Capítulo 6: Escoamento Externo
Hidrodinâmica
Conceitos fundamentais
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Fluido
• É qualquer substância que se deforma
continuamente quando submetido a uma
tensão de cisalhamento, ou seja, ele escoa.
• Fluidos existem como líquido (água,
gasolina), gás (ar, hidrogênio) e como uma
combinação de líquido e gás (vapor úmido).
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Propriedades de um fluido
• São várias as propriedades que permitem
distinguir os fluidos e que são independentes
do seu movimento:
– Densidade;
– Pressão de vapor;
– Tensão superficial (atração molecular de um
líquido próximo de uma superfície ou outro fluido);
– Velocidade do som (velocidade na qual a onda
acústica se movimenta no fluido).
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Fluidos incompressíveis x compressíveis
• Fluidos compressíveis
– São aqueles que apresentam variação na
densidade quando escoam: usualmente os
gases.
• Fluidos incompressíveis
– São aqueles que não apresentam variação da
densidade quando escoam (densidade constante
ao longo do escoamento): usualmente líquidos e
alguns gases.
• Neste curso serão considerados apenas os
fluidos incompressíveis.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento incompressível x
compressível
• A diferença entre o escoamento incompressível e
compressível pode ser verificado através do
número de Mach:
V
M=
c
• Onde V é a velocidade do fluido e c é a velocidade
do som.
• Esta equação permite determinar qual o
escoamento de um fluido.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento incompressível x
compressível
• Gases:
V
M=
c
– Se M < 0,3 ⇒ escoamento é incompressível.
– Se M > 0,3⇒
⇒ escoamento é compressível.
– M = 1,0 ⇒ escoamento é crítico (barreira do som no vôo
de aeronaves)
– Se M > 1,0 ⇒ escoamento é supersônico
• Líquidos: o escoamento será incompressível pois a
velocidade de som dos líquidos é muito grande:
– Velocidade do som na água é cerca de 1.500 m/s.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento incompressível x
compressível
• Escoamentos incompressíveis de gases:
– Escoamentos de ar em sistemas de ar condicionado e de
aquecimento;
– Escoamentos em torno de automóveis;
– Escoamento de ar em volta de edifícios.
• Escoamentos compressíveis de gases
– Aerodinâmica de aeronaves de alta velocidade;
– Escoamento de ar através de turbinas a jato;
– Escoamento de vapor através de uma turbina em usinas
termoelétricas.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Movimento de um fluido
Pode ser analisado segundo duas descrições:
• Lagrangiana: é a descrição de movimento na qual as
partículas individuais são observadas em função do
tempo.
– Torna-se uma tarefa bastante difícil quando o número de
partículas é muito grande, como no escoamento de um
fluido.
• Euleriana: é a descrição de movimento na qual as
propriedades de escoamento (como a velocidade) são
funções do espaço e do tempo.
– A região de escoamento considerada é o campo de
escoamento.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Movimento de um fluido
Exemplo: uma empresa de engenharia é contratada para fazer
recomendações para melhorar o escoamento do tráfego de
uma grande cidade. A empresa tem duas alternativas:
• Contratar estudantes universitários para dirigir automóveis
pela cidade registrando as observações necessárias:
abordagem lagrangiana.
• Ou contratar estudantes universitários para ficar em
interseções e registrar as informações: abordagem euleriana.
• Uma interpretação correta de cada conjunto deverá levar ao
mesmo conjunto de recomendações, ou seja, à mesma
solução.
No curso introdutório de fluidos se usa a
abordagem euleriana.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Campo de escoamento
• É uma representação do movimento do fluido no
espaço em diferentes instantes.
• A propriedade que descreve o campo de escoamento
é a velocidade.
• A velocidade tem componentes nas três
coordenadas cartesianas (x, y, z) e pode variar com o
tempo.
• Assim, o campo de escoamento é como uma
fotografia do movimento do conjunto de partículas e
suas velocidades no instante t.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Campo de escoamento
Linhas de corrente: definidas como a linha contínua
que é tangente aos vetores velocidade ao longo do
escoamento num dado instante t.
As linhas de corrente são sempre paralelas ao
escoamento.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento externo X interno
• Escoamento externo é aquele que ocorre
externamente a uma superfície sólida, onde o fluido
está em contato com uma única fronteira sólida;
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento Externo
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento externo X interno
• Escoamento externo é aquele que ocorre
externamente a uma superfície sólida, onde o fluido
está em contato com uma única fronteira sólida;
• Escoamento interno é aquele que possui fronteiras
limitando o campo de escoamento;
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento Interno
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento externo X interno
• Escoamento externo é aquele que ocorre
externamente a uma superfície sólida, onde o fluido
está em contato com uma única fronteira sólida;
• Escoamento interno é aquele que possui fronteiras
limitando o campo de escoamento:
– No escoamento interno, os efeitos viscosos causam perdas
energéticas substanciais e são responsáveis por grande
parte da energia necessária para transportar óleo e gás em
tubulações.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Força externa total no VC
A força externa total atuando em um VC é:
∑F
VC
∑F
VC
= F grav + Fpres + Fvis
= ρgV + ∫∫ (-n) P dA + ∫∫τ dA
SC
EM-524 Fenômenos de Transporte
SC
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Tensão de cisalhamento
Ao encontrar uma fronteira sólida, o fluido se
deforma devido à aplicação de forças de
cisalhamento (que agem paralelamente às
superfícies do fluido).
Enquanto esta força estiver atuando, o fluido
continuará se deformando.
Esta força é resultado de uma tensão (de
cisalhamento) agindo sobre o fluido, que exerce
uma oposição ao movimento do fluido.
Energia deve ser fornecida para vencer esta
resistência e manter o escoamento.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Tensão de cisalhamento
• Existem fluidos em que a relação entre a tensão
de cisalhamento e a taxa de deformação é linear e
pode ser expressa por:
Taxa de deformação
∂u
τx = µ
∂y
Viscosidade dinâmica
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Tensão de cisalhamento
Viscosidade dinâmica
∂u
τx = µ
∂y
Taxa de deformação
Gradiente de velocidade
• A taxa de deformação é proporcional à variação
da velocidade do fluido na direção normal ao
escoamento.
• A taxa de deformação é diferente para diferentes
fluidos.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Viscosidade dinâmica
• É uma propriedade intensiva, também conhecida
como viscosidade absoluta.
• Como relaciona tensão de cisalhamento e
velocidade local está diretamente associada com o
transporte de momento e portanto é uma
propriedade de transporte.
• No SI : N.s/m2
• Apresenta valores tabelados variando com a
temperatura e da pressão:
– Varia muito com a temperatura e pouco com a pressão.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Fluidos newtonianos X não newtonianos
• Quando existe a relação linear entre a tensão de
cisalhamento e a taxa de deformação resultante, os
fluidos são chamados de newtonianos:
– Água, óleos, etc.
• Neste caso a expressão para determinar a tensão
de cisalhamento é válida.
• Nesse curso só trabalharemos com fluidos
newtonianos.
• Quando o fluido não apresenta uma relação linear
entre a tensão de cisalhamento e a taxa de
deformação são conhecidos como fluidos não
newtonianos:
– Pastas de dentes, tintas, etc.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Gradiente de velocidade
• Devido o princípio da aderência (ou do não
escorregamento) o fluido em contato com uma
superfície sólida (por exemplo uma mesa) possui a
velocidade da superfície.
• Na medida em que afasta da parede, a velocidade
do fluido relativa à parede aumenta, variando desde
a velocidade da superfície (zero) até um valor
máximo finito (U).
• Essa variação de velocidade é chamado de perfil de
velocidade ou gradiente de velocidade.
• A tensão de cisalhamento age no sentido de resistir
ao movimento do fluido, sendo máxima na
superfície onde não existe movimento relativo.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Camada limite hidrodinâmica
• É uma camada relativamente fina onde os efeitos
das tensões viscosas de cisalhamento são
preponderantes (ou seja, o escoamento é viscoso).
• Logo, é na camada limite que existe o gradiente de
velocidade.
• A espessura da camada limite, δ, corresponde a
distância a partir da qual o valor da velocidade do
fluido corresponde a uma fração da velocidade a
montante U.
• Logo: u = 0 em y = 0
u = 0,99 U em y = δ
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
u = 0,99U em y = δ
δ
u = 0 em y = 0
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Fora da camada limite
• Fora da camada limite o fluido escoa com
velocidade U, paralela à superfície sólida, como se
ela não existisse.
• Por isto, fora da camada limite os efeitos viscosos
são desprezíveis e o escoamento pode ser tratado
como sem viscosidade ou invíscido (ττx = 0).
• Nesta extremidade da camada limite em que o
escoamento é não-viscoso, a equação de Bernoulli
pode ser válida.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Sem Viscosidade
Com Viscosidade
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento na camada limite
• Experimentos mostram que existem dois regimes de
escoamento na camada limite: laminar e turbulento.
• Escoamento laminar: fortemente ordenado
– As partículas mantém seu padrão de comportamento;
– O mecanismo de difusão é somente o molecular;
– O escoamento se processa na forma de “lâminas”
sobrepostas.
• Escoamento turbulento: fortemente desordenado
– As partículas não apresentam um padrão de comportamento;
– O mecanismo de difusão não é somente o molecular;
– Ocorre difusão devido ao movimento desordenado das
partículas – choques.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Laminar x Turbulento
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento na camada limite
• Os regimes de escoamento laminar e turbulento
podem ser caracterizados considerando-se a
relação entre a força de inércia numa partícula fluida
e a força viscosa agindo nessa partícula fluida.
• Essa relação é adimensional e é conhecida como
Número de Reynolds (Re).
3 2
ρL U
força inercial M.a
ρUL UL
L
Re =
=
=
=
=
força viscosa τ.A µ U L2
µ
ν
L
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento na camada limite
O regime de escoamento depende de três parâmetros
físicos:
• Escala de comprimento do campo de escoamento:
– Como por exemplo o comprimento da placa, o diâmetro de
um duto, etc..
– Se essa escala de comprimento é suficientemente grande, o
distúrbio de escoamento pode aumentar, tornando-o
turbulento.
• Escala de velocidade:
– Para uma velocidade suficientemente alta, o escoamento
pode ser turbulento.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento na camada limite
O regime de escoamento depende de três parâmetros
físicos:
• Viscosidade cinemática: razão entre a viscosidade
dinâmica e a densidade
µ
ν=
ρ
– A viscosidade alta tende a amortecer as perturbações,
dissipando sua energia, evitando o movimento
desordenado.
– Para uma viscosidade cinemática relativamente pequena, o
escoamento pode ser turbulento.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento na camada limite
• A combinação dos parâmetros comprimento,
velocidade e densidade referem-se à força inercial
numa partícula fluida.
• A combinação dos parâmetros comprimento,
velocidade e viscosidade referem-se à força viscosa
agindo nesta partícula fluida.
• Estes parâmetros podem ser combinados em um
único parâmetro, conhecido como Número de
Reynolds:
ρUL UL
Re =
=
µ
ν
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Número de Reynolds
ρUL UL
Re =
=
µ
ν
Efeito inercial
Efeito viscoso
Re << 1, efeitos viscosos preponderantes
Re >> 1, efeitos inerciais preponderantes
• Existe um valor crítico de Re acima do qual o
escoamento será turbulento e abaixo do qual será
laminar.
• Este valor é conhecido como número de Reynolds
de transição ou crítico.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento na camada limite
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento na camada limite
• Na camada limite a pressão é constante ao longo
da sua espessura: Py=0 = Py=δδ
• Na extremidade da camada limite o escoamento é
não-viscoso e Equação de Bernoulli pode ser
válida. Assim, a pressão Py=δδ pode ser encontrada
caso a velocidade U na região não-viscosa seja
conhecida:
Py =δ = (constante) EM-524 Fenômenos de Transporte
ρU
2
2
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento na camada limite
• A variação da pressão na direção do escoamento
é conhecida caso a variação da velocidade U na
direção x também seja conhecida.
1 dP
dU
= −U
ρ dx
dx
• O termo dP/dx é chamado de gradiente de
pressão do escoamento.
• Para o caso do escoamento próximo à superfície
sólida, dU/dx = 0 e o gradiente de pressão é zero.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Camada limite térmica
• Caso a superfície sólida esteja a uma temperatura
diferente da corrente livre de escoamento (fora da
camada limite), uma camada limite térmica também
será formada.
• Sua taxa de desenvolvimento e espessura são
semelhantes aos da camada limite hidrodinâmica.
• A relação entre as camadas limite térmica e
hidrodinâmica é indicada pelo número de Prandtl:
ν
Pr =
α
• Pr de vários fluidos está tabelado (Tabela A-8 e outras).
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Camada limite térmica
N. Prandtl, Pr
ν δ
Pr = =
α δT
EM-524 Fenômenos de Transporte
Onde ν é a viscosidade cinemática e α é a
difusividade térmica.
O Pr pode ser interpretado como a
razão entre as espessuras das camadas
limites hidrodinâmica e térmica.
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento em regime permanente X
transiente
• No escoamento em regime permanente não há
alteração das propriedades da partícula ao longo
do tempo.
– Logo, as quantidades de interesse no escoamento de
um fluido (como por exemplo velocidade, pressão e
densidade) são independentes do tempo.
• No escoamento em regime transiente as
propriedades da partícula se alteram ao longo do
tempo.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento natural X forçado
• Natural: quando forças naturais (gravidade)
movimentam o fluido e normalmente não há
velocidade de movimento.
• Forçado: quando há uma fonte de energia
externa que promove o movimento do fluido,
havendo uma velocidade do fluido.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
FIM !
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero