1
CÁLCULO NUMÉRICO
Semana 4
Zeros das Funções
Professor Luciano Nóbrega
UNIDADE 1
www.professorlucianonobrega.wordpress.com
2
ZEROS DAS FUNÇÕES
INTRODUÇÃO
Nas diversas áreas científicas, frequentemente,
nos deparamos com problemas envolvendo a resolução de equações do
Dizemos que x’ é um zero da função f(x) se f(x’) = 0.
tipo f(x) = 0.
f(x)
Como por exemplo:
F
Zeros reais representados
sobre o eixo das abscissas
Eixo das ordenadas
Estruturas
x'
+FV
-FH
+FH
-FV
Em cada nó :
 FH = 0
 FV = 0
x"
x
Eixo das abscissas
EXEMPLOS:
Vamos relembrar alguns métodos
para determinarmos os “zeros” das funções:
f) f(x) = ax4 + bx2 +c
a) f(x) = ax + b
b) f(x) = ax2 + bx + c g) f(x) = 3x3 – 5x2 + x – 6
sendo x’ = 2
c) f(x) = ax2 + bx
h) f(x) = x3 +2x2 + x +2
d) f(x) = ax2 + c
e) f(x) = ax3 + bx2 + cx i) f(x) = x4 – x3 – 7x2 +x + 6,
sendo x’ = –2 e x” = 1
www.professorlucianonobrega.wordpress.com
3
ZEROS DAS FUNÇÕES
MÉTODOS NUMÉRICOS
Vamos estabelecer algumas etapas:
1º) Passar todos os termos da equação para o 1º membro (lado esquerdo da equação),
ficando assim o 2º membro (lado direito) igual a zero.
2º) Procurar um intervalo que contém o zero da função.
3º) Fazer o refinamento das raízes utilizando um método de refinamento.
EXEMPLO: Seja f(x) = x2 – 2 = 0, determine um intervalo que contenha a raiz.
f(x)
a
x'
b x
Podemos, então, anunciar o TEOREMA de BOLZANO:
Sendo f(x) contínua em um intervalo [a, b], se f(a).f(b) < 0 então
existe pelo menos um ponto x = x’ entre “a” e “b” que é zero de f(x).
www.professorlucianonobrega.wordpress.com
4
ZEROS DAS FUNÇÕES
Depois que encontramos um intervalo que contém o zero da
função, nossa missão agora é contemplar a 3ª etapa, que é “Fazer o
refinamento das raízes utilizando um método de refinamento”.
MÉTODOS DE REFINAMENTO
Também denominados por “Métodos Iterativos”, devido ao fato de
serem executadas em ciclos. //A execução de um ciclo recebe o nome de iteração.
MÉTODO DA BISSEÇÃO
Considere o intervalo [a,b] para o qual f(a).f(b) < 0. O método da
bisseção consiste em calcularmos o valor da função f(x) no ponto médio
x1 = (a +b)/2 . Caso f(x1) = 0, x1 é a raiz procurada e o processo para.
Se f(a).f(x1) < 0, a raiz procurada está entre “a” e x1, e repete-se o
processo para o intervalo [a, x1].
Caso contrário, f(x1).f(b) < 0, a raiz procurada está entre x1 e “b”. Logo,
repete-se o processo para o intervalo [x1, b].
EXEMPLO: Seja a função f(x) = x3 – 9x + 3, determine o zero da função.
www.professorlucianonobrega.wordpress.com
ZEROS DAS FUNÇÕES
EXEMPLO: Seja a função f(x) = x3 – 9x + 3, determine o zero da função.
5
www.professorlucianonobrega.wordpress.com
6
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
20 – Seja a função dada abaixo, determine o zero da função, pelo
método da bisseção com quatro iterações.
a) f(x) = –2x3 +3x2 – 4x + 5
b) f(x) = 3x3 – 5x2 + x – 6
c) f(x) = x3 +2x2 + x +2
d) f(x) = x4 – x3 – 7x2 +x + 6
CRITÉRIOS DE PARADA:
Obviamente não podemos repetir um processo numérico infinitamente. É
preciso pará-lo em um determinado instante. Para isso, devemos utilizar um
certo critério, que vai depender do problema a ser resolvido e da precisão
que queremos ter na solução.
Em uma máquina, podemos
predeterminar a quantidade de iterações. No entanto, essa quantidade,
pode não ser suficiente para atingir o resultado satisfatório. Por isso,
vamos estipular o seguinte critério de parada:
Onde:
[ ak ; bk ] é o intervalo que contém a raiz;
“Ɛ” é o erro admissível (estipulado);
E o “2” aparece por causa da bisseção.
Ou, podemos usar essa outra fórmula: |f(x1)| ≤ ɛ .
Onde f(x1) é a imagem do valor aproximado.
Vejamos, porque:
www.professorlucianonobrega.wordpress.com
ZEROS DAS FUNÇÕES
Observe que nas figuras.
y
21 – Considere-se f(x) = x3 – x – 1, no intervalo [1; 2] e
com tolerância de 0,2. Determine o zero da função
seguindo o procedimento:
1º) Aplique os testes de parada;
2º) “Itere” uma só vez o método da biseção;
3º) Aplique os testes de parada e continue até ɛ < 0,2
f(x1)
x1
-4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
x
x'
x1
7
www.professorlucianonobrega.wordpress.com
8
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
22 – Seja a função dada abaixo, determine o zero da função, pelo
método da bisseção com com erro inferior a 10-2
a) f(x) = –2x3 +3x2 – 4x + 5
b) f(x) = 3x3 – 5x2 + x – 6
c) f(x) = x3 +2x2 + x +2
d) f(x) = x4 – x3 – 7x2 +x + 6
23 – Determine um valor aproximado para √5 , para isso, determine o zero
da função f(x) = x2 – 5 com erro inferior a 10-2, completando a tabela:
2
3
24 – Usando o método da bisseção, determine o zero da função
f(x)=–3,2+x.ln x com ɛ < 0,2
25 – Usando o método da bisseção, determine o zero da função
f(x) = –2 + 0,4.x + 5.log x com ɛ < 0,2
www.professorlucianonobrega.wordpress.com
9
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
26 – Determine o zero da função f(x) = x . log x – 1, com erro
admissível menor que 0,3
27 – Determine o zero da função f(x) = x3 – 5x + 5, com erro admissível
menor que 0,5
28 – Seja a função f(x) = x3 – x2 – x – 1 e o intervalo [1, 2], determine uma
aproximação para a raiz dessa função utilizando o método da bisseção com duas
iterações.
Lembre-se que a aproximação da raiz será a média entre os limites do intervalo obtido após a segunda iteração.
29 – Considere f(x) = – 2x3 – 2x – 1, no intervalo [–0,5 ; 0] e com tolerância de 0,1.
Determine o zero da função pelo método da bisseção, tendo o cuidado de fazer os
testes de parada após cada iteração.
ATENÇÃO: Antes da primeira iteração, faça o primeiro teste de parada com b = 0 e a = –0,5.
Você só vai usar os dois testes depois de feita a primeira iteração.
Lembre-se que a aproximação da raiz será a média entre os limites do intervalo obtido após você atender um dos
critérios de parada.
30 – O TEOREMA de BOLZANO enuncia que: “Sendo f(x) contínua em um intervalo
[a, b], se f(a).f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x = x’ entre “a” e “b” que é
zero de f(x).” Verifique se a função f(x) = –3x5 – 2x4 – 5x3 – 3x2 + 3x – 3 possui
uma raiz no intervalo (–2 ; –1). JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA POR ESCRITO.
Vá correndo acessar...
Você só paga R$ 5,00
(Brincadeirinha... É de graça!)