta: O número real procurado é -6 ou 6.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU
b) Quais os valores reais de x que satisfazem a proporção:
x
3
=
15
x
RESOLUÇÃO
x² = 45
- Propriedade fundamental das proporções.
x = - 45
ou
x = + 45
x=-3 5
ou
x = +3 5
x = ±3 5
As raízes da equação são - 3 5 e
+3 5
RESPOSTA: Os valores de x procurados são - 3 5 e + 3 5 .
?
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º
GRAU
c) Existem números reais que satisfazem a equação m² + 9 = 0 ?
RESOLUÇÃO
m² + 9 = 0
m² = - 9
m = - - 9 ou
m=+ - 9
Temos que: - 9 não representa um número real.
RESPOSTA: Não existem números reais que satisfaçam tal
equação.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º
GRAU

Seja a equação do 2º grau na forma normal:
ax² + bx + c = 0, com a≠0.

Para determinarmos as raízes dessa equação, caso existam,
utilizaremos a fórmula resolutiva de Bhaskara:
x

b 
b²  4.a.c
2.a
Onde: b² - 4.a.c , é chamado de discriminante da equação e
representado pela letra grega delta (  ). Assim:
x 
b 

2.a
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º
GRAU

Se   0 (positivo), a equação do 2º grau terá duas raízes reais
e diferentes : x’ ≠ x”.

Se   0 (nulo), a equação terá duas raízes reais e iguais: x’ = x”.

Se   0 (negativo) , a equação não terá raízes reais:
x" e x'
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º
GRAU
a)
Determine as raízes reais da equação: x² - 5x + 4 = 0.
-
Temos que: a=1, b=-5 e c=4.
-
Calculando o discriminante da equação, obtemos:
  b²  4.a.c  ( 5)²  4.1.4  25  16
9
-
Substituindo os valores na fórmula resolutiva de Bhaskara:
b 

( 5) 

2.a
2.1
53
8


 4
2
2
53
2


1
2
2
x 
x1
x2
9

53
2
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º
GRAU
b) Determine as raízes reais da equação: 3p² + 6p + 3 = 0.
-
Calculando o discriminante, obtemos:
  6²  4.3.3  36  36
0
-
Utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara:
6 
0
6  0

2.3
6
6

 1
6
6

 1
6
p 
p1
p2
-
A equação tem raízes reais e iguais. A raiz é -1.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º
GRAU
c) Determine as raízes reais da equação: 4y² - 2y + 1 = 0.
-
Calculando o discriminante da equação:
  ( 2)²  4.4.1  4  16
  12
-
Aplicando na fórmula de Bhaskara, obtemos:
y
-
-
( 2)  12
2.4
Observe que no Conjunto dos Números Reais não existe raiz de
índice par de radicando negativo.
Logo, a equação não tem raízes reais.
SITUAÇÃO 01
A Professora de Artes quer um painel retangular para a exposição educativa. Ela quer um painel
que tenha 600 cm² de área. Mas, ela quer o painel com 10 cm a mais no comprimento do que na
largura.
RESOLUÇÃO
•
Se representarmos por X a medida da largura da página, seu comprimento será representado por (X +
10).
X
X + 10
•
Sabemos que para determinarmos a área de um retangular devemos multiplicar o comprimento pela
largura:
(X + 10) . X
•
Como a área tem que ser igual a 600, obtemos:
(X + 10) . X = 600
•
Desenvolvendo o produto, no 1º membro:
X² + 10X = 600
•
A equação X² + 10X = 600, é chamada de equação do 2º grau na variável X.
SITUAÇÃO 02
O número de diagonais de um polígono pode ser calculado pela fórmula matemática d =
n( n - 3)
,
2
em que d representa o número de diagonais e n representa o número de lados. Determine a equação
que representa a quantidade de lados desse polígono, sabendo que o número de diagonais é igual ao
número de lados.
RESOLUÇÃO

Se o número de diagonais (d) é igual ao número de lados (n), podemos escrever:

Substituindo na fórmula, podemos escrever a equação:
n=
n( n - 3)
n ² - 3n
=
2
2
n ² - 3n
2
2n = n ² - 3n
n=

A equação 2n = n² - 3n é chamada de equação do 2º grau na variável n.
d = n .
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Equações do 1º e 2º grau
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