Universidade Comunitária da Região de Chapecó
Centro Tecnológico
FUNÇÕES
Profª. Mestre Ojanes Maria Bagio Daga
Chapecó/SC, 2015
FUNÇÕES:
Expressa o relacionamento entre duas variáveis. Se duas variáveis “x” e “y” estão relacionadas
de forma que para cada valor atribuído a “x”, existe um único valor associado a “y”, então
dizemos que “y” é uma função de “x” e escrevemos y = f(x).
y = f(x)
Variável independente
Variável dependente
Se tivermos: y = x+1
Para cada valor que x assume, podemos determinar o valor da variável y. Assim, se:
x2
x  10
x  3,45



Portanto, em y = f(x) podemos caracterizar alguns conjuntos associados às variáveis
envolvidas:
Domínio: é o conjunto de todos os valores que se pode atribuir a variável x de modo que exista
a variável y.
Imagem: são os valores da variável “y”, obtidos quando na lei da função substituímos os
valores da variável “x”.
Esquematicamente:
y=x+1
1
2
2
3
5
Assim:
Domínio = {1, 2}
Imagem = {2, 3}
1) Sejam A  1,
2, 3, 4, 5, B   e f : A  B definida pela regra que a cada
elemento de A faz corresponder a seu dobro. Então:
A regra que define f é =
D(f) =
Im(f) =
2) Determinar o domínio das funções abaixo:
3 x
x 5
a) f (x)  x  5
b) f ( x ) 
c) f (x)  x  1
d) f ( x)  3 x  1
3) Determine o domínio e a imagem das funções:
a) f ( x) 
1
x
b) f ( x) 
x
c) f ( x)  x
Funções especiais:
Função Constante:
É toda função do tipo f ( x)  k , que associa a qualquer número real x um mesmo
número real k. A representação gráfica será sempre uma reta paralela ao eixo dos x, passando
por y = k.
O domínio da função f ( x)  k é D( f )   .
O conjunto imagem é o conjunto unitário Im( f )  k.
Exemplos:
1) Represente graficamente as funções abaixo:
a) y  2
Solução:
b) f ( x)  3
Função Identidade:
É a função f :    definida por f ( x)  x .
O gráfico desta função é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes:
O domínio de f ( x)  x é D( f )   .
O conjunto imagem é Im( f )   .
Função de 1º grau ou Função Linear:
A função linear se caracteriza por representar um crescimento ou decrescimento constantes.
Uma função é linear se qualquer mudança na variável independente causa uma mudança
proporcional na variável dependente.
Definição: Uma função f de  em  recebe o nome de função linear, definida pela lei
f  x  ax  b , com a e b pertencentes a , a  0 . Os valores a e b são os coeficientes
numéricos da função e são chamados respectivamente, de coeficiente angular e coeficiente
linear. Simbolicamente temos:
f : R  R, sen do y  ax  b ; com a  0
Quando a > 0, a função f  x  ax  b é crescente e quando a < 0, a função
f  x  ax  b é decrescente.
Raiz ou zero da função: é todo o número x cuja imagem é nula, isto é, f(x) = 0. Assim, para
determinarmos o zero da função, basta resolver a equação do 1º grau,
ax + b = 0, que apresenta uma única solução x 
b
a
O zero ou a raiz da função representa o ponto de interseção do gráfico com o eixo x,
b 
, 0 .
 a

isto é, P  
Gráfico
Seja f uma função definida num subconjunto D da reta. O conjunto dos pontos (x, y) do
plano em que x  D e y = f(x) constitui a representação gráfica da função f. Uma maneira fácil
de traçar o gráfico de uma reta é achar as suas interseções. As interseções de uma reta são os
pontos onde a reta corta os eixos. Assim, a interseção-y é o ponto que se determina, tornandose x = 0 na equação da reta. Do mesmo modo, a interseção-x é o ponto que se determina,
tornando-se y = 0 na equação da reta.
Exemplo:
1) Considere a função
a) y = 3x + 4
b) f(x)= 2x – 4
c) y = x + 4
d) y = -2x + 4
e) y = -x + 1, calcular a raiz ou zero da função e fazer o seu gráfico.
Função do 2º grau ou Função Quadrática:
A função f:   dada por f  x  ax 2  bx  c , com a, b, c reais e a  0 , denomina-se
função do 2º grau, ou função quadrática.
Gráfico
O gráfico de uma função do 2º grau é uma curva aberta chamada parábola. A parábola
poderá ter concavidade voltada para cima ou para baixo.
se a  0 , a concavidade é voltada para cima.
se a  0 , a concavidade é voltada para baixo.
Zeros (ou raízes)
Denominam-se zeros ou raízes de uma função de 2º grau os valores de x que anulam a
função, ou seja, que tornam f  x  0 .
Assim, para determinar os zeros ou raízes de uma função do 2º grau devemos resolver
a equação do 2º grau ax 2  bx  c  0 , que é resolvida através de Bháskara x 
onde   b 2  4ac .
se   0 : a função f  x  ax 2  bx  c tem duas raízes reais desiguais;
se   0 : a função f  x  ax 2  bx  c tem duas raízes reais iguais;
se   0 : a função f  x  ax 2  bx  c não tem raízes reais.
a>0
b 
,
2a
a<0
Interpretação Gráfica
A representação do gráfico de uma função do tipo f  x  ax 2  bx  c , depende do
valor do coeficiente a e também do valor do  (delta ou discriminante).
Estudo do Vértice
A parábola, que representa o gráfico da função f  x  ax 2  bx  c , passa por um
b

ponto V, chamado vértice, cujas coordenadas são x v  
(abscissa) e y v  
2a
4a
(ordenada).

 b
V   , 
 2a 4a 
Conjunto Imagem da função quadrática
O domínio da função quadrática são todos os números reais: D = R e, usando a
ordenada do vértice, vamos obter o conjunto imagem de uma função do 2º grau. Para isso
vejamos alguns exemplos:
a) da função y  x 2  2x  3 , observando o gráfico, verificamos que:
Im  y  / y  4
b) da função y   x 2  2x  1, observando o gráfico, verificamos que:
Im   y  / y  0
Dos exemplos dados, podemos concluir que:




4a 




4a 
Se a  0 , então Im  y  / y  
Se a  0 , então Im  y  / y  
Valor Mínimo ou Máximo da Função do 2º Grau
Observando os exemplos anteriores podemos perceber que:

Se a  0 , y v  
é o valor mínimo
4a

Se a  0 , y v  
é o valor máximo
4a
Exemplo:
Na função y   x 2  4x  5 , analise a concavidade da parábola, determine o ponto
onde a parábola corta o eixo y, calcule as raízes (ou zero), determine o vértice, o domínio e a
imagem e esboce o seu gráfico.
Solução:
Função Exponencial:
Definição. Dado um número real a, tal que 0 < a  1, chamamos função exponencial de base a,
a função f de R em R que associa a cada x real o número ax.
y = ax ou f(x) = ax
Exemplos:
1) y = 2x
2) y = (1/2)x
Gráficos:
Características da função exponencial: y = ax
a) corta o eixo y em (0, 1);
b) função crescente quando a > 1;
c) função decrescente quando 0 < a < 1;
d) a função exponencial não possui raiz, logo o seu gráfico não corta o eixo x;
e) o domínio desta função são os números reais, ou seja, D = R e sua imagem são os números
reais positivos, ou seja: Im = {y  R/ y > 0}.
Exemplos:
1) Trace o gráfico da função y  3x .
Solução:
Função Logarítmica:
Definição. Dado um número real a (0 < a  1), chamamos de função logarítmica de base a, a
função que associa a cada x o número log a x .
y = log a x ou f(x) = log a x
Exemplos:
a) y = log 2 x
b) y = log 1 x
2
Gráficos
Características da função logarítmica: y = log a x
a) função crescente se a > 1;
b) função decrescente se 0 < a < 1;
c) o gráfico corta o eixo x no ponto (1, 0);
d) o gráfico não corta o eixo y;
e) f(x) = log a x é inversa de g(x) = ax, assim o domínio da primeira é igual à imagem da
segunda e vice-versa, portanto: D = {x  R; x > 0} e Im = R.
Exercícios
Lista 1:
1. Dada a função f(x)  5x  15 , pede-se:
a) o domínio da função;
b) o valor de f(4);
c) para que valores de “x” tem-se f(x) = 25?
2. Dada a função f (x)  x 2  8x  15 , determine:
a) o domínio da função;
b) a imagem do elemento 3;
c) qual o elemento do domínio que tem como imagem o zero?
3. Considere a função y 
x  6 , determine:
a) o domínio da função;
b) a imagem do elemento 15;
c) o elemento do domínio que tem como imagem o valor 4;
d) a imagem do elemento 2.
4. Considere a função f ( x ) 
3x  2
, determine:
x 1
a) o domínio;
b) a imagem do elemento 3;
c) qual o elemento do domínio que tem como imagem o valor 3?
5. Seja a função f (x)  x 2  x  12 , determine:
a) o domínio;
b) a imagem do elemento zero;
c) a imagem do elemento -1/3.
6. Seja a função f ( x ) 
x4
, determine:
3x  2
a) o domínio;
b) o elemento do domínio cuja imagem é 3;
c) a imagem do elemento 7.
7. Considere a função y  2x  5 , determine:
a) o domínio;
b) a imagem do elemento -3;
c) a imagem do elemento 3;
d) o elemento do domínio cuja imagem é -3.
8) Determine o domínio das funções abaixo:
a) f ( x)  x 2  3x  2
b) y 
c) y 
x3
x2
x6
d) y  4 4 x  8
e) y 
x 1
x 3
f)
3
k) y 
x
g) y 
2x 1
 5 x  10
h) y  6  5 x  7
i)
3
x 2 1
j) y 
 3x  1
7 x  10
l) y 
my
3x  1
x2  4
2x  1
x  5x  6
2
8
x
4 x
9) Construir o gráfico das seguintes funções, determinando o domínio e a imagem:
a) f ( x)  x 2  8x  14
10) Se f ( x) 
x2  4
, achar:
x 1
a) f (0)
b) f (2)
1
2
e) f  
11) Se f ( x) 
b) f ( x)   x 2  4x  1
1
t 
d) f ( x  2)
c) f  
f) f (t 2 )
3x  1
, determine:
x7
2
5 f (1)  2 f (0)  3 f (5)
a)
7
  1 
b)  f    
  2 
c) f (3x  2)
d) f (t )  f  
e)
f (h)  f (0)
h
 4
t
f) f ( f (5))
Respostas:
1. a) R
b) 5
c) 8
2. a) R
b) 0
c) x = 5 ou x = 3
3. a) {x R/ x  6}
b) 3
4. a) {x R/ x  -1}
5. a) R
b) -12
c) 22
b) 7/4
d) não existe
c) não existe
c) -110/9
6. a) {x R/ x  2/3}
b) 5/4
7. a) {x R/ x  -5/2}
b) não existe
c) 11/19
c)  3,31
d) 2
b) {x R/ x  -2}
8) a) R
d) {x R/ x  -2}
e) {x R/ x > 3}
g) {x R/ x < 2}
h) {x R/ x  7/5}
j) {x R/ x  -10/7}
c) {x R/ x  6}
f) R
i) R
k) {x R/ x  ± 2}
l) {x R/ x3 e x2}
m) {x R/ x < 4}
10) a) 4
d)
x 2  4x
x 3
11) a) 
d)
b) 0
e)
263
98
 22t 2  38t  88
 7t 2  53t  28
Lista 3:
15
2
c)
1  4t 2
t t2
f)
t4  4
t 2 1
b)
1
9
c)
9x  7
3x  9
e)
20
7(h  7)
f)
11
7
8) Calcule o zero de cada função:
a) f x   2 x  5 3
b) y  3x  6
c) f x   4  2 x
9) Fazer o gráfico de cada função abaixo:
a) y  3x  4
b) y  3  x
c) f x   3 
1
x
2
e) y  4 x  1
f) y  2 x  5
d) y 
x
6
12) Para cada função abaixo, analise a concavidade, determine o ponto onde a parábola corta
o eixo y , calcule as raízes, determine o vértice caracterizando se o mesmo é ponto de
Máximo ou de Mínimo, determine o domínio e a imagem, esboce o seu gráfico.
y  x2  2x  1
y  2x2  8
y  x2  3
y   x 2  4x  4
y  x2  x
y  3x 2
17) Trace num mesmo sistema de eixos, o esboço dos gráficos das funções abaixo:
a) f ( x)  2
x
b) h( x)  log 2 x
18) Esboce o gráfico das funções:
a)
y  log 3 x
b)
y  log 1 x
3
Respostas:
1) y = 3x + 5
2) y=4x + 9
4) y = 2x – 8
5) y = -7/2x + ½
7) m < -1/3
8) a) x = 5/2
10) x < 1/3
11) m < 2
12)
a) a> 0 – concavidade para cima;
gráfico corta o eixo y no ponto (0, 1);
raízes: x’ = x” = -1, ou seja duas raízes reais e iguais,
portanto o gráfico corta o eixo x apenas no ponto (-1, 0);
vértice: V(-1, 0) portanto ponto de mínimo;
D=R
e Im = {y  R; y  0}
b) a> 0 – concavidade para cima;
gráfico corta o eixo y no ponto (0, -8);
raízes: x’ = -2 e x” = 2, ou seja duas raízes reais e distintas,
portanto o gráfico corta o eixo x nos pontos (-2, 0) e (2, 0);
vértice: V(0, -8) portanto ponto de mínimo;
D = R e Im = {y  R; y  -8}
c) a> 0 – concavidade para cima;
gráfico corta o eixo y no ponto (0, 3);
raízes: não existem raízes reais,
portanto o gráfico não corta o eixo x;
vértice: V(0, 3) portanto ponto de mínimo;
D = R e Im = {y  R; y  3}
3) y=3x + 8
6) b = 3
b) x = 2
c) x = 2
d) a< 0 – concavidade para baixo;
gráfico corta o eixo y no ponto (0, -4);
raízes: x’ = x” = -2, ou seja duas raízes reais e iguais,
portanto o gráfico corta o eixo x apenas no ponto (-2, 0);
vértice: V(-2, 0) portanto ponto de máximo;
D = R e Im = {y  R; y  0}
e) a< 0 – concavidade para baixo;
gráfico corta o eixo y no ponto (0, 0);
raízes: x’ = -1 e x” = 0, ou seja duas raízes reais e distintas,
portanto o gráfico corta o eixo x nos pontos (-1, 0) e (0, 0);
vértice: V(-1/2, 1/4) portanto ponto de máximo;
D=R
Im = {y  R; y  1/4}
f) a> 0 – concavidade para cima;
gráfico corta o eixo y no ponto (0, 0);
raízes: x’ = x” = 0, ou seja duas raízes reais e iguais,
portanto o gráfico corta o eixo x apenas no ponto (0, 0);
vértice: V(0, 0) portanto ponto de mínimo;
D=R e
Im = {y  R; y  0}
13) m  3/2
14) m < ½
15) a) k < 1
19) a) 5
b) k = 1
c) k > 1
b) 4
c) 0
b) D = R e Im  R
20) a) D = R e Im  R
c) D = R e Im  y  R / y  1
d) 3/5
