Universidade de São Paulo
Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”
Departamento de Ciências Exatas
Matemática Aplicada à Dinâmica Populacional - Lista 2
Conceitos Básicos: derivadas, integrais e aplicações
1. Dada a função f (x) = 1/x, mostrar que f (1 + h) − f (1) = −h/(1 + h). Calcular f (a + h) − f (a).
2. Se f (x) = x2 + 2x, achar
f (a+h)− f (a)
, h ̸= 0,
h
e interpretar o resultado geometricamente.
3. Calcule as seguintes derivadas pela definição (razão do limite incremental):
(a) f (x) = 1 − 4x2
(c) f (x) = (1 − x)/(x + 3)
(b) f (x) = 1/(x + 2)
(d) f (x) = 2x2 − x − 1
4. Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por f (t) = 16t + t 2 , 0 ≤ t ≤ 8, em que o
tempo é dade em segundos e a distância em metros.
(a) Achar a velocidade média durante o intervalo de tempo [b, b + h], 0 ≤ b < 8.
(b) Achar a velocidade média durante os intervalos [3; 3, 1], [3; 3, 01] e [3; 3, 001].
(c) Determinar a velocidade do corpo num instante qualquer t.
(d) Achar a velocidade do corpo no instante t = 3.
(e) Determinar a aceleração no instante t.
5. Um foguete de brinquedo sobe verticalmente de tal forma que, t segundo após a decolagem, está h(t) = −4, 9t 2 /2 + 60t
metros acima do solo.
(a) A que altura está o foguete após 6 segundos?
(b) Qual é a velocidade média do foguete durante os primeiros 6 segundos de voo (entre t = 0 e t = 6)?
(c) Qual é a velocidade instantânea do foguete no momento da decolagem (t = 0)? Qual é a velocidade após 6 segundos?
6. Um estudo realizado em um paciente submetido a um cateterismo revelou que o diâmetro da aorta era aproximadamente
D milı́metros (mm) quando a pressão aórtica era p (mm de mercúrio), em que
D(p) = 0, 0009p2 + 0, 13p + 17, 81,
para 50 ≤ p ≤ 120.
(a) Determine a taxa média de variação do diâmetro da aorta quando p varia de p = 60 para p = 61.
(b) Determine a taxa instantânea de variação do diâmetro D com a pressão aórtica p, para p = 60. O diâmetro está
aumentando ou diminuindo quando p = 60?
(c) Para que valor de p a taxa instantânea de variação de D com p é igual a zero? Qual é o significado fı́sico deste valor
da pressão?
7. O modelo f (t) = t t−t+1
2 +1 mede o nı́vel de oxigênio em um lago, em que t é o tempo decorrido (em semanas) após os resı́duos
orgânicos terem sido despejados no lago. Determine a taxa de variação de f em relação a t quando (a) t = 0, 5, (b) t = 2,
(c) t = 8.
(
)
4t
8. Considere a população de uma cultura de bactérias. O número de bactérias P pode ser modelado por P(t) = 500 1 + 50+t
2
em que t é o tempo (em horas). Determine a taxa de variação da população no instante t = 2.
2
9. Uma fábrica determinou que o custo C (em dólares) para remover p dos poluentes pesados liberados por sua principal
chaminé é representado por C = 80000p
100−p em que 0 ≤ p < 100. Qual é a assı́ntota vertical desta função? O que a assı́ntota
vertical significa para os donos da fábrica?
10. A comissão estadual de caça leva 30 alces para um novo parque estadual. A população N do rebanho é modelada por
N(t) = 10(3+4t)
1+0,1t em que t é o tempo em anos.
a) Determine o tamanho após 5, 10 e 25 anos.
b) De acordo com esse modelo, qual será o tamanho da população-limite do rebanho à medida que o tempo passar?
11. Quando o lixo orgânico é jogado em um lago, a decomposição desse lixo consome oxigênio. Um modelo do nı́vel de
2
oxigênio O ( em que 1 é o nı́vel normal de um lago à medida que o lixo oxida é: O = t t−t+1
2 +1 , t ≥ 0 em que t é o tempo em
semanas.
a) Quando o nı́vel de oxigênio é menor? Qual é esse nı́vel?
b) Quando o nı́vel de oxigênio é maior? Qual é esse nı́vel?
c) Descreva o nı́vel de oxigênio à medida que t aumenta?
12. Em um estudo de progressão de doença fúngica em tangerina a proporção da área da superfı́cie do fruto (y) com a doença
pode ser modelada por y = e−5+0,4x em que x representa o tempo, em dias, após a inoculação.
Pede-se:
(a) Faça um esboço do gráfico da função
(b) Qual deve ser o domı́nio da função para que o modelo tenha interpretação biológica? Justifique sua resposta.
(c) Baseado no item (b) refaça o esboço do gráfico.
Respostas
1. −h/a(a + h).
2. O valor é de 2a + 2 + h e corresponde à taxa de variação da função f (x) quando x vai de a a a + h. Observe que se tomarmos
o limite do resultado quando h → 0, então teremos a derivada da função f (x) avaliada no ponto x = a.
3. (a) −8x
4
(c) − (x+3)
2
1
(b) − (x+2)
2
(d) 4x − 1
4. (a) 16 + 2b + h m/s
(b) 22, 1 m/s; 22, 01 m/s; 22, 001 m/s
(c) 16 + 2t m/s
(d) 22 m/s
(e) 2 m/s
5. (a) 271, 8 m
(b) 45, 3 m/s
(c) 60 m/s e 30, 6 m/s
6. (a) 0, 2389
(b) 0, 2380. Aumentando.
(c) Não existe valor de p entre 50 e 120 que forneça uma variação instantânea igual a zero. Ou seja, o diâmetro está
sempre aumentando conforme aumenta a pressão.
7. f ′ (x) =
t 2 −1
.
(t 2 +1)2
(a) f ′ (0, 5) = −0, 48 u.m./semana.
(b) f ′ (2) = 0, 12 u.m./semana.
(c) f ′ (8) = 63/652 u.m./semana
8. P ′ (t) = 2000(50 − t 2 )/(50 + t 2 )2 . Logo, P ′ (2) = 23000/729 = 31, 55 indivı́duos/h.
9.
8000000
8000000
=
= +∞.
100 − 100−
0+
Logo, a assı́ntota vertical da função é a reta x = 100. Isto significa que o custo para remover todo o poluente (p → 100− )
tende ao infinito.
lim C(p) =
p→100−
10. (a) N(5) ≈ 153 alces; N(10) ≈ 215 alces; N(25) ≈ 294 alces.
40
(b) lim N(t) =
= 400 alces.
t→+∞
0, 1
11. Sugestão: encontre os pontos crı́ticos e classifique-os.
(a) O nı́vel é o menor em t = 1 semana. O valor do menor nı́vel é f (1) = 0, 5 u.m.
(b) O seu máximo ocorre em t = 0, quando f (0) = 1 u.m. é o nı́vel de oxigênio.
(c) Com o cálculo da derivada de f (t) em relação ao tempo, observamos que: o nı́vel de oxigênio decresce no intervalo
t ∈ [0, 1] e, depois, volta a crescer. O cálculo da assı́ntota horizontal nos permite dizer que o nı́vel cresce de maneira
limitada, tendendo a 1 u.m. quando o tempo tende a infinito positivo.
12. (a) http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3De%5E%7B-5%2B0%2C4x%7D%2C+x+from+-1...1+
(b) O domı́nio deve ser o conjunto x ∈ [0, +∞). Não há população de fungo antes da inoculação, ou seja, o tempo não
pode ser negativo.
(c) http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3De%5E%7B-5%2B0%2C4x%7D%2C+x+from+0..1+