On the Application of the Theorem of Thévenin
to the Analysis of Power in Linear Circuits
R. M. Nascimento, J. R. Lima, C. S. Moura and G. L. Horta
Abstract—1The Theorem of Thévenin-Helmholtz (TTH for
short) is a powerful tool in network analysis. However, it is still
underexplored in the calculations of power, being restricted to a
few topics targeted to the load. This paper aims to demonstrate
how the TTH can be applied to calculations of the complex power
developed in linear networks. For this purpose a new approach
based on the influence of the load on the circuit’s sources is
presented. The concepts involved are simple and lead the
discussion to other relevant themes, such as: the conservation of
power, the superposition of power and Rosen’s theorem.
Additionally, they allow a simplified analysis of the “efficiency of
the Thévenin equivalent circuit”. These results obtained with the
application of the TTH at the same time confirming its
importance prove that its scope has not yet been fully estimated.
Keywords— Thévenin-Helmholtz’s Theorem, Complex Power,
Conservation of Power, Superposition of Power, Efficiency,
Rosen’s Theorem.
PREFÁCIO
Os autores deste documento optaram por torná-lo público, livre de
quaisquer vínculos, certos de que o seu conteúdo possui relevância
teórica e prática ao veicular uma técnica pouco comum, embasada no
Teorema de Thévenin-Helmholtz, para o estudo da potência em redes
lineares. Ao presente texto foi inserido, como apêndice, o “Teorema
da Potência de Pré-falta”: uma generalização, com menor
dependência ao TTH, que abrange, além da análise das fontes nas
condições de falta, os casos de cargas conectadas a distintos pares de
terminais. Ao leitor interessado, boa leitura!
I. INTRODUÇÃO
O
TEOREMA de Thévenin-Helmholtz e o seu dual, o
Teorema de Norton-Mayer (TNM), ocupam uma posição
de destaque na teoria de circuitos elétricos em virtude,
sobretudo, de seu poder de simplificação que culmina em seus
respectivos circuitos equivalentes: o Circuito Equivalente de
Thévenin (CET) ou “equivalente de fonte de tensão” [1] e o
Circuito Equivalente de Norton (CEN) ou “equivalente de
fonte de corrente” [2]. Outro fator que contribui para a
consolidação desse status é a interação existente entre os
parâmetros que os fundamentam: a tensão de circuito aberto, a
corrente de curto-circuito e a impedância equivalente.
Definidos com base em um mesmo par de terminais, esses três
parâmetros se relacionam de forma similar à Lei de Ohm
[3,4], viabilizando o estudo detalhado tanto de partes
específicas como da totalidade de uma rede linear. Sob essa
última perspectiva, a aplicabilidade da “Lei de Ohm” tem sido
demonstrada com êxito, porém, focada na análise clássica de
circuitos complexos [5]. No âmbito da potência elétrica,
entretanto, são raros os conteúdos existentes na literatura que
[email protected]
associam a potência complexa desenvolvida em um circuito ao
TTH ou ao TNM.
O principal objetivo do presente trabalho consiste em
demonstrar que as abstrações englobadas pelo TTH
constituem-se em um poderoso instrumento de análise para
questões relacionadas à potência. Com esse intuito, é proposto
um procedimento que revela o tema central deste estudo: uma
inusitada conexão entre a carga e a potência entregue pelas
fontes, independentes e de mesma frequência, de redes
lineares em regime permanente senoidal. Esse vínculo pode
ser mensurado, para a diferença de potência ocasionada por
variações na carga, valendo-se do circuito real sem as fontes,
doravante denominado “Circuito de Reação à Carga” (CRC).
No CRC, energizado por uma fonte derivada do CET, leva-se
em consideração, unicamente, a análise dos ramos de onde as
fontes foram desativadas. Posteriormente, as tensões e/ou
correntes calculadas – que podem ser consideradas como
fontes ideais – são aplicadas às fontes previamente anuladas,
obtendo-se a “Potência Imposta pela Carga” (PIC), título
elegido para a primeira e principal concepção tratada neste
texto: o resto da subtração indicada em (1).
Outros temas pertinentes ocorrem como consequência
natural da discussão que se segue à introdução das novas
proposições. Destacam-se, entre eles, a conservação de
potência, a superposição de potência, uma breve contestação
aos “Teoremas da Eficiência do Circuito Equivalente de
Thévenin” [6] e o teorema de Rosen [7]. Esses resultados
obtidos com a aplicação do TTH, ao mesmo tempo em que
confirmam a sua importância, comprovam que o seu alcance
ainda não foi completamente estimado.
II. POTÊNCIA IMPOSTA PELA CARGA (PIC)
Seja a rede linear Ni em regime permanente senoidal,
composta por bipolos passivos e fontes independentes de
mesma frequência, representada sem carga externa conectada
na Fig. 1(a). Nessa condição, VA é a tensão de circuito aberto
entre o nó A e o Nó de Referência (NR) e SFO equivale à
potência complexa entregue pelas fontes aos bipolos passivos
de Ni.
Figura 1. (a) SFO → potência complexa entregue pelas fontes da rede Ni sem
carga externa acoplada; (b) SFL → potência complexa entregue pelas fontes da
rede Ni com a carga externa ZL acoplada.
1
À mesma rede Ni é conectada uma carga externa ZL entre
os nós A e NR conforme indicado na Fig. 1(b). Nesse cenário,
IL é a corrente requerida pela carga ZL, VL é a queda de tensão
provocada pelo fluxo de IL através de ZL e SFL representa o
novo valor para a potência complexa fornecida pelas fontes de
Ni. É possível, para as situações previstas na Fig. 1,
estabelecer a diferença de potência (PIC) entregue pelas fontes
da rede Ni como segue:
(1)
∆S F = S FO − S FL
Apesar de sua importância conceitual, o cálculo da PIC,
segundo a operação expressa em (1), não traz vantagens
significativas. O algoritmo recomendado para esse fim,
descrito a seguir, utiliza conceitos abarcados pelo TTH e adota
a convenção ativa para os sinais de potência:
(i) no CET (Fig. 2(a)) – relativo à Fig. 1(a), mas, com a carga
já acoplada – determinar IL ou, se preferível, a queda de
tensão VZA provocada pelo fluxo de IL através da
impedância equivalente ZA;
Figura 4. (a) Rede Ni com apenas fontes de tensão e uma carga externa a ser
conectada; (b) Circuito de reação após a inserção da carga.
∆S F = −V1 J 1∗ − V2 J 2∗ − V3 J 3∗
(3)
 J 1 = VZA Z1

Em que, de acordo com o CRC da Fig. 4(b):  J 2 = VZA Z 2 .
J = V Z
 3
ZA
3
B. Exemplo 2
Com (4) demonstra-se o cálculo da PIC para a rede da Fig.
5(a).
Figura 2. Conceitos incluídos no TTH utilizados no cálculo da Potência
Imposta pela Carga (PIC): (a) CET e (b) CRC (com as possibilidades de
excitação externa IL ou VZA).
(ii) no CRC (Fig. 2(b)) – circuito sem as fontes, homólogo à
Fig. 1(a), energizado com a fonte correspondente à
variável (IL ou VZA) estabelecida no item anterior –
determinar a diferença de potencial Ek entre o circuito
aberto deixado na retirada da fonte de corrente Ik e/ou a
corrente Jk no curto-circuito inserido na remoção da fonte
de tensão Vk;
(iii) aplicar Jk à Vk e/ou Ek à Ik utilizando valores eficazes e a
convenção ativa para os sinais de potência, conforme
indicado na Fig. 3, valendo-se de (2) para o cômputo da
PIC.
Figura 5. (a) Rede Ni com apenas fontes de corrente e uma carga externa a ser
conectada; (b) Circuito de reação após a conexão da carga.
∆S F = E1 I1∗ + E 2 I 2∗ − E3 I 3∗
(4)
 E1 = Z1 (VZA ( Z1 + Z 2 ) )

Em que, do CRC da Fig. 5(b):  E2 = Z 2 (VZA ( Z1 + Z 2 ) ) .

 E3 = VZA
C. Exemplo 3
Para o circuito da Fig. 6(a) a PIC é calculada como pode
ser visto em (5).
Figura 3. Detalhes para o cálculo da PIC: mostra das possibilidades de
aplicação das variáveis calculadas no CRC (Jk e/ou Ek) às fontes de Ni (Vk
e/ou Ik) utilizando valores eficazes e a convenção ativa para os sinais de
potência.
∆S F = ∑ (Vk J k∗ + E k I k∗ )
(2)
A seguir, nos três exemplos propostos para elucidar o
cálculo da PIC, considera-se que a primeira etapa do algoritmo
sugerido foi concluída. A fonte escolhida para a excitação do
CRC é a queda de tensão VZA na impedância equivalente ZA de
acordo com o CET apresentado na Fig. 2(a).
A. Exemplo 1
O cálculo da PIC para o circuito exibido na Fig. 4(a) está
indicado em (3).
Figura 6. (a) Rede Ni com fontes de tensão e de corrente e uma carga externa a
ser conectada; (b) Circuito de reação após o acoplamento da carga.
∆S F = E1 I1∗ − V1 J 1∗
(5)
 E = VZA
Em que, conforme o CRC da Fig. 6(b):  1
 J 1 = VZA Z1
III. POTÊNCIA DE CARGA MÁXIMA (PCM)
2
Neste estudo, considera-se que a carga é máxima se o
módulo da impedância que a representa é igual a zero ohm.
Isso posto, PCM (representada pela variável SFLm na Fig. 7(a))
é a potência complexa fornecida pelas fontes da rede Ni
quando a carga externa é um curto-circuito.
Figura 8. Rede Nh (constituída pela rede Ni com carga externa ZL acoplada)
considerada como uma rede distinta sem carga externa, em que a tensão de
circuito aberto VA é igual à queda de tensão em ZL (VL).
Figura 7. (a) SFLm → (PCM) Potência complexa entregue pelas fontes da rede
Ni quando a carga externa é um curto-circuito; (b) CET (em que VZA = VA
devido à carga máxima); (c) CRC (com as novas possibilidades de excitação
ILm ou VA).
O algoritmo proposto para a determinação da PIC, definida
em (1), continua válido para as situações com carga máxima,
previstas na Fig. 7(b) e (c), resultando nas expressões (6) e (7).
Nestas, o subscrito “m” foi acrescentado a algumas variáveis
anteriormente definidas a título de diferenciação de (1) e de
(2). Destaque para SFm que representa a Potência Imposta
pela Carga Máxima (PICM) e para a já mencionada SFLm
(PCM). A corrente de carga máxima (corrente de curtocircuito ou corrente de Norton) ILm responde diretamente pelo
resultado obtido em (7).
∆S Fm = S FO − S FLm
∆S Fm = ∑ (Vk J
∗
km
∗
km k
+E I
(6)
(7)
)
O próximo tópico refere-se à comprovação das hipóteses
estabelecidas até este ponto. Contudo, antes de adentrá-lo, é
importante não perder de vista a transformação ocorrida na
Fig. 1(a) que resultou na Fig. 7(a). Essa transição – cerne dos
“Teoremas da Tensão de Circuito Aberto e da Corrente de
Curto-circuito” [3] dos quais o Teorema de Millman [8] é um
caso particular [4] – também é, frequentemente, a maneira
mais simples de se determinar a diferença de potencial entre
dois pontos em uma rede. Na Fig. 1(a), p. ex., a tensão de
circuito aberto VA pode ser obtida com o auxílio do CET com
carga máxima da Fig. 7(b):
V A = VZA = Z A I Lm
(11)
IV. TEOREMA DA CARGA MÁXIMA
O Teorema da Carga Máxima (TCM), praticamente
enunciado na seção anterior, estabelece que “a potência
complexa total desenvolvida em um circuito pode ser
equacionada a partir de um par de terminais de interesse
submetido à carga máxima”. Essa proposição, traduzida
matematicamente em (8), é confirmada (em sua “versão
completa”) por (14).
A. Comprovação do TCM
O resultado em (8), desfecho natural de (6), é claramente
apropriado para a análise da potência complexa entregue pelas
fontes de circuitos considerados sem carga externa, como o
indicado na Fig. 1(a).
PCM
PICM
S FO = S FLm + ∆S Fm
Seja a rede Nh sem carga externa, representada na Fig. 9, o
circuito correspondente à rede Ni com carga externa acoplada
exibida na Fig. 4(a). O cálculo convencional alusivo à
potência complexa total (ST) absorvida pelos bipolos passivos
de Nh está indicado em (12).
(8)
Do mesmo modo, os circuitos semelhantes ao retratado na Fig.
1(b), de acordo com (1), (8), (9) e (10), também podem
utilizar a PCM como possibilidade de investigação:
∆ SF
= S FO − ∆S F = S FLm + ∆S Fm − ∆S F
∆PIC
PCM
= S FLm + ∆ 2 S F
2
S FL
S FL
(9)
(10)
A expressão (10), exceto pela PCM, parece não possuir
outra conexão com o resultado obtido em (8). Todavia, ao
considerar-se o esquema detalhado na Fig. 8, é possível
deduzir que qualquer rede (Ni), considerada com carga externa
conectada, pode ser avaliada como uma rede distinta (Nh) sem
carga externa. Esse fato permite que a potência complexa total
(SFO, Fig. 1(a)), de um circuito qualquer, seja equacionada
com base em um par de terminais de interesse utilizando-se
(8).
Figura 9. Rede Nh sem carga externa, correspondente à rede Ni com carga
externa acoplada da Fig. 4(a) em que Z4 = ZL.
ST =
V1 A
Z1∗
2
+
V2 A
Z 2∗
2
+
V3 A
Z 3∗
2
+
VA
Z 4∗
2
(12)
No Quadro I, nas células destacadas, pode ser observado
que a soma dos termos expandidos de ST conduz ao resultado
desejado expresso em (8).
3
ST = V1 (V1 A R1 )
QUADRO I
EXPANSÃO DOS TERMOS DE ST (12) PARA A
COMPROVAÇÃO DO TCM (8)
V1 A
Z1∗
V2 A
Z 2∗
V3 A
Z 3∗
VA
Z4∗
2
=
2
=
2
 V ∗
−V1  A 
 Z1 
 V ∗
−VA  1 
 Z1 
 V ∗
VA  A 
 Z1 
 V ∗
V2  2 
 Z2 
 V ∗
−V2  A 
 Z2 
 V ∗
−VA  2 
 Z2 
 V ∗
VA  A 
 Z2 
V 
V3  3 
 Z3 
∗
V 
−V3  A 
 Z3 
∗
S FO =
S FO =
0
S FLm
PCM
0
+∆S Fm
PICM
∗
V 
−VA  3 
 Z3 
V 
VA  A 
 Z3 
0
 V ∗
VA  A 
 Z4 
2
=
PCM = S FLm
 V ∗
V1  1 
 Z1 
∗
=
− STHm
∗
A Lm
− V
I
PCET
(15)
+ STHm
VA Z A∗
2
PCET
Fica evidenciado, dessa forma, o princípio da conservação
da potência CA [9] para a potência complexa: a soma das
potências complexas de cada um dos bipolos passivos (12) é
igual à potência complexa total fornecida pelas fontes (13).
 V − V *
 V − VA *
 V3 − VA *
ST = SFO = V1  1 A  + V2  2
(13)
 + V3 

 Z1 
 Z2 
 Z3 
Outra informação relevante disponível no Quadro I referese à Potência originada no CET (PCET) configurado com
base no par de terminais A e NR da Fig. 9: os dados presentes
nas duas últimas colunas atestam que a PCET, representada
pela variável STHm, se autoexclui do resultado final relativo à
potência complexa total do circuito de origem. Apesar disso, a
PCET é crucial nos “casos especiais” discutidos na seção V,
justificando a reescrita do TCM (8) em sua “versão completa”:
(14)
S FO = S FLm + ∆S Fm + STHm − STHm
V. “CASOS ESPECIAIS”
O desconhecimento dos conceitos introduzidos nas seções
anteriores pode conduzir a conclusões equivocadas com
relação à participação da PCET na composição da potência
total entregue pelas fontes de redes relativamente simples,
como as apresentadas na Fig. 10.
Figura 10. Redes puramente resistivas (f = 0 Hz): (a) com fonte de tensão e (b)
com fonte de corrente.
Para ilustrar esse ponto, seja o cálculo formal expresso em
(15), a ferramenta de análise para a potência total (ST)
envolvida no circuito da Fig. 10(a). A expansão de seus
termos como está indicada em (16) corresponde ao TCM
proposto em (8) sob a ótica do par de terminais A e NR. Nesse
caso, no entanto, o termo relativo à PICM pode ser
interpretado como PCET conforme é salientado em (17).
PICM =∆S Fm
2
ST = V1 R1 − V1 (V A R1 )
(16)
J1m
PCM = S FLm
PCET = STHm
ST = V12 R1 − V A (V1 R1 )
(17)
I Lm
Da mesma forma, a sequência de (18) a (20) expõe o mesmo
fato para a rede da Fig. 10(b).
(18)
ST = ( R1 + R2 ) I12
PCM = S FLm
PICM =∆S Fm
2
ST = R1 I1 + R2 I1 I1
(19)
E1m =V A
PCM = S FLm
PCET = STHm
2
ST = R1 I1 + R2 I 1 I1
VA
(20)
I Lm
Essas duas situações podem ser mais bem compreendidas
com o auxílio do TCM traduzido pela expressão (14). O
primeiro caso, elucidado em (21), é típico das redes com
apenas fontes de tensão. O segundo, esclarecido em (22), é
próprio das redes com apenas fontes de corrente.
(21)
S = S + ∆S + S
− S = V 2 R −V I
T
FLm
Fm
THm
THm
1
1
A Lm
ST = S FLm + ∆S Fm + STHm − STHm = R I + V A I Lm
(22)
2
1 1
Os circuitos da Fig. 10 são contados entre os quatro “casos
especiais” (válidos para redes energizadas com apenas um
único tipo de fonte) compilados para comprovar que a PCET
não participa diretamente do resultado relativo à potência
complexa total da rede real exceto, quando se iguala à PIC,
nos casos apontados em (21) e (22).
A. Caso Especial 1 (CE1)
O primeiro “caso especial”, ilustrado na Fig. 11, contempla
as situações em que o consumo de energia de uma rede sem
carga externa é nulo. A configuração apresentada na Fig.
11(b) atende a esse requisito antes da conexão da carga: todas
as fontes de tensão possuem o mesmo valor (V1) em volts.
Consequentemente, a tensão de circuito aberto VA possui o
mesmo valor de V1.
Figura 11. (a) CE1 → Rede Ni em que a potência entregue pelas fontes, antes
da conexão da carga externa ZL, é igual a zero (VA); (b) Exemplo de uma
rede (com apenas fontes de tensão) sem consumo interno antes da conexão da
carga.
Após a conexão da carga externa, a PIC pode ser avaliada
de acordo com (3) (Fig. 4) e com o CET da Fig. 2(a):
∗
IL
∗
J3
J1
J2
VA  
∆S F = −V1 VZA Z1 + VZA Z 2 + VZA Z 2  = − V1 (VZA Z A )∗
(23)
PCET = STH
B. Caso Especial 2 (CE2)
4
A Fig. 12 exemplifica o segundo “caso especial”, que
abrange as ocorrências em que o dispêndio de energia é nulo
em redes com carga externa acoplada. Com o circuito
apresentado na Fig. 12(b), essa condição é satisfeita em
virtude da diferença de potencial nula imposta às fontes de
corrente pela carga máxima.
Figura 12. (a) CE2 → Rede Ni com carga externa ZL acoplada, em que a
potência entregue pelas fontes é igual a zero (VA); (b) Exemplo de uma rede
(com apenas fontes de corrente) sem consumo interno depois da conexão da
carga máxima.
Para o exemplo estabelecido, a PICM – exatamente igual à
PCET da Fig. 7(b) – pode ser calculada por inspeção já que o
CRC é constituído, apenas, pela associação em paralelo de Z1
e Z2, sendo excitado externamente pela fonte VA. Assim:
∗
∆S Fm
I Lm
= VA ( I1 + I 2 )∗
(24)
PCET = STHm
C. Caso Especial 3 (CE3)
O CE3 inclui os circuitos apresentados na Fig. 10 e está
relacionado às propriedades dos bipolos passivos. Para
verificá-lo optou-se pela reutilização do resultado obtido em
(3), com base na Fig. 4:
∗
VZA
∆S F = − Z A∗ I L∗ (V1 Z1∗ + V2 Z 2∗ + V3 Z 3∗ )
(25)
∗
VZA
i ( 2θ1 )
 e V1 ei ( 2θ2 )V2 ei ( 2θ3 )V3 
− i 2θ
∆S F = − Z A e ( A ) I L∗ 
+
+

Z2
Z 3 
 Z1
Lm ?
I
α = θ − θ
1
A
i 2γ
i 2α
i2β

 
e
V
e
V
e
V
3
1
2
∆S F = − I L∗ Z A 
+
+
 ; β = θ2 − θ A
Z2
Z3  
 Z1
γ = θ 3 − θ A
VA
∆S F = − I L∗ Z A I Lm
(26)
(27)
(28)
PCET = STH
A fim de que (27) denote exatamente o resultado referido
em (28) é necessário que os termos exponenciais sejam,
simultaneamente, iguais a um. Essa exigência é satisfeita
quando as variáveis ߙ, ߚ e ߛ – que representam isoladamente a
diferença entre os argumentos das impedâncias individuais Zk
e da impedância equivalente ZA – forem iguais a 0°, uma
característica das redes puramente resistivas, puramente
capacitivas e puramente indutivas. Outra possibilidade é
assumirem (em qualquer ordem) os valores de {180°, 0°, 180°}, uma particularidade das redes constituídas por
associações de reatâncias capacitivas e indutivas.
verificado no CRC (Fig. 13(b)), o valor da ddp E1m (igual a
E2m) não é alterado pela presença de Z1, devido à impedância
infinita da fonte I1. O resultado esperado (PICM igual à
PCET) pode ser verificado em (29).
Figura 13. CE4 → Típico de circuitos com apenas fontes de corrente: a
impedância Z1 sob a ótica do par de terminais A e NR não altera o valor da
ddp E1m em (b) devido à impedância infinita da fonte ideal I1 (a).
∗
I Lm
∆S Fm
(29)
PCET = STHm
É importante ressaltar a especificidade da influência das
fontes, posta à tona no estudo dos exemplos apresentados
neste tópico. Nas redes com apenas fontes de tensão a parcela
correspondente à PIC/PCET é sempre negativa, como pode ser
observado em (21), (23) e (28). Redes com apenas fontes de
corrente ocasionam valores positivos para a PIC/PCET como
em (22), (24) e (29). Esse comportamento antagônico
propiciado pelas fontes de tensão e pelas fontes de corrente é o
tema central da próxima discussão.
VI. SUPERPOSIÇÃO DE POTÊNCIA
É senso comum a impossibilidade de se aplicar o princípio
da superposição para a potência em circuitos com fontes de
mesma frequência. Normalmente, os exemplos encontrados na
literatura – para justificar este fato – são compostos por redes
com mais de uma fonte de um único tipo (geralmente fontes
de tensão) [10]. Não obstante, em condições adequadas, é
possível demonstrar que circuitos contendo ao mesmo tempo
fontes de tensão e fontes de corrente de mesma frequência
admitem a “superposição” de potência: nesse caso, a
separação das fontes em duas redes (cada rede com um
conjunto de fontes do mesmo tipo) e a posterior soma da
potência complexa total originada em cada rede.
No exemplo da Fig. 14, a carga máxima aplicada aos nós A
e NR da rede Nh possibilita uma comprovação desse fato,
proporcionando uma análise simplificada tanto para o cálculo
da potência complexa total fornecida pelas fontes (30) como
para o cálculo da tensão de circuito aberto (31).
Figura 14. Rede Nh contendo fontes de tensão e de corrente, sendo submetida
à carga máxima entre os nós A e NR.
D. Caso Especial 4 (CE4)
O último “caso especial” examinado diz respeito à conexão
em série de fontes de corrente ideais e impedâncias. Na Fig.
13(a), a rede Ni é submetida à carga máxima. Como pode ser
VA
VA
= E1m I1∗ + E 2 m I 2∗ = V A ( I1 + I 2 )∗
SFO
PCM = SFLm
PICM =∆SFm
∗
∗
= V1 (V1 Z1 ) + VA I1 − V1 (VA Z1 )∗
(30)
5
I Lm
V A = Z A (V1 Z 1 + I 1 ) ; Z A = Z 1 || Z 2
(31)
as parcelas da potência complexa total referente a cada tipo de
fonte:
Substituindo-se (31) em (30) chega-se às parcelas da potência
complexa total entregue por tipo de fonte:
S FO
SFO
1
∗
 V1 
ZA 
= V1 
−
+ Z A I1 I1∗ +
1



Z
Z1    1
2
2
S FO =
( Z1 + Z 2 )
∗
4
1 → F. de Tensão
3 → Parcela Mista

Z
Z∗ 
2
+ Z A I1
+ V1 I1∗  A − A* 
Z1 Z1 

2 → F. de Corrente
∗
S FO = V1 (V1 Z 2 ) +
(33)
De acordo com (33), o princípio da superposição pode ser
aplicado para a potência complexa no circuito da Fig. 14 se o
fator 4 , da “parcela mista” 3 , for nulo. Essa exigência,
vinculada às características dos bipolos passivos (de forma
similar ao CE3 visto na seção V), é satisfeita para as redes
puramente resistivas e para as redes compostas apenas por
reatâncias, em conformidade com (34), considerando-se,
apenas, a nulidade do fator que contém o termo exponencial e
que o módulo das impedâncias que fazem parte da rede Nh é
tal que 0 < |Zk| < ∞.
(34)
4 → ( Z Z ) (1 − ei 2α ) ; α = θ − θ
1
1
∗


Z
Z
lim V1 I1∗  A − A∗ 
Z 0 →0
Z 0 Z0 

(32)
4
A
(37)
3
3
∗
 V1  ∗
 ZA 
Z A   I1 − V1 
I1 
 Z1 
 Z1 
1 → F. de Tensão
2
V1
1
∗
 V  Z 
= lim V1  1  1 − A   + lim ( Z A + Z1 ) I1 I1∗ +
Z
 Z 0 →0
Z 0 →0
 0  Z 0   A
Contudo, existem algumas configurações de rede em que a
“parcela mista” é naturalmente nula. Nessas situações um
grupo de impedâncias sob a influência das fontes de corrente,
p. ex., não sofre o efeito das fontes de tensão e vice-versa. É o
que mostra a Fig. 15, em que as fontes foram trocadas de
posição em relação à Fig. 14.
2 → F. de Corrente
Z 1 I 1 I 1∗
3 → Parcela Mista
+
0
(38)
1
2
2
2
(39)
∗
SFO = V1 Z 2 + Z1 I1
Portanto, a “superposição de potência” é plausível em redes
com a presença simultânea de fontes de corrente e de fontes de
tensão de mesma frequência. O princípio pode ser aplicado de
forma irrestrita para as redes puramente resistivas, para as
redes formadas apenas por reatâncias e para os casos de mútua
interferência entre os tipos de fonte.
VII. ESTUDO DE CASO: EFICIÊNCIA DO CET
Uma aplicação singular para o TTH pode ser apreciada nos
“Teoremas da Eficiência do CET” [6], em que duas
proposições são apresentadas com o objetivo de demonstrar
que a eficiência da rede real é sempre menor ou, no máximo,
igual à eficiência do CET. Este segmento pretende mostrar,
com dois contraexemplos, que esses teoremas não têm o
alcance pretendido em razão dos motivos expostos no
parágrafo inicial das seções V e VI do presente texto. Antes,
porém, faz-se oportuna uma breve explanação dos principais
conceitos contidos no documento aludido.
Em conformidade com o Teorema da Substituição, a carga
externa ZL da Fig. 1(b) – que dissipa, nesta situação, a
potência de PZL (W) – pode ser substituída por uma fonte de
corrente com valor igual a IL, como mostra a Fig. 16(a).
Figura 15. Exemplo de uma rede sendo submetida à carga máxima onde um
tipo de fonte age exclusivamente sobre um grupo de impedâncias, tornando
possível a separação de seus efeitos.
A impedância Z0 – cujo módulo é nulo – é apenas um artifício
que viabiliza a análise por meio da carga máxima entre os
terminais de interesse. Os cálculos da potência complexa total
fornecida pelas fontes SFO e da tensão de circuito aberto VA
seguem em (35) e (36).
PCM = SFLm
PICM =∆SFm
∗
(35)
∗
∗
SFO = Z1 I1 I1 + V1 (V1 Z 0 ) + VA I1 − V1 (VA Z 0 )∗
I Lm
V A = Z A (V1 Z 0 + I 1 ) ; Z A = Z 0 || Z 2 ; Z 0 = 0 Ω
(36)
O mesmo procedimento adotado para o exemplo anterior
conduz à sequência de (37) a (39), em que é possível observar
Figura 16. (a) Rede Ni da Fig. 1(b) consoante com o teorema da substituição;
(b) Superposição: Passo 1 → Cálculo da perda interna PPO da rede Ni; (c)
Superposição: Passo 2 → Cálculo da perda PZA na impedância equivalente ZA.
O “primeiro teorema” ou “Teorema das Perdas” é proposto
valendo-se do princípio da superposição para a análise da
perda interna PPL da rede Ni. Ou seja:
a)
abrindo-se a fonte IL (Fig. 16(b)) a perda interna PPO é
igual à parcela útil da potência complexa SFO fornecida
pelas fontes sem a presença da carga externa;
6
b) com a conexão da fonte IL ao CRC (Fig. 16(c))
determina-se a perda PZA na impedância equivalente ZA;
c) a soma das perdas PPO e PZA, definidas nos dois itens
anteriores, estabelece o “Teorema das Perdas” (40).
(40)
PPL = PPO + PZA
A potência útil total PT (41) absorvida pelos bipolos passivos
internos (PPL) e externos (PZL) à rede Ni é obtida, de acordo
com o princípio da conservação da energia, com base no
“Teorema das Perdas”. A parcela PTH representa as perdas no
CET:
PT
PTH
(41)
PPL + PZL = PPO + PZA + PZL ⇒ PT = PPO + PTH
O “segundo teorema” (45) ou “Teorema da Eficiência”
(“TE”) é estabelecido a partir da eficiência (ηTH) do CET (42)
e da eficiência (ηi) da rede Ni (43):
ηTH = PZL PTH
(42)
ηi = PZL PT = PZL ( PPO + PTH )
(43)
P + PTH PPO
PPO
ηTH
P
= T = PO
=
+1 =
+1
ηi
PTH
PTH
PTH
PZA + PZL
(44)
Desse modo, para qualquer rede CC ou CA [6]:
ηTH ≥ ηi
(45)
V A ( I Lm − I L ) I Lm
ηTH
P
= T =
=
−1
IL
PTH
ηi
VA I L
I Lm = I1 = (V A Z A )
V A R1
(
) − 1 = 1 + RL − 1 = RL
ηTH
=
R1
R1
ηi
R
+
R
V
(
( A 1 L ))
Dessa forma, constata-se que (41) traz o traço de um “caso
especial” de redes com apenas fontes de tensão: o sinal
negativo da parcela correspondente à PIC/PCET (46). Chegase à mesma conclusão por meio da superposição que
fundamenta o “Teorema das Perdas”: se não é possível, sob a
mesma frequência, a separação de fontes de um mesmo tipo,
logo, a rede exemplificada na Fig. 16 encerra apenas fontes de
tensão.
O contraexemplo apresentado na Fig. 17, assentado sobre
as fontes de corrente, contradiz o resultado firmado em (45).
(49)
IL
O resultado expresso em (49) deixa claro que o “TE” (45)
não se aplica ao circuito da Fig. 17(a) para uma faixa de
valores em que a resistência da carga RL é inferior ao da
resistência equivalente R1. Ao mesmo tempo, esse resultado
sugere a utilização de uma faixa contínua de valores para a
carga nas verificações da validade de (45). É o que demonstra
o próximo contraexemplo.
De acordo com (44) e (46), o “TE” pode ser reinterpretado
conforme a sequência de (50) a (52):
(50)
ηTH ≥ ηi ⇒ PT ≥ PTH ⇒ Re {S FL } ≥ Re {STH }
(51)
ηTH ≥ ηi ⇒ Re {S FO − ∆S F } ≥ Re {STH }
ηTH
Essas são resumidamente, na linguagem do presente texto,
as principais ideias contidas em [6]. É interessante perceber
como a potência originada no CET aparece naturalmente em
(41) tal como nos “casos especiais” vistos na seção V. Assim,
é simples estabelecer a conexão entre esse resultado e a
potência complexa total derivada da relação (1):
PT
PPO
Re{ STH }= − PTH
PIC / PCET
−
(46)
Re {S FL } = Re {S FO } − Re {∆ S F } ⇒ PT = PPO − ( − PTH )
(48)
PPO
PTH
PIC
≥ ηi ⇒ Re {S FO } ≥ Re {STH } + Re {∆S F }
(52)
Ou seja, para que o “TE” seja aplicável a qualquer
configuração de rede, a perda PPO (na rede real) deve igualar
ou superar as perdas PTH (no CET) acrescidas da parte real da
PIC, conforme assinala a relação (52). Para o circuito
apresentado na Fig. 18, existe uma estreita faixa de valores da
carga RL – destacada na Fig. 19 – em que essa condição não se
verifica, opondo-se ao resultado previsto em (45).
Figura 18. Segunda rede utilizada como contraexemplo para o “Teorema da
Eficiência do CET”.
Figura 17. (a) Primeira rede (f = 0 Hz) utilizada como contraexemplo para o
“Teorema da Eficiência do CET”; (b) CET.
A potência total entregue pela fonte I1 no circuito da Fig.
17(a) pode ser calculada utilizando-se (9). Entretanto, como
essa rede se enquadra no CE2 (PCM = 0 W) e no CE3 (rede
puramente resistiva) discutidos na seção V, o cálculo é
simplificado e baseia-se inteiramente no CET da Fig. 17(b):
PICM =∆S Fm
PCM = S FLm
PIC =∆S F
(47)
S FL = PT = 0 + STHm − STH = VA ( I Lm − I L )
O “TE” pode, agora, ser verificado:
Figura 19. Faixa em torno de 2.59 ohms situada entre o intervalo (0.27, 2.88)
de valores de RL em que a eficiência do CET, em conformidade com (52), é
menor do que a eficiência da rede de origem exibida na Fig. 18, contradizendo
o “Teorema da Eficiência”.
7
Uma amostra de valores da eficiência no intervalo
evidenciado, comprovando a validade do resultado exposto em
(52), pode ser verificada na Tabela I.
TABELA I
AMOSTRA DE VALORES DA EFICIÊNCIA NA FAIXA DESTACADA
DA FIG. 19 EM QUE ηTH < ηi PARA A REDE DA FIG. 18
RL (Ω)
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
ηTH (CET)
0.1589
0.2742
0.3617
0.4304
0.4857
ηi (Rede real)
0.1630
0.2902
0.3848
0.4521
0.4977
VIII. DISCUSSÃO SUPLEMENTAR
Nessa última discussão, o interesse reside na aplicação da
relação (6) ao exemplo ilustrado na Fig. 20, a fim de
demonstrar que é possível alcançar importantes resultados
relativos à rede real por meio da PCET.
F
E
2
2
 V   V   V3 ( R1 + R2 ) 
(59)
3 → ZA  3  =  3  − 

 R3   R3   R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 
PCM
V2 V2 V2
S FLm = A + C + E = 1 + 2 + 3
(60)
R1 R2 R3
As parcelas restantes de (56), (57), (58) e (59) são relativas à
potência entregue pelas fontes (64):
2
 2V V  

2V1V2 R3
4 → ZA  1 2  = 

 R1 R2   R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 
(61)
 2V V  

2V1V3 R2
5 → ZA  1 3  = 

 R1 R3   R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 
(62)
 2V V  

2V2V3 R1
6 → ZA  2 3  = 

 R2 R3   R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 
(63)
− S FO = − ( B + D + F − 4 − 5 − 6 )
(64)
S FO
Figura 20. Rede com apenas fontes de tensão (f = 0 HZ), puramente resistiva
com três ramos.
Para esse “caso especial” (rede puramente resistiva com
apenas fontes de tensão), o resultado geral (6) se transforma
na solução particular (54):
(53)
− STHm = S FO − S FLm
(54)
STHm = S FLm − S FO
Em conformidade com o CET da Fig. 7(b):
2
STHm = V A I Lm = Z A I Lm
(55)
R1 R2 R3

Z A = R R + R R + R R

1 2
1 3
2 3
Para o exemplo estabelecido: 
V
V
V
1
2
3
I = +
+
 Lm R1 R2 R3
Logo:
 (V12 R3 − 2V1V2 R3 + V22 R3 ) + 

 ZA  2
2
=
  (V1 R2 − 2V1V3 R2 + V3 R2 ) + 

 R1 R2 R3   2
 (V2 R1 − 2V2V3 R1 + V32 R1 ) 


 V2
V2
V2 
S FO = Z A  12 + 13 + 23 
 R1 R2 R1 R3 R2 R3 
2
3
Vab2
S FO = ∑ ∑
a =1 b = a +1  Ra Rb 


 ZA 
2
S FO = ∑
3
∑
a =1 b = a +1
S THm
n −1
S FO = ∑
(56)
B
A
2
 V   V 2   V1 ( R2 + R3 ) 
1 → ZA  1  =  1  − 

 R1   R1   R1R2 + R1R3 + R2 R3 
2
D
C
2
2
 V   V   V2 ( R1 + R3 ) 
2 → ZA  2  =  2  − 

 R2   R2   R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 
n
∑
a =1 b = a +1
Vab
(57)
2
(58)
(67)
2
∗
 Za Zb 


 ZA 
Vab
(68)
2
∗
 Za Zb 


 ZA 
 1
Za Zb
1
1 
= Za Zb  +
+
+
 = Z ab
ZA
Zn 
 Z1 Z 2
A PCM (60) é obtida das parcelas 1 , 2 e 3 de (56):
(66)
O resultado apresentado em (67) pode ser estendido para os
circuitos com impedâncias complexas (68) e para as redes
com um número indeterminado de ramos (69), trazendo como
bônus o Teorema de Rosen (70): um circuito passivo
constituído por n impedâncias conectadas em estrela, pode ser
substituído por outro circuito equivalente formado por
n ( n − 1) 2 impedâncias conectadas em polígono [7,11].
2
I Lm
2
  V   V 2  V 2 
 1  +  2  +  3  +
R
R
R
= Z A   1   2   3  
2
V
V
2
V
V
2
V
 1 2 + 1 3 + 2V3

 RR

R1 R3 R2 R3
 1 2

(65)
(69)
(70)
IX. CONCLUSÃO
No presente documento desenvolveu-se uma técnica para a
análise da potência complexa de redes lineares em regime
permanente, com base nos conceitos abarcados pelo Teorema
de Thévenin-Helmholtz (TTH).
A diferença de potência – fornecida pelas fontes –
ocasionada pela variação da carga, denominada “Potência
Imposta pela Carga" (PIC), foi a principal concepção derivada
8
dessa abordagem. Sua aplicação, além de conduzir a outros
temas pertinentes (como a conservação de potência e o
teorema de Rosen) permitiu auferir as seguintes conclusões: 1.
A potência complexa total desenvolvida em um circuito pode
ser equacionada com base em um par de terminais de interesse
submetido a um curto-circuito; 2. A potência originada no
circuito equivalente de Thévenin não participa diretamente do
resultado relativo à potência complexa total da rede real,
exceto em “casos especiais” quando se iguala à PIC; 3. A
especificidade da influência das fontes torna plausível a
“superposição de potência” em redes com a presença
simultânea de fontes de corrente e de fontes de tensão de
mesma frequência: o princípio pode ser aplicado de forma
irrestrita para as redes puramente resistivas, para as redes
formadas apenas por reatâncias e para os casos de mútua
interferência entre os tipos de fonte; 4. Para que o “Teorema
da Eficiência do Circuito Equivalente de Thévenin” [6] seja de
fato aplicável a qualquer circuito, o consumo interno (W) –
sem a presença da carga externa – da rede real deve ser maior
ou igual às perdas no CET acrescidas da parte real da PIC.
Este estudo explorou o TTH, contribuindo para estender o
seu alcance, valendo-se de sua característica mais popular: sua
eficiência no trato com a carga. Esse alcance, contudo, ainda
não foi completamente estimado. A variação da PIC, presente
nos resultados obtidos em (9) e (10), deve ser investigada com
maior profundidade, especialmente em problemas envolvendo
cargas ativas e/ou cargas conectadas, simultaneamente, a
diferentes pares de terminais.
AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem a Deus pelo inestimável dom de
aprender e a todos os que partilham o Seu conhecimento!
[10] R. Baldini, Filho. (2015, Julho). Potência em Regime Permanente CA
[Online].
Disponível
em:
http://www.decom.fee.unicamp.br/~baldini/EA513/Cap12.pdf
[11] J. R. G. Vásquez. (2015, Outubro). Teoremas Fundamentales de
Circuitos
Eléctricos
[Online].
Disponível
em:
http://repositorio.utp.edu.co/dspace/handle/11059/1042
Reinaldo Mauricio do Nascimento é Técnico em
Eletrotécnica (CEFET-MG-1978), Técnico em Eletrônica
(COTEMIG-MG-1989) e graduado em Engenharia de
Controle e Automação pela Faculdade Pitágoras de Belo
Horizonte – MG – 2013.
Jonas Rafael de Lima é Técnico em Eletrotécnica (CEFETMG-2007) e graduado em Engenharia de Controle e
Automação (2013) e Engenharia Elétrica (2014) pela
Faculdade Pitágoras de Belo Horizonte – MG.
Cássio Saturnino Moura é Técnico em Eletrotécnica
(SENAI-MG-2008) e graduado em Engenharia de Controle e
Automação pela Faculdade Pitágoras de Belo Horizonte – MG
– 2013.
Gustavo de Lins e Horta possui graduação em Engenharia
Eletrônica e de Telecomunicações pela Pontifícia
Universidade Católica de Minas Gerais (2004). Possui
Licenciatura Plena em Matemática pela Fundação de
Educação para o Trabalho de Minas Gerais UTRAMIG
(2010). É pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino
Superior pelo Centro Universitário Anhanguera (2009). É
mestre em Modelagem Matemática e Computacional pelo
CEFET-MG (2014).
REFERÊNCIAS
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
D. H. Johnson, "Origins of the equivalent circuit concept: the voltagesource equivalent." Proceedings of the IEEE, vol. 91, no. 4, pp. 636640, 2003.
D. H. Johnson, "Origins of the equivalent circuit concept: the currentsource equivalent." Proceedings of the IEEE, vol. 91, no. 5, pp. 817821, 2003.
J. Millman, H. Taub, Pulse, digital, and switching waveforms. Devices
and circuits for their generation and processing. International Student
Edition-McGraw-Hill Electrical and Electronic Engineering Series,
McGraw-Hill, New York, pp.3-4, 1965.
C. S. Moura, J. R. Lima e R. M. Nascimento, “A Lei de Ohm
decorrente dos teoremas de Thévenin e de Norton aplicada aos circuitos
lineares com fontes independentes de mesma frequência,” Trabalho de
Conclusão de Curso, Faculdade Pitágoras, Belo Horizonte, 2013. Não
publicado.
G. E. Chatzarakis, M. D. Tortoreli and A. D. Tziolas, "Thevenin and
Norton's theorems: powerful pedagogical tools for treating special
cases of electric circuits." International Journal of Electrical
Engineering Education, vol. 40, no. 4, pp. 299-314, 2003.
I. Barbi. (2015, Julho). Teoremas da Eficiência do Circuito Equivalente
de Thévenin [Online]. Disponível em: http://ivobarbi.com/novo/wpcontent/uploads/downloads/2013/01/Eficiência-de-Thevenin-versão04012012.pdf
A. Rosen, "A new network theorem." Journal of the institution of
electrical engineers, vol. 62, no. 335, pp. 916-918, 1924.
J. Millman, "A useful network theorem." Proceedings of the IRE,
vol. 28, no. 9, pp.413-417, 1940.
C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, Fundamentos de Circuitos
Elétricos. Bookman, Porto Alegre, pp. 409-410, 2003.
APÊNDICE
Este complemento pretende, de forma sucinta, preencher a
lacuna apontada no último parágrafo da seção IX. O leitor
atento pode, seguramente, alcançar os resultados (71) e (72) –
“Teorema da Potência de Pré-falta” (TPP): “a potência
complexa na pré-falta pode ser equacionada a partir de
pares de terminais de interesse submetidos a uma falta” –
norteado por (1) e (10):
∆S L
SP
SF
(71)
(10)→ S FL = S FLm + ∆ 2 S F ⇒ S P = S F + ∆S L
Em que:
SP → Potência complexa fornecida pelas fontes na pré-falta
(Fig. 1(b) e Fig. 23);
SF → Potência complexa fornecida pelas fontes na falta
(curto-circuito → Fig. 7(a));
∆SL → PIC (vide seção II, (2)): definida pela ddp de pré-falta
na carga (Fig. 21):
Figura 21. Obtenção da PIC (∆SL) para uma carga sujeita a um curto-cicuito: a
fonte VL, do CRC (rede real sem as fontes), corresponde à tensão de pré-falta
na carga.
9
SP
∆S L
SF
(72)
(1)→ S FL − S FO = −∆S F ⇒ S P = S F + ∆S L
Em que:
SP → Idem (71);
SF → Potência complexa entregue pelas fontes na falta
(circuito aberto → Fig. 1(a));
∆SL → PIC ⇒ (2): estabelecida pela corrente de pré-falta na
carga (Fig. 22):
Figura 22. Determinação da PIC (∆SL) para uma carga sujeita a um circuito
aberto: a fonte IL, do CRC, equivale à corrente de pré-falta na carga.
Síntese do TPP (Fig. 23):
Figura 23. Rede Ni em pré-falta (SP, IL e VL) e as potenciais falhas na carga
representadas por meio da comutação da chave “k1”: (71) → curto-cirguito ⇒
CRC →VL ou (72) → circuito aberto ⇒ CRC →IL .
Dualidade fonte-carga:
Seja o circuito apresentado na Fig. 24 em que se deseja
verificar, utilizando o TPP, a potência entregue por cada fonte
e, a seguir, comprovar se a soma das mesmas corresponde à
potência absorvida pela impedância Z1.
V 
V 
 V −V 
S P1 = S F + ∆S L = V1  1  − V1  2  = V1  1 2 
Z
Z
 1
 1
 Z1 
*
*
*
(75)
Para a fonte de tensão V2, utilizando o mesmo raciocínio:
∆S L
SF


*
*
 V2  
 V −V 
V1 * 
S P 2 = V2   +  −V2
= V2  2 1 

(76)
Z1
Z1  

 Z1 


J 2*


I F*
( )
Comprovação da potência total entregue pelas fontes:
V −V
 V −V 
 V −V 
S P = S P1 + S P 2 = V1  1 2  + V2  2 1  = 1 * 2
Z
Z
Z1




1
1
*
*
2
(77)
Observações:
O mesmo resultado é obtido – para SP1 e SP2 – se a carga
(V2 e/ou V1) for substituída, na falta, por um circuito aberto.
Todavia, é vantajoso, por razões óbvias, substituir fonte de
tensão por curto-circuito e fonte de corrente por circuito
aberto.
Aplicar o TPP diretamente a um bipolo passivo implica em
sua adequação valendo-se do Teorema da Substituição. Uma
possibilidade é indicada na Fig. 26(a).
Bipolos Passivos/Simultaneidade de faltas:
Figura 24. Exemplo de aplicação para o “Teorema da Potência de Pré-falta”.
Para a fonte de tensão V1 (Fig. 25):
Figura 26. Sequência para o uso do TPP no cálculo da potência absorvida pela
impedância Z1 da Fig. 24: (a) Substituição de Z1 pela fonte de corrente I1; (b)
Cargas V1 e V2 em falta (curto-circuito); (c) Circuito de reação (E1).
*
I1
SF
*
V −V
 V −V 
S P = 0 + ( − E1 I1* ) = − (V1 − V2 )  1 2  = − 1 * 2
Z1
 Z1 
∆S L
Figura 25. Sequência para o cálculo da potência de pré-falta SP1 para a fonte
de tensão V1 da Fig. 24.
SP1 → Potência complexa total entregue (75), Fig. 25(a);
SF → Potência complexa na falta (73), curto-circuito na carga
V2, Fig. 25(b):
S F = V1 I F* = V1
(V Z )
*
1
(73)
1
E1
2
(78)
O circuito da Fig. 24 é um clássico ordinariamente utilizado
para a comprovação da incompatibilidade entre a potência e o
teorema da superposição. Na literatura vigente, a prova
apresentada para a confirmação dessa divergência baseia-se no
somatório das potências na falta, sendo, portanto, incompleta
ao desconsiderar a PIC. A causa é atribuída, invariavelmente,
ao fato de que a potência não é uma função linear. Não seria
correto afirmar, depois do que foi visto ao longo deste texto,
que a melhor inferência, para essa discrepância, é a dualidade
fonte-carga?
*
V 
CRC → J1 (Fig. 25(c)) ∴∆S L = −V1 J 1* = −V1  2 
 Z1 
(74)
10