LOM3090 – Mecânica dos Sólidos Aplicada
Prof. Dr. João Paulo Pascon
DEMAR / EEL / USP
Aula passada
• 5.1. Estado de Tensão em um Sólido Contínuo
• 5.2. Relações Deformação-Deslocamento
• 5.3. Equações Diferenciais de Equilíbrio
Aula de hoje
• 5. Introdução à Teoria da Elasticidade
– 5.1. Estado de Tensão em um Sólido Contínuo
– 5.2. Relações Deformação-Deslocamento
– 5.3. Equações Diferenciais de Equilíbrio
– 5.4. Princípio de Saint-Venant
– 5.5. Problemas Bidimensionais
– 5.6. Equação de Compatibilidade
– 5.7. Relações Básicas em Coordenadas Polares
– 5.8. Tubos de Parede Grossa
– 5.9. Aplicação de Métodos Numéricos na Elasticidade
– 5.10. Resolução de Problemas pelo MEF
Exemplo 5.3. Equilíbrio diferencial
• Verificar as equações de equilíbrio diferencial para os casos abaixo.
Exemplo 5.4. Equilíbrio diferencial
• Resolver, por equilíbrio diferencial, o problema da barra sob peso
próprio (densidade ρ, em kg/m³).
• Dados:
– coordenadas planas
– espessura unitária
– face y = L restrita
 x , y  
2

/ c  x  c , 0  y  L
Exemplo 5.5. Elasticidade Plana (EPT)
• A partir das expressões da teoria elementar, determinar o campo de
deslocamentos planos para uma viga em balanço sob carga na extremidade
x 
My
I
y  0
 xy 
VSz
bI
x 
u 1

 x   y
x E


y 
v 1

 y  x
y E

 xy 

xy
G

2 1   
u v
xy 

E
y x
* Linha elástica
3
Px
dv Px 2
d2 v
M
Px



 c1  v  x  

 c1x  c2
2
EI
dx 2EI
EI
6EI
dx
dv
P 3 PL2
PL3
v  L 
x 
x
 L  0  v  x  
dx
6EI
2EI
3EI
3
PL3  x 
x 
vx 
   3    2 
6EI  L 
 L  
2

dv PL2   x 
x 

 3    3
dx 6EI   L 

5.4. Princípio de Saint-Venant
• Soluções da teoria da elasticidade
– Barra sob normal
– Torção de eixos
– Viga sob flexão pura
– Viga sob cortante
• Hipótese de St. Venant (1855)
5.5. Problemas Bidimensionais
• Função de tensão (função de Airy)
x xy

 bx  0
x
y
0  x , y  a0
• Equilíbrio
xy
• Polinômio do segundo grau
• Polinômio do terceiro grau
3  x , y   a 3x3  b3x 2 y  c3xy2  d3 y3
 2
x  2  
y
bx  

x
 2
y  2  
x
by  

y
xy
 2

xy
 by  0
y21y
xa1xc2yb
2  x , y   a2 1x2x, yb2xy
– d3 ≠ 0
– b3 ≠ 0

y
5.6. Equação de Compatibilidade
• Condição de compatibilidade em deformações
– Relações deformação-deslocamento
x 
u
x
 x
2u

y xy
 y
y 
v
y
 xy
 xy
 xy 
u v

y x
2u 2 v


x
xy x 2
 2  xy
2v

x xy
2u 2 v
 2
y
y xy
 3u
3v


xy xy 2 x 2y
5.6. Equação de Compatibilidade
• Condição de compatibilidade em tensões
– Lei de Hooke (EPT)
 2  xy
2
 2 x   y


2
xy
y
x 2
1    2  2xy
E
 2 y  1   2 y
 2 x
1   2x
 
 2   2 
xy E  y2
y  E  x
x 2








1
x 
 x   y
E
x xy

0
1
x
y
y 
 y   x
E
xy  y

0
x
yxy 2 1    xy
 xy 

G
E
 2 xy  2 y
 2x
2

0
xy y 2
x 2
2
2
 2 x  2 x   y   y



0
2
2
2
2
x
y
x
y
2
2
 b x b y 
 2 x  2 x   y   y





1


   
2
2
2
2
y 
x
y
x
y
 x
5.6. Equação de Compatibilidade
• Condição de compatibilidade em tensões
– Compatibilidade da função de tensão
2
2
 2 x  2 x   y   y



0
x 2
y 2
x 2
y 2
 2
x  2
y
 2
y  2
x
xy
 2

xy
 4
 4
 4
2 2 2  4 0
4
x
x y y
 2
 2   2  2    2
 2   2
2 
 2  2 
 x 2  y 2    x 2  y 2 
 x 2  y 2    0

x

y


 


5.5. Problemas Bidimensionais
• Polinômio do quarto grau
– d4 ≠ 0
 4
 4
 4
2 2 2  4 0
4
x
x y y
4  x , y   a 4 x 4  b4 x3 y  c4 x 2 y2  d 4 xy3  e4 y4
1
e 4  a 4  c 4
3
• Polinômio do quinto grau
– d5 ≠ 0
5  x , y   a 5 x5  b5 x 4 y  c5x 3y2  d5x 2 y3  e5xy4  f5 y5
a5
 c5
5
b  d5
f5   5
5
e5  
Tópicos da aula de hoje
• Elasticidade Plana
• Problemas bidimensionais
– Função de Airy
• Equações de Compatibilidade
• Material 5 – Elasticidade Parte 1.pdf
– Itens 5.4 e 5.5
– Lista 5A
Próxima aula
• 5. Introdução à Teoria da Elasticidade
– 5.1. Estado de Tensão em um Sólido Contínuo
– 5.2. Relações Deformação-Deslocamento
– 5.3. Equações Diferenciais de Equilíbrio
– 5.4. Princípio de Saint-Venant
– 5.5. Problemas Bidimensionais
– 5.6. Equação de Compatibilidade
– 5.7. Relações Básicas em Coordenadas Polares
– 5.8. Tubos de Parede Grossa
– 5.9. Aplicação de Métodos Numéricos na Elasticidade
– 5.10. Resolução de Problemas pelo MEF