FUNÇÃO AFIM
ANDRE LUIZ AULA: 03/05
Função Afim
Def.: Função Afim
Uma função f:IR→IR (f de IR em IR) a função
f(x)= ax + b quando existem números reais
“a” e “b” para todo x Є IR, com a≠0.
CASOS PARTICULARES:
> Função Linear: f:IR→IR definida por f(x)=ax
para todo x Є IR, com a≠0.
Função Afim
CASOS PARTICULARES:
Função Linear: f:IR→IR definida por f(x)=ax
para todo x Є IR, com a≠0.
O gráfico da função Linear f(x)=ax passa pela
origem.
A imagem Im = IR
Observe algumas funções Lineares e sua
representação gráfica utilizando Winplot ou
Geogebra (
Função Afim
CASOS PARTICULARES:
1-Função Linear: f:IR→IR definida por f(x)=ax
para todo x Є IR, com a≠0.
Exemplo: Observe os gráficos das funções :
a) F(x) = 2x
b) Y= - 2x
Função Afim
CASOS PARTICULARES:
2-Função Identidade: Uma aplicação f:IR→IR
definida por f(x)=x para todo x Є IR.
A função identidade é uma reta que contém a
bissetriz dos quadrantes ímpares.
Exemplo: Observe o gráfico da função:
a) F(x) = x
Função Afim
CASOS PARTICULARES:
3-Função Constante: Uma aplicação f:IR→IR
definida por f(x)= c para todo x Є IR.
A função constante ocorre qdo a cada
elemento x Є IR, associa sempre a um mesmo
elemento c Є IR
Exemplo: Observe o gráfico da função:
a) F(x) = 4
Função Afim
Def.: Função Afim
Uma função f:IR→IR (f de IR em IR) a função
f(x)= ax + b quando existem números reais
“a” e “b” para todo x Є IR, com a≠0.
Demonstração:
Sejam A, B e C três pontos quaisquer,
distintos dois a dois, do gráfico cartesiano da
função F(x)=ax+b (a≠0) e (xA,yA), (xB, yB) e (xC,
yC), as coordenadas desses pontos.
Função Afim
Provamos que os pontos A, B e C pertencem a
mesma reta, para isso mostramos que os
ΔABD e ΔBCE são semelhantes.
(xA, yA) Є f → yA=axA + b (I)
(xB, yB) Є f → yB=axB + b (II)
(xc, yc) Є f → yC=axc + b (III)
Subtraindo membro a membro
temos:
…cálculo será
apresentado em sala.
yC – yB = a(xC – xB)
a=Δy/Δx
yB – yA = a(xB – xA)
Função Afim
Exemplos:
1- Determine o conjunto solução
e a
representação gráfica do sistema definido
y  x  3

através das funções 
 2x  4
 y 
3
Função Afim
Exemplos:
2- Obtenha a equação da reta que passa pelos
pontos A(1,2) e B(3,-1)
.... Continuação “FUNÇÃO AFIM”
ANDRE LUIZ AULA: 10/05
Função Afim
IMAGEM
O conjunto imagem da função afim f:IR →IR
definida por f(x)=ax+b, com a≠0, é IR.
Qualquer que seja f(x)Є IR, existe
tal que:
y b
x
 IR
a
y b
y b
f ( x)  ax  b  f (
)  a.
b  y
a
a
Função Afim
COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM
Seja a função definida por f(x) = ax + b, temos
“a” o coeficiente angular ou declevidade da
reta representada no plano cartesiano; e “b”
o coeficiente linear, ou seja, corresponde o
ponto em que a reta intercepta o eixo das
ordenadas.
Se a > 0 a reta é crescente
Se a < 0 a reta é descrescente
Se a = 0 recai nas particularidades
apresentadas anteriormente.
Função Afim
COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM
Exemplo:
Y=2x -1
representa que a reta intercepta o
eixo das ordenadas no ponto -1 e tem
coeficiente angular a = 2
Veja o gráfico no software “geogebra”
Função Afim
COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM
Exemplo:
Obtenha a equação da reta que passa pelos
ponto ( 1, 3) e apresenta coeficiente angular
igual a 2.
y= ax + b
Logo:
3 = 2.1 + b
y=2x + 1
b=1
Função Afim
COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM
Exemplo:
O custo C de produção de x litros de uma
certa substância é dado por uma função
linear de x, com x>= 0, cujo gráfico está
representado abaixo.Nessas condições, o
custo de R$700,00 corresponde a produção
de quantos litros?
Resp. 20 L
Função Afim
ZERO DA FUNÇÃO AFIM
Zero de uma função é todo número x cuja
imagem é nula, isto é, f(x)=0
F(x) = ax + b
F(x) = 0 → x = -b/a
Função Afim
SINAL DE UMA FUNÇÃO AFIM
Seja a função f:A→B, definida por y = f(x). Então
para quais valores de x teremos:
F(x) > 0 ?
F(x) < 0 ?
F(x) = 0 ?
Isso significa estudar o sinal da função.
Consideremos que x= -b/a, zero da função afim
f(x)=ax + b, é o valor de x para qual f(x) =0,
então para quais valores tem f(x)>0 ou f(x)<0.
Função Afim
SINAL DE UMA FUNÇÃO AFIM
Conideremos o coeficiente angular:
 a>0
(função crescente)
F(x)= ax +b >0 ↔ ax > -b ↔ x > -b/a
F(x)=ax + b < 0 ↔ ax < -b ↔ x < -b/a
Respresentação geométrica
-b/a
+
“c/a”
“m/a”
0
Função Afim
SINAL DE UMA FUNÇÃO AFIM
Conideremos o coeficiente angular:
 a<0
( função decrescente)
F(x)= ax + b >0 ↔ ax > -b ↔ x < -b/a
F(x)= ax + b < 0 ↔ ax < -b ↔ x > -b/a
Respresentação geométrica
+
-b/a
“c/a”
“m/a”
0
Função Afim
SINAL DE UMA FUNÇÃO AFIM
Exemplo: Estudar o sinal da função y=2x – 1
Respresentação geométrica
-b/a
+
“c/a”
“m/a”
½
Para x > ½ f(x) > 0
Para x < ½ f(x) < 0
Para x = ½ f(x) =0
Função Afim
SINAL DE UMA FUNÇÃO AFIM
Exemplo: Estudar o sinal da função y=-2x + 4
Respresentação geométrica
+
-b/a
“c/a”
“m/a”
2
Para x > 2 f(x) < 0
Para x < 2 f(x) > 0
Para x = 2 f(x) =0