POLÍCIA CIVIL DO MARANHÃO
INVESTIGADOR E ESCRIVÃO
RACIOCÍNIO LÓGICO
Prof. Weber Campos
([email protected])
Raciocínio Lógico
ÍNDICE
1. LÓGICA PROPOSICIONAL
Proposição
Conectivos Lógicos
Conjunção: “A e B”
Disjunção: “A ou B”
Disjunção Exclusiva: “ou A ou B, mas não ambos”
Condicional: “Se A então B”
Bicondicional: “A se e somente se B”
Negação: “não A”
Ordem de Precedência dos Conectivos
Construção da Tabela-Verdade para uma Proposição Composta
Tautologia, Contradição e Contingência
Negação dos termos Todo, Algum e Nenhum
Negação de Proposições Compostas
Proposições Logicamente Equivalentes
Regras de Simplificação
Diagramas Lógicos
Proposições Categóricas
Representação das Proposições Categóricas por Diagramas de Conjuntos
Argumento
3
3
3
3
4
4
4
4
5
6
6
6
8
9
9
10
2. ANÁLISE COMBINATÓRIA
16
3. PROBABILIDADE
19
4. GEOMETRIA
23
5. TRIGONOMETRIA
32
EXERCÍCIOS DAS VIDEOAULAS
37
GABARITO
49
11
12
15
POLÍCIA CIVIL DO MARANHÃO / 2012
INVESTIGADOR E ESCRIVÃO
RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO: (10 questões)
1. Estruturas lógicas; lógica de argumentação.
2. Diagramas lógicos.
3. Trigonometria.
4. Álgebra linear.
5. Probabilidades.
6. Combinações.
7. Arranjos e permutação.
8. Geometria básica.
Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, coisas ou eventos fictícios;
deduzir novas informações das relações fornecidas e avaliar as condições usadas para
estabelecer a estrutura daquelas relações. Nenhum conhecimento mais profundo de lógica
formal ou matemática será necessário para resolver as questões de raciocínio lógico-analítico.
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2
Raciocínio Lógico
LÓGICA PROPOSICIONAL
1. PROPOSIÇÃO
Denomina-se proposição a toda frase declarativa, expressa em palavras ou
símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto,
somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso.
São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas:
A capital do Brasil é Brasília.
23 > 10
Existe um número ímpar menor que dois.
João foi ao cinema ou ao teatro.
Não são proposições:
1) frases interrogativas: “Qual é o seu nome?”
2) frases exclamativas: “Que linda é essa mulher!”
3) frases imperativas: “Estude mais.”
4) frases optativas: “Deus te acompanhe.”
5) frases sem verbo: “O caderno de Maria.”
6) sentenças abertas (o valor lógico da sentença depende do valor (do
nome) atribuído a variável):
“x é maior que 2”; “x+y = 10”; “Z é a capital do Chile”.
2. CONECTIVOS LÓGICOS
Conectivos
(linguagem
idiomática)
e
ou
ou ... ou, mas não
ambos
Conectivos
(Símbolo)
Ù
Ú
Ú
Estrutura lógica
Exemplo
Conjunção: A Ù B
Disjunção: A Ú B
Disjunção exclusiva:
AÚB
João é ator e alagoano.
Irei ao cinema ou à praia.
Ou Tiago é médico ou
dentista, mas não ambos.
se ... então
®
Condicional: A → B
Se chove, então faz frio.
se e somente se
«
Bicondicional: A «
B
Vivo se e somente se sou
feliz.
# CONJUNÇÃO: “A e B”
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A
B
AeB
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
3
Raciocínio Lógico
# DISJUNÇÃO: “A ou B”
A
B
A ou B
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
# DISJUNÇÃO EXCLUSIVA: “ou A ou B, mas não ambos”
A
B
A ou B
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
# CONDICIONAL: “Se A, então B”
A
B
A®B
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
As seguintes expressões podem se empregar como equivalentes de "Se A,
então B":
1) Se A, B.
2) B, se A.
3) Quando A, B.
4) A implica B.
5) Todo A é B.
6) A é condição suficiente para B.
7) B é condição necessária para A.
8) A somente se B.
Exemplo: Dada a condicional “Se chove, então fico molhado”, são expressões
equivalentes:
1) Se chove, fico molhado.
2) Fico molhado, se chove.
3) Quando chove, fico molhado.
4) Chover implica ficar molhado.
5) Toda vez que chove, fico molhado.
6) Chover é condição suficiente para fico molhado.
7) Ficar molhado é condição necessária para chover.
8) Chove somente se fico molhado.
# BICONDICIONAL: “A se e somente se B”
A
B
V
V
F
F
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V
F
V
F
A↔B
V
F
F
V
4
Raciocínio Lógico
Uma proposição bicondicional "A se e somente se B" equivale à proposição
composta:
“se A então B e se B então A”, ou seja,
“ A ↔ B “ é a mesma coisa que “ (A ® B) e (B ® A) “
Podem-se empregar também como equivalentes de "A se e somente se B" as
seguintes expressões:
1) A se e só se B.
2) Se A então B e se B então A.
3) A implica B e B implica A.
4) Todo A é B e todo B é A.
5) A somente se B e B somente se A.
6) A é condição suficiente e necessária para B.
7) B é condição suficiente e necessária para A.
3. MODIFICADOR “NÃO”
# NEGAÇÃO: “não A”
A expressão “não A” significa a negação da proposição A. E pode ser
simbolizada por “~A”.
Se A é a proposição “Lógica é fácil”, então a proposição ~A poderá ser qualquer
uma das seguintes proposições:
Lógica não é fácil.
Não é verdade que Lógica é fácil.
É falso que Lógica é fácil.
Não é o caso que Lógica é fácil.
Tabela-verdade de ~A:
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A
~A
V
F
F
V
5
Raciocínio Lógico
4. VISÃO GERAL DOS CONECTIVOS
A
B
AeB
A ou B
A ou B
A®B
A↔B
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
No quadro abaixo, apresentamos uma tabela muito interessante a respeito dos
conectivos, mostrando as condições em que o valor lógico é verdade e em que é falso.
Estrutura
lógica
É verdade quando
É falso quando
pelo menos um dos dois for falso
A® B
A e B são, ambos, verdade
pelo menos um dos dois for
verdade
A e B tiverem valores lógicos
diferentes
nos demais casos
A« B
A e B tiverem valores lógicos iguais
AeB
A ou B
A ou B
A e B, ambos, são falsos
A e B tiverem valores lógicos
iguais
A é verdade e B é falso
A e B tiverem valores lógicos
diferentes
5. ORDEM DE PRECEDÊNCIA DOS CONECTIVOS
1º) ~ (Negação)
2º) Ù (Conjunção)
3º) Ú (Disjunção)
4º) ® (Condicional)
5º) « (Bicondicional)
6. CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE PARA UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA
O número de linhas da tabela-verdade de uma sentença é igual a 2n, onde n é o
número de proposições simples (letras) que há na sentença.
à Exemplo 01) ~( P Ù ~Q)
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
~Q
F
V
F
V
(P Ù ~Q)
F
V
F
F
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número de linhas = 22 = 4 linhas
~(P Ù ~Q)
V
F
V
V
6
Raciocínio Lógico
número de linhas = 23 = 8 linhas
à Exemplo 02) (P Ú ~R) ® (Q Ù ~R )
P
V
V
V
V
F
F
F
F
Q
V
V
F
F
V
V
F
F
R
V
F
V
F
V
F
V
F
(P Ú ~R)
V
V
V
V
F
V
F
V
~R
F
V
F
V
F
V
F
V
(Q Ù ~R)
F
V
F
F
F
V
F
F
(P Ú ~R) ® (Q Ù ~R)
F
V
F
F
V
V
V
F
7. TAUTOLOGIA:
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições A, B, C, ...
será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos
valores lógicos das proposições A, B, C, ... que a compõem.
Em palavras mais simples: para saber se uma proposição composta é uma
Tautologia, construiremos a sua tabela-verdade! Daí, se a última coluna da tabelaverdade só apresentar verdadeiro (e nenhum falso), então estaremos diante de uma
Tautologia. Só isso!
Exemplo: A proposição (A Ù B) ® (A Ú B) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira,
independentemente dos valores lógicos de A e de B, como se pode observar na tabelaverdade abaixo:
A
B
AÙB
AÚB
(A Ù B) ® (A Ú B)
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
Observemos que o valor lógico da proposição composta (A Ù B) ® (A Ú B), que
aparece na última coluna, é sempre verdadeiro.
8. CONTRADIÇÃO:
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições A, B, C, ...
será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores
lógicos das proposições A, B, C, ... que a compõem.
Ou seja, construindo a tabela-verdade de uma proposição composta, se todos
os resultados da última coluna forem FALSO, então estaremos diante de uma
contradição.
Exemplo:
A proposição (A « ~B) Ù (A Ù B) também é uma contradição, conforme
verificaremos por meio da construção de sua da tabela-verdade. Vejamos:
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7
Raciocínio Lógico
A
V
B
V
(A « ~B)
F
(A Ù B)
V
(A « ~B) Ù (A Ù B)
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
F
Observemos que o valor lógico da proposição composta (A « ~B) Ù (A Ù B),
que aparece na última coluna de sua tabela-verdade, é sempre Falso,
independentemente dos valores lógicos que A e B assumem.
9. CONTINGÊNCIA:
Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma
tautologia nem uma contradição. Exemplo:
A proposição "A « (A Ù B)" é uma contingência, pois o seu valor lógico
depende dos valores lógicos de A e B, como se pode observar na tabela-verdade
abaixo:
A
B
(A Ù B)
A « (A Ù B)
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
F
V
E por que essa proposição acima é uma contingência? Porque nem é uma
tautologia e nem é uma contradição!
10. NEGAÇÃO DOS TERMOS TODO, NENHUM E ALGUM
Proposição
Negação da proposição
Algum ...
Nenhum ...
Nenhum ...
Algum ...
Todo ...
Algum ... não ...
Algum ... não ...
Todo ...
Exemplos:
1) Negação de “Algum carro é veloz” é: “Nenhum carro é veloz”.
2) Negação de “Nenhuma música é triste” é: “Alguma música é triste”.
3) Negação de “Nenhum exercício não é difícil” é: “Algum exercício não é difícil”.
4) Negação de “Toda meditação é relaxante” é: “Alguma meditação não é relaxante”.
5) Negação de “Todo político não é rico” é: “Algum político é rico”.
6) Negação de “Alguma arara não é amarela” é: “Toda arara é amarela”.
7) Negação de “Alguém ganhou o bingo” é: “Ninguém ganhou o bingo”.
8) Negação de: “Algum dia ela me amará” é: “Nenhum dia ela me amará”, ou melhor:
“Nunca ela me amará”.
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8
Raciocínio Lógico
9) “Nem todo livro é ilustrado” é o mesmo que:
O termo “nem” na frente do “todo” significa que devemos negar a proposição “todo
livro é ilustrado”. E para obter a negação desta proposição, basta trocar o termo
TODO por ALGUM...NÃO. Teremos:
“Algum livro não é ilustrado”. (Resposta!)
10) “Não é verdade que algum gato tem sete vidas” é o mesmo que:
O termo “não é verdade que” significa que devemos negar tudo o que vem em
seguida, ou seja, negar a proposição “algum gato tem sete vidas”. E para obter a
negação desta proposição, basta trocar o termo ALGUM por NENHUM.
“Nenhum gato tem sete vidas”. (Resposta!)
11. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
Proposição
(A e B)
(A ou B)
(A ® B)
Negação da Proposição
~A ou ~B
~A e ~B
A e ~B
1ª forma) ~(A®B e B®A) = (A e ~B) ou (B e ~A)
(A « B)
2ª forma) A ou B
(A ou B)
A«B
12. PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES
Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente
que são equivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os
resultados de suas tabelas-verdade são idênticos.
12.1. Equivalências que envolvem a Condicional:
à 1ª) Se A, então B = Se não B, então não A.
A à B = ~B à ~A
Observando a relação simbólica acima, percebemos que a forma equivalente
para AàB pode ser obtida pela seguinte regra:
1º) Trocam-se os termos da condicional de posição;
2º) Negam-se ambos os termos da condicional.
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9
Raciocínio Lógico
à 2ª) Se A, então B = não A ou B.
A à B = ~A ou B
Observando a relação simbólica acima, percebemos que essa outra forma
equivalente para AàB pode ser obtida pela seguinte regra:
1º) Nega-se o primeiro termo;
2º) Mantém-se o segundo termo.
3º) Troca-se o símbolo do implica pelo “ou”;
à 3ª) A ou B = se não A, então B
A ou B = ~A à B
A relação simbólica acima nos mostra que podemos transformar uma disjunção
numa condicional equivalente, através da seguinte regra:
1º) Nega-se o primeiro termo;
2º) Mantém-se o segundo termo.
3º) Troca-se o “ou” pelo símbolo “à”;
12.2. Equivalência entre “nenhum” e “todo”:
1ª) Nenhum A não é B = Todo A é B
Exemplo: Nenhuma arte não é bela = Toda arte é bela.
2ª) Todo A não é B = Nenhum A é B
Exemplo: Todo médico não é louco = Nenhum médico é louco.
12.3. Equivalências Básicas:
1ª) A e A = A
2ª) A ou A = A
3ª) A « B = (A à B) e (B à A)
12.4. Leis Comutativa, Associativa e Distributiva:
1ª) Lei Comutativa:
AeB
A ou B
A«B
=
=
=
BeA
B ou A
B«A
2ª) Lei Associativa:
(A e B) e C
(A ou B) ou C
= A e (B e C)
= A ou (B ou C)
3ª) Lei Distributiva:
A e (B ou C) = (A e B) ou (A e C)
A ou (B e C) = (A ou B) e (A ou C)
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10
Raciocínio Lógico
12.5. Lei da Dupla Negação:
~(~A) =
Daí, concluiremos ainda que:
A não é não B
Todo A não é não B
Algum A não é não B
Nenhum A não é não B
A
=
=
=
=
A é B
Todo A é B
Algum A é B
Nenhum A é B
13. REGRAS DE SIMPLIFICAÇÃO:
1. p ou p = p
(Lei idempotente)
2. p e p = p
(Lei idempotente)
3. p ou ~p = V (tautologia)
4. p e ~p = F
(contradição)
5. p ou V = V
(na disjunção, o V é quem manda)
6. p ou F = p
(na disjunção, o F é elemento neutro)
7. p e V = p
(na conjunção, o V é elemento neutro)
8. p e F = F
(na conjunção, o F é quem manda)
9. p « p = V
(tautologia)
10. p « ~p = F (contradição)
11. p ou (p e q) = p (Lei da Absorção)
12. p e (p ou q) = p (Lei da Absorção)
14. PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS
As proposições formadas com os termos todo, algum e nenhum são chamadas
de proposições categóricas. Temos as seguintes formas:
1. Todo A é B
2. Nenhum A é B
3. Algum A é B
4. Algum A não é B
1. Todo A é B
Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A está contido no
conjunto B, ou seja, todo elemento de A também é elemento de B.
Atenção: dizer que Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A.
Todo gaúcho é brasileiro ¹ Todo brasileiro é gaúcho
Também, são equivalentes as expressões seguintes:
Todo A é B = Qualquer A é B = Cada A é B
2. Nenhum A é B
Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são
disjuntos, isto é, A e B não tem elementos em comum.
Dizer que Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A.
Exemplo: Nenhum diplomata é analfabeto = Nenhum analfabeto é diplomata
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11
Raciocínio Lógico
3. Algum A é B
Por convenção universal em Lógica, proposições da forma Algum A é B
estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o
conjunto B.
Contudo, quando dizemos que Algum A é B, pressupomos que nem todo A é B.
Entretanto, no sentido lógico de algum, está perfeitamente correto afirmar que
“alguns alunos são ricos”, mesmo sabendo que “todos eles são ricos”.
Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A.
Exemplo:
Algum médico é poeta = Algum poeta é médico
Também, são equivalentes as expressões seguintes:
Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe um A que é B
Exemplo:
Algum poeta é médico = Pelo menos um poeta é médico = Existe um poeta que é médico
4. Algum A não é B
Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo
menos um elemento que não pertence ao conjunto B.
Dizer que Algum A não é B é logicamente equivalente a dizer que Algum A é
não B, e também é logicamente equivalente a dizer que Algum não B é A.
Exemplo:
Algum fiscal não é honesto = Algum fiscal é não honesto = Algum não honesto é fiscal
Atenção: dizer que Algum A não é B não significa o mesmo que Algum B não é
A.
Exemplo: Algum animal não é mamífero ¹ Algum mamífero não é animal
IMPORTANTE: Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais
dos verbos ser e estar, tais como é, são, está, foi, eram, ..., como elo de ligação entre A
e B.
# REPRESENTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS
As proposições categóricas serão representadas por diagramas de conjuntos
para a solução de diversas questões de concurso.
Cada proposição categórica tem um significado em termos de conjunto, e isso é
quem definirá o desenho do diagrama; e veremos adiante que uma proposição
categórica pode possuir mais de um desenho.
Relembremos os significados, em termos de conjunto, de cada uma das
proposições categóricas:
Todo A é B = todo elemento de A também é elemento de B.
Nenhum A é B = A e B não tem elementos em comum.
Algum A é B = o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o
conjunto B.
Algum A não é B = o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao
conjunto B.
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12
Raciocínio Lógico
1. Se a proposição “Todo A é B” é verdadeira, então temos duas representações
possíveis:
a
O conjunto A dentro do conjunto B
b O conjunto A é igual ao conjunto B
B
A=B
A
2. Se a proposição “Nenhum A é B” é verdadeira, então temos somente a
representação:
a
Não há elementos em comum entre os dois conjuntos (Não há intersecção!)
A
B
3. Se a proposição “Algum A é B” é verdadeira, temos quatro representações
possíveis:
a
Os dois conjuntos possuem uma parte
dos elementos em comum.
Todos os elementos de A estão em B.
b
B
A
B
A
c
d
Todos os elementos de B estão em A.
O conjunto A é igual ao conjunto B
A
A=B
B
4. Se a proposição “Algum A não é B“ é verdadeira, temos três representações
possíveis:
a
Os dois conjuntos possuem uma
parte dos elementos em comum.
b
Todos os elementos de B estão em A.
A
A
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B
B
13
Raciocínio Lógico
c
Não há elementos em comum entre os dois conjuntos.
A
B
Exercício: (Especialista em Políticas Públicas Bahia 2004 FCC) Considerando “todo livro
é instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que:
a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.
b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.
c) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.
d) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.
e) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente
verdadeira.
Sol.:
Temos que a proposição “todo livro é instrutivo” é verdadeira. Baseando-se nesta
proposição, construiremos as representações dos conjuntos dos livros e das coisas
instrutivas. Como vimos anteriormente há duas representações possíveis:
a
b
instrutivo
instrutivo =
livro
livro
A opção A é descartada de pronto: “nenhum livro é instrutivo” implica a total
dissociação entre os diagramas. E estamos com a situação inversa!
A opção B é perfeitamente escorreita! Percebam que nos dois desenhos acima
os conjuntos em vermelho e em azul possuem elementos em comum. Resta
necessariamente perfeito que “algum livro é instrutivo” é uma proposição
necessariamente verdadeira.
Resposta: opção B.
Já achamos a resposta correta, mas continuaremos a análise das outras
opções.
A opção C é incorreta! Pois a proposição “algum livro não é instrutivo” é
necessariamente falsa. Isso pode ser constatado nos dois desenhos acima, vejam que
não há um livro sequer que não seja instrutivo.
A opção D é incorreta! Pois na análise da opção B já havíamos concluído que
“algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.
A opção E é incorreta! Pois na análise da opção C já havíamos concluído que
“algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente falsa.
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14
Raciocínio Lógico
15. ARGUMENTO
Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de proposições iniciais
redunda em uma outra proposição final, que será conseqüência das primeiras!
Dito de outra forma, argumento é a relação que associa um conjunto de
proposições p1, p2, ... pn , chamadas premissas do argumento, a uma proposição c,
chamada de conclusão do argumento.
No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser também usados os
correspondentes hipótese e tese, respectivamente.
# ARGUMENTO VÁLIDO:
Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem construído),
quando a sua conclusão é uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de
premissas.
Para testar a validade de um argumento, devemos considerar as premissas
como verdadeiras, mesmo quando o conteúdo da premissa é falso.
# ARGUMENTO INVÁLIDO:
Dizemos que um argumento é inválido – também denominado ilegítimo, mal
construído, falacioso ou sofisma – quando a verdade das premissas não é suficiente
para garantir a verdade da conclusão.
Prof. Weber Campos
15
Raciocínio Lógico
ANÁLISE COMBINATÓRIA
1) PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC)
Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e
independentes de tal modo que:
P1 é o número de possibilidades da 1ª etapa;
P2 é o número de possibilidades da 2ª etapa;
.
.
Pk é o número de possibilidades da “k-ésima” etapa, então:
(P1 x P2 x ... x Pk) é o número total de possibilidades do acontecimento
ocorrer!
2) ARRANJO
Para usar o Arranjo é necessário que não haja repetição dos elementos, e a
ordem dos elementos deve ser relevante, ou seja:
1º Passo) Criaremos um resultado possível para o subgrupo;
2º Passo) Inverteremos a ordem do resultado que acabamos de criar (no 1º
passo);
3º Passo) Compararemos os dois resultados que estão diante de nós (1º e 2º
passos): Se forem resultados diferentes: resolveremos a questão por Arranjo!
A fórmula do Arranjo é a seguinte:
An, p =
n!
(n - p)!
Onde:
à n é o número de elementos do conjunto universo; e
à p é o número de elementos do subgrupo.
Importante: Toda questão que pode ser resolvida por Arranjo, poderá também ser
resolvida pelo Princípio Fundamental da Contagem! O caminho de volta – Princípio
Fundamental da Contagem para Arranjo – nem sempre será possível!
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16
Raciocínio Lógico
3) COMBINAÇÃO
Assim como o arranjo, não pode haver repetição dos elementos. E, agora, a
ordem dos elementos NÃO é relevante, ou seja:
1º Passo) Criaremos um resultado possível para o subgrupo;
2º Passo) Inverteremos a ordem do resultado que acabamos de criar (no 1º
passo);
3º Passo) Compararemos os dois resultados que estão diante de nós (1º e 2º
passos): Se forem resultados iguais: resolveremos a questão por Combinação!
A fórmula da Combinação é a seguinte:
Cn , p =
n!
p!(n - p)!
Onde:
à n é o número de elementos do conjunto universo; e
à p é o número de elementos do subgrupo.
4) PERMUTAÇÃO
A Permutação é tão-somente um caso particular do Arranjo!
Quando estivermos em uma questão de Arranjo (já sabemos como identificála!) e observarmos que o n (número de elementos do “conjunto universo”) é igual ao p
(número de elementos dos subgrupos), então estaremos diante de uma questão de
Permutação!
à Fórmula da Permutação: Pn = n!
Onde: à n é o número de elementos do conjunto universo, que é também o mesmo
número de elementos dos subgrupos que serão formados!
5) PERMUTAÇÃO CIRCULAR
Permutação Circular é um caminho de resolução que será utilizado quando
estivermos em um problema que sai por Permutação, e em que os elementos do
subgrupo estarão dispostos em uma linha fechada, ou seja, todos os elementos do
grupo terão um elemento a sua esquerda e a sua direita.
A fórmula é dada por:
à PC n = (n - 1)!
6) PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
Uma vez que alguns elementos do conjunto universo são repetidos, diremos
que a questão se resolve por Permutação com Repetição!
A fórmula da Permutação com Repetição é a seguinte:
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17
Raciocínio Lógico
PXY , Z ,...,W =
X!
Y !.Z!.....W !
Onde: à X é o número de elementos do conjunto universo;
à Y, Z,..., W é o número de repetições de cada elemento que se repete!
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18
Raciocínio Lógico
PROBABILIDADE
1. CONCEITOS INICIAIS
# Experimento Aleatório: é o experimento que mesmo repetido diversas vezes sob as
mesmas condições, podem apresentar resultados diferentes.
# Espaço Amostral: é nada mais, senão o “conjunto dos resultados possíveis” de um
Experimento Aleatório.
# EVENTO: um evento será um subconjunto do Espaço Amostral.
2. CÁLCULO DA PROBABILIDADE
à Fórmula da Probabilidade: a probabilidade de ocorrência de um evento “X”, num
determinado experimento aleatório, e considerando que cada elemento do espaço
amostral deste experimento tem a mesma probabilidade, será calculada por:
P(X) = n(X) = número de resultados favoráveis ao evento X
n(S)
número de resultados possíveis
Onde: à n(S) é o número de elementos do espaço amostral do experimento; e
à n(X) é o número de elementos do evento X.
3. AXIOMAS DA PROBABILIDADE
1 º) A probabilidade tem valor máximo de 100%. Neste caso (P=100%), estaremos
diante do chamado evento certo!
A idéia oposta ao do evento certo é a do evento impossível: aquele cuja
probabilidade de ocorrência é de 0% (zero por cento)!
Entre um evento impossível e um evento certo, infindáveis são as
possibilidades (e as probabilidades!), ou seja:
0 £ P(evento X) £ 1
2 º)
A soma das probabilidades de cada elemento do espaço amostral é igual a 1.
3 º) A probabilidade de ocorrência de um evento X somada com a probabilidade de
não ocorrência desse mesmo evento é igual a 1.
Prob(X ocorrer) + Prob(X não ocorrer) = 1
Dizemos que os eventos “X ocorrer” e “X não ocorrer” são eventos
complementares. Portanto, a soma das probabilidades de eventos complementares é
igual a 1.
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19
Raciocínio Lógico
4. PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO DE EVENTOS (Regra do E)
Dados dois eventos, A e B, a probabilidade de que ocorram A e B é igual a:
P(A e B) = P(A) x P(B|A)
A Prob(B|A) significa a probabilidade de ocorrer o evento B sabendo que o
evento A já tenha ocorrido. Ou, simplesmente: é a probabilidade de B dado A.
5. PROBABILIDADE DE EVENTOS INDEPENDENTES
Dois eventos, A e B, são independentes quando a ocorrência, ou nãoocorrência, de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.
Quando dois eventos (A e B) são independentes, a probabilidade do evento B
ocorrer dado que A ocorreu, simbolizada por P(B|A), será sempre igual a P(B), pois
como são independentes, então B não depende de A (e vice-versa):
à P(B|A) = P(B)
Naturalmente, também teremos:
à P(A|B) = P(A)
Portanto, para eventos independentes, a regra do “E” pode ser modificada para:
P(A e B) = P(A) x P(B)
E podemos afirmar que: “Dois eventos, A e B, são independentes se, e
somente se, ocorrer a igualdade P(A e B)=P(A)xP(B)”.
Portanto, se as probabilidades forem fornecidas, então temos como testar a
independência de dois eventos A e B pela comparação do valor de P(A e B) com o do
produto P(A)xP(B). Sendo iguais serão independentes; caso contrário, dependentes.
Para a independência de três eventos, teremos o seguinte conceito:
“Três eventos A, B e C são independentes se, e somente se, ocorrerem as seguintes
igualdades:
à P(AÇBÇC)=P(A)xP(B)xP(C);
à P(AÇB)=P(A)xP(B);
à P(AÇC)=P(A)xP(C);
à P(BÇC)=P(B)xP(C)”.
6. PROBABILIDADE DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Dois eventos, A e B, são mutuamente exclusivos se eles não podem ocorrer
simultaneamente. Quer dizer que se um evento ocorre, o outro certamente não
ocorreu.
Por exemplo, em apenas dois lançamentos de uma moeda, os resultados
possíveis são:
S = {(cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa)}
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20
Raciocínio Lógico
Os eventos “obter duas caras” e “obter duas coroas” são mutuamente
exclusivos, pois eles não podem ocorrer simultaneamente: ocorre um ou outro. Mas os
eventos “obter exatamente 1 cara” e “obter exatamente 1 coroa” não são
mutuamente exclusivos, pois se o resultado do primeiro lançamento for cara e o
resultado do segundo lançamento for coroa, teremos uma situação em que esses dois
eventos ocorrem ao mesmo tempo.
Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, então teremos:
à P(A|B) = 0 (Probabilidade de A ocorrer dado que B ocorreu é zero);
à P(B|A) = 0 (Probabilidade de B ocorrer dado que A ocorreu é zero);
à P(A e B) = 0 (Probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente é zero).
Dois eventos (A e B) mutuamente exclusivos são representados graficamente
por dois círculos sem interseção (A Ç B = Æ). Observe o próximo exemplo.
Se dois eventos são complementares, então certamente eles são mutuamente
exclusivos; mas a recíproca nem sempre é verdadeira. (Para dois eventos serem
complementares, um evento deve ser a negação do outro!)
Eventos complementares ou eventos mutuamente exclusivos apresentam a
mesma característica de não ocorrerem simultaneamente, ou seja, a ocorrência de um
evento implica na não ocorrência do outro. Portanto, os eventos complementares e os
eventos mutuamente exclusivos são altamente dependentes! Enquanto que eventos
independentes são aqueles em que a probabilidade de ocorrência de um, não é
afetada pela ocorrência do outro.
7. PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS (Regra do OU)
Dados dois eventos, A e B, a probabilidade de que ocorram A ou B é igual a:
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
Reparemos bem na terceira parcela da fórmula acima: P(A e B). Esta parcela
trata acerca da probabilidade de ocorrência simultânea dos eventos A e B.
Lembremos que para eventos dependentes, teremos:
à P(A e B) = P(A) x P(B|A)
Para eventos independentes:
à P(A e B) = P(A) x P(B)
E para eventos mutuamente exclusivos:
à P(A e B) = 0
8. PROBABILIDADE CONDICIONAL
A Probabilidade condicional será a probabilidade de ocorrência de um evento
A, dado que sabemos que ocorreu um outro evento B.
Fórmula da probabilidade condicional:
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21
Raciocínio Lógico
P( A | B) =
P( A e B)
P( B)
Podemos também resolver uma questão de probabilidade condicional pela
redução do espaço amostral (levando em consideração a ocorrência do evento B), e
posterior cálculo da fração: (nº de resultados favoráveis)/(nº de resultados possíveis).
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22
Raciocínio Lógico
GEOMETRIA
# Tipos de ângulos
Ângulo reto: É aquele cuja medida é
iguala 90º (ou p/2 rad).
Ângulo raso: É aquele cuja medida é
igual a 180º (ou p rad).
180º
90º
Ângulo agudo: É aquele cuja medida é
menor que a de um ângulo reto.
Ângulo obtuso: É aquele cuja
medida é maior que a de um ângulo
reto e menor que a de um raso.
a
a
# Ângulos em retas paralelas e transversais
Duas retas paralelas r e s, interceptadas por uma transversal, determinam oito
ângulos.
t
a
b
r
d
a
q
c
b
s
g
Nomenclatura
Ângulos correspondentes:
a e a; b e b; c e g; d e q
Ângulos alternos internos:
c e a; d e b
Ângulos alternos externos:
a e g; b e q
Ângulos colaterais internos:
c e b; d e a
Ângulos colaterais externos:
a e q; b e g
Propriedade
São congruentes. Daí:
a = a; b = b; c = g; d = q
São congruentes. Daí:
c = a; d = b
São congruentes. Daí:
a = g; b = q
São suplementares. Daí:
c + b = 180º; d + a = 180º
São suplementares. Daí:
a + q = 180º; b + g = 180º
Ângulos opostos pelo vértice: São congruentes. Daí:
a e c; b e d; a e g; b e q
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a = c; b = d; a = g; b = q
23
Raciocínio Lógico
# Comprimento da circunferência
C = 2pr
# Comprimento de um arco da circunferência
Sabendo que uma volta completa na circunferência corresponde a um ângulo
de 360º (ou 2p rad), podemos encontrar a medida de qualquer arco através de uma
regra de três simples.
# TRIÂNGULOS
· Quanto aos lados:
Equilátero: tem os três Isóceles: tem dois lados Escaleno: os três lados são
lados iguais e os três iguais e dois ângulos iguais. diferentes e também os
ângulos iguais.
três ângulos.
60º
60º 60º
· Quanto aos ângulos:
Retângulo: possui
ângulo reto.
um Acutângulo: todos os Obtusângulo: possui um
ângulos são menores que ângulo maior que 90º.
90º.
# Condição de existência do triângulo
B
a
C
c
b
A
Qualquer lado do triângulo está compreendido entre a diferença positiva e a
soma dos outros dois. Ou seja:
|b – c| < a < b + c
|a – c| < b < a + c
|a – b| < c < a + b
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24
Raciocínio Lógico
# Teorema do ângulo interno
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°.
)
)
)
A + B + C = 180º
# Teorema do ângulo externo
Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das
medidas dos dois ângulos internos não-adjacentes.
A
e=a+b
a
e
b
B
C
# Cevianas do triângulo
Ceviana é qualquer segmento de reta que tem uma extremidade num vértice
de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte do lado oposto a esse
vértice.
Veremos as cevianas mais importantes: Mediana, Bissetriz interna e Altura.
# Mediana
È o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
# Altura
É o segmento que parte de um vértice e é perpendicular ao lado oposto.
# Bissetriz
É o segmento que parte de um vértice e divide o ângulo em duas partes iguais
(em dois ângulos congruentes).
A
C
B
D
Teorema da bissetriz interna: a bissetriz do ângulo interno de um triângulo
determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados.
஺஼
஺஻
Da figura acima, temos: ஼஽ ൌ ஻஽
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25
Raciocínio Lógico
# Pontos notáveis do triângulo
INCENTRO
BARICENTRO
A
Y
Z
O
B
X
C
O incentro é o ponto de encontro das O baricentro é o ponto de encontro das
medianas.
bissetrizes internas.
O incentro será o centro da circunferência O baricentro divide cada mediana em dois
inscrita no triângulo.
segmentos de modo que o menor é 1/3 da
medida da mediana. Ou seja:
OX = AX/3; OY = BY/3; OZ = CZ/3.
ORTOCENTRO
CIRCUNCENTRO
O ortocentro é o ponto de encontro das
alturas.
O circuncentro é o ponto de encontro das
mediatrizes dos lados do triângulo. (A
mediatriz de um segmento é a reta
perpendicular que passa pelo ponto
médio desse segmento.)
O circuncentro é o centro da
circunferência circunscrita ao triângulo.
No triângulo equilátero, o incentro, o baricentro, o ortocentro e o circuncentro
coincidem num único ponto.
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26
Raciocínio Lógico
# Relações métricas no triângulo retângulo
O triângulo ABC abaixo é chamado de triângulo retângulo porque possui um
ângulo interno igual a 90º.
A
c
B
b
h
m
n
a
C
Vamos caracterizar os elementos seguintes desse triângulo:
a : hipotenusa
b e c : catetos
h : altura relativa à hipotenusa
m e n : projeções dos catetos sobre a hipotenusa
Temos as seguintes relações métricas no triângulo retângulo:
1) bc = ah
2) c2 = m.a
3) b2 = n.a
4) h2 = m.n
Teorema de Pitágoras: “O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos
quadrados dos catetos”. Assim:
a2 = b2 + c2
# QUADRILÁTEROS
Quadrilátero é o polígono de quatro lados.
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360º.
Alguns quadriláteros notáveis são: paralelogramo, retângulo, losango,
quadrado e trapézio.
Paralelogramo
É o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos.
No paralelogramo também se observa:
- Os lados opostos são congruentes;
- Os ângulos opostos são congruentes;
- Os ângulos adjacentes são suplementares.
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27
Raciocínio Lógico
Retângulo
É o paralelogramo que possui seus quatro ângulos retos.
Losango
É o paralelogramo que tem os quatro lados iguais.
Quadrado
É o paralelogramo que tem os quatro lados e os quatro ângulos iguais entre si.
Trapézio
É o quadrilátero em que apenas dois lados são paralelos entre si.
Base Média do Trapézio
Sendo M o ponto médio de AD e N o ponto médio de BC, a medida do
஺஻ା஼஽
segmento MN, chamada de base média do trapézio, é dada por: ‫ ܰܯ‬ൌ ଶ Ǥ
Base Média do Triângulo
Se interligarmos os pontos médios de dois lados de um triângulo, teremos um
segmento
que será:
1o) paralelo ao terceiro lado;
2o) igual à metade do terceiro lado.
# POLÍGONOS
Se os lados forem todos iguais e os ângulos internos também, o polígono diz-se
regular.
Diagonais de um polígono
De um único vértice, num polígono de n lados (e n vértices), partem n–3
diagonais.
Nº de diagonais do polígono =
n(n - 3)
2
Ângulos internos e externos de um polígono
1º) A soma dos ângulos internos = i1 + i2 +...+ in = 180º.(n-2)
2º) A soma dos ângulos externos = e1 + e2 +...+ en = 360º
3º) Se o polígono for regular, ele tem todos os ângulos congruentes, daí vem:
ângulo interno de um polígono regular de n lados =
ângulo externo de um polígono regular de n lados =
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૚ૡ૙°ήሺ࢔ି૛ሻ
࢔
૜૟૙°
࢔
28
Raciocínio Lógico
# TEOREMA DE TALES
Um feixe de paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos
que são proporcionais.
t1
t2
A
r1
D
B
r2
E
C
F
r3
Posto isso, teremos:
AB DE
=
BC EF
Ou ainda:
AB BC AC
=
=
DE EF DF
# SEMELHANÇA DE POLÍGONOS
Dois polígonos ABCDE... e A’B’C’D’E’..., com o mesmo número de lados, são
semelhantes se, e somente se:
1º) seus ângulos correspondentes (homólogos) são congruentes, isto é:
෡ ൌ
෡ ʹ, ෡ ൌ
෡ ʹ, ෠ ൌ ෠ʹ, ...
2º) seus lados homólogos são proporcionais, isto é:
஺஻
ൌ
஺ʹ஻ʹ
஻஼
஻ʹ஼ʹ
ൌ
஼஽
஼ʹ஽ʹ
ൌ‫ڮ‬ൌ݇
A constante k, de proporcionalidade entre os lados, é chamada razão de
semelhança dos polígonos.
Dada a constante k de proporcionalidade entre os lados, temos também que:
- A razão entre os perímetros é k;
- A razão entre as diagonais homólogas é k;
- A razão entre as alturas homólogas dos vértices é k;
Enfim, a razão entre dois elementos lineares homólogos é k.
A razão entre as áreas de polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão
de semelhança, ou seja, k2.
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29
Raciocínio Lógico
# ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS
Retângulo: Área = a . b
Quadrado: Área = a2
Paralelogramo: Área = base x altura = a x h
Trapézio: Área = (B + b).h
2
Losango: Área = D . d
2
d = diagonal menor
D = diagonal maior
Triângulo qualquer
Área = base x altura = a x h ou
2
2
Área = a.b.sena ou
2
Triângulo Equilátero
h=
a2 3
a 3
e Área =
4
2
Triângulo Inscrito numa Circunferência
c
Área do triângulo = a.b.c
4R
b
R
a
Triângulo Circunscrito a uma Circunferência
c
b
r
a
Área do triângulo = (a+b+c).r
2
Área do Círculo: Área = pr2
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30
Raciocínio Lógico
Setor Circular
Pela aplicação da regra de três simples,
teremos:
r
a
Área =
Hexágono Regular: Área = 6 ´
a
× pr 2
o
360
a2 3
4
# VOLUME DOS SÓLIDOS
Paralelepípedo retângulo
Volume = área da base x altura = a . b . c
Área total = 2(ab + ac + bc)
Cubo
Volume = área da base x altura = a2. a = a3
Área total = 2(a2 + a2 + a2) = 6a2
Cilindro
Volume = área da base x altura = pr2 . h
Área lateral = 2pr . h
Área total = área lateral + área das bases = 2prh + 2.pr2
Esfera
4pR 3
Volume =
3
Área da superfície esférica = 4p R 2
Pirâmide
Volume = área da base x altura
3
Para o tetraedro regular (as faces são triângulos eqüiláteros), o volume é:
a2 3
´h
Volume = 4
3
Cone
Volume = área da base x altura = pr2 . h
3
3
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31
Raciocínio Lógico
TRIGONOMETRIA
1. Arcos e Ângulos
A
O
a
B
180º = p rad (meia-volta)
ou
360º = 2p rad (1 volta)
1.1. Conversão de graus para radianos
Exemplo 01. Converter 60º para radianos.
Solução:
Para converter de graus para radianos podemos usar uma regra de três simples:
p rad ------- 180º
x rad ------- 60º
Þ x = 60p/180 = p/3
Daí: 180.x = 60.p
2. O Ciclo Trigonométrico
2º
Quadrante
1º
Quadrante
A
4º
Quadrante
3º
Quadrante
- Marcação do ângulo de 300º
90º
1º Q
2º Q
180º
300º
A
3º Q
P
0º
4º Q
270º
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32
Raciocínio Lógico
2.1. Ângulos Côngruos ou Congruentes
Um ângulo maior em valor absoluto que 360º (ou 2p) percorre mais de uma
volta no ciclo trigonométrico, e possui um ângulo congruente a ele que é menor que
360º. Dois ângulos são congruentes quando possuem o mesmo ponto inicial (A) e o
mesmo ponto final (P).
Exemplo 02. Qual é o ângulo congruente a 1480º?
Solução:
Para calcular esse ângulo devemos dividir o ângulo por 360º.
1480
360
4
(40)
Exemplo 03. Qual é o ângulo congruente a –1980º?
Solução:
1980
360
(180)
5
3. Relações entre dois ângulos
Dois ângulos são complementares quando a soma deles é igual a 90º(ou p/2).
Dois ângulos são suplementares quando a soma deles é igual a 180º(ou p).
Dois ângulos são replementares quando a soma deles é igual a 360º(ou 2p).
Dois ângulos são explementares quando a subtração deles é igual a 180º(ou p).
4. A função y = sen x
-1 £ sen x £ 1.
y = sen x
1
-180º
-90º
0
90º
180º
270º
360º
450º
540º
x
-1
A senóide é periódica com período igual a 360º (2p).
# Sinal da função seno
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eixo dos senos
II
I
III
IV
33
Raciocínio Lógico
5. A função y = cos x
-1 £ cos x £ 1.
y = con x
1
-90º
0
90º
180º
270º
360º
450º
x
-1
A cossenóide é periódica com período igual a 360º (2p). Note que a cossenóide
nada mais é que a senóide deslocada de 90º para a esquerda.
# Sinal da função cosseno
II
I
eixo dos
cossenos
III
IV
6. Relação Fundamental entre Seno e Cosseno
sen2x + cos2x = 1
7. Função Tangente
tg x =
sen x
cos x
# Sinal da função tangente
II
I
III
IV
8. Função Cotangente
cot g x =
9.
cos x
sen x
ou
cot g x =
1
tg x
Função Secante
sec x =
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1
cos x
34
Raciocínio Lógico
10. Função Cossecante
cossec x =
1
sen x
11. Valores Notáveis para as funções sen, cos, tg, cotg, sec e cossec
x
0º
sen x
0
cos x
1
tg x
0
cotg x
0
sec x
1
30º
1
2
3
3
3
2
3
3
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
1
1
1
0
-1
0
-1
0
-0
--
45º
60º
90º
180º
270º
2
2
2
2
1
3
cossec x
0
2
2
2
3
0
-0
3
--1
--
1
--1
12. Relações Fundamentais
1
cos x
1ª) sen2x + cos2x = 1
4ª) sec x =
sen x
cos x
1
3ª) cot g x =
tg x
5ª) cossec x =
2ª) tg x =
1
sen x
13. Relação entre Ângulos Complementares
1ª) sen x = cos(90º–x)
2ª) cos x = sen(90º–x)
14. Fórmulas do arco duplo
1ª) cos 2x = cos2x – sen2x
2ª) sen 2x = 2.sen x. cos x
cos 2x = 2cos2x – 1 = 1 – sen2x
ou
15. Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
a
b
b
a
c
catetooposto a a
b
c
catetoadjacente a a
= ; cosa =
= ;
hipotenusa
a
hipotenusa
a
catetoopostoa a
b
tga =
= .
catetoadjacente a a
c
sena =
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35
Raciocínio Lógico
16. Lei dos Senos
A
c
b
C
a
Em qualquer triângulo, o quociente entre cada lado e o seno do ângulo oposto é
constante.
B
a
sen Aˆ
=
b
sen Bˆ
=
c
sen Cˆ
E sendo R o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC, vale a relação:
a
sen Aˆ
=
b
c
=
= 2R
sen Bˆ
sen Cˆ
17. Lei dos Cossenos
A
c
B
b
a
C
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos Â
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36
Raciocínio Lógico
EXERCÍCIOS
Proposições e Conectivos
01. (SEFAZ/SP APOFP 2009 ESAF) Assinale a opção verdadeira.
a) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9
b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9
c) 3 = 4 e 3 + 4 = 9
d) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9
e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9
02. (SEAD-PE 2008 FGV) Sejam p, q e r proposições simples cujos valores lógicos
(verdadeiro ou falso) são, a princípio, desconhecidos. No diagrama abaixo, cada
célula numerada deve conter os resultados lógicos das proposições compostas
formadas pelo conectivo condicional (Þ), em que as proposições nas linhas são os
antecedentes e nas colunas, os consequentes. Os resultados das células 3, 4 e 7 já
foram fornecidos.
Com relação à tabela, é correto afirmar que o valor lógico da célula:
(A) 1 é falso.
(B) 2 é falso.
(C) 5 é falso.
(D) 6 é verdadeiro.
(E) 8 é verdadeiro.
Negação de Proposições
03. (SEAD-PE 2008 FGV) A negação da frase “Todos os homens dirigem bem” é:
(A) todos os homens dirigem mal.
(B) todas as mulheres dirigem bem.
(C) todas as mulheres dirigem mal.
(D) nenhum homem dirige bem.
(E) existem homens que dirigem mal.
04. (CODEBA 2010 FGV) Considere a proposição composta: “Pedrinho gosta de jujuba
e Zezinho gosta de sorvete.” A negação dessa proposição é
(A)Pedrinho não gosta de jujuba e Zezinho gosta de sorvete.
(B)Pedrinho gosta de jujuba e Zezinho não gosta de sorvete.
(C)Pedrinho não gosta de jujuba e Zezinho não gosta de sorvete.
(D)Pedrinho não gosta de jujuba ou Zezinho não gosta de sorvete.
(E)Pedrinho gosta de sorvete e Zezinho gosta de jujuba.
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37
Raciocínio Lógico
05. (SEAD-PE 2008 FGV)
Leonardo disse a Fernanda: – Eu jogo futebol ou você não joga golfe.
Fernanda retrucou: – isso não é verdade.
Sabendo que Fernanda falou a verdade, é correto concluir que:
(A) Leonardo joga futebol e Fernanda joga golfe.
(B) Leonardo joga futebol e Fernanda não joga golfe.
(C) Leonardo não joga futebol e Fernanda joga golfe.
(D) Leonardo não joga futebol e Fernanda não joga golfe.
(E) Leonardo não joga futebol ou Fernanda joga golfe.
06. (CODESP 2010 FGV) A negação da sentença “Se tenho dinheiro, então sou feliz” é
(A)Se não tenho dinheiro, então não sou feliz.
(B)Se não sou feliz, então não tenho dinheiro.
(C)Não tenho dinheiro e sou feliz.
(D)Não tenho dinheiro ou sou feliz.
(E)Tenho dinheiro, e não sou feliz.
07. (FIOCRUZ 2010 FGV) A negação lógica da sentença “Se não há higiene então não
há saúde” é:
(A) Se há higiene então há saúde.
(B) Não há higiene e há saúde.
(C) Há higiene e não há saúde.
(D) Não há higiene ou não há saúde.
(E) Se há saúde então há higiene.
08. (FIOCRUZ 2010 FGV) A negação de “Se chover então não vou” é:
(A) Se não chover então não vou.
(B) Se não chover então vou.
(C) Se vou então não está chovendo.
(D) Chove e vou.
(E) Não chove e vou.
Equivalência entre Proposições
09. (FIOCRUZ 2010 FGV) Considere a sentença: “Se tenho saúde então sou feliz". Uma
sentença logicamente equivalente à sentença dada é:
(A) Se não tenho saúde então não sou feliz.
(B) Se sou feliz então tenho saúde.
(C) Tenho saúde e não sou feliz.
(D) Tenho saúde e sou feliz.
(E) Não tenho saúde ou sou feliz.
10. (AFRFB 2009 Esaf) Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o
chão fica molhado”. Sendo assim, pode-se afirmar que:
a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.
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38
Raciocínio Lógico
b) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.
c) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.
d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.
e) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.
11. (FIOCRUZ 2010 FGV) Considerando a afirmação: “Todo sapo vermelho é
venenoso”, é correto concluir que:
(A) todo sapo venenoso é vermelho.
(B) todo sapo que não é vermelho não é venenoso.
(C) todo sapo que não é venenoso não é vermelho.
(D) alguns sapos vermelhos não são venenosos.
(E) alguns sapos que não são venenosos podem ser vermelhos.
Diagramas Lógicos
12. (FIOCRUZ 2010 FGV) Considere como verdadeiras as seguintes afirmativas:
I. todo A também é B.
II. pelo menos um A também é C.
III. algum C não é B.
Pode-se deduzir que:
(A) todo A também é C.
(B) algum B também é C.
(C) todo C também é B.
(D) todo B também é C.
(E) nenhum C também é B.
Lógica de Argumentação
13. (ATA-MF 2009 / ESAF) Entre os membros de uma família existe o seguinte arranjo:
Se Márcio vai ao Shopping, Marta fica em casa. Se Marta fica em casa, Martinho
vai ao Shopping. Se Martinho vai ao Shopping, Mario fica em casa. Dessa maneira,
se Mário foi ao Shopping, pode-se afirmar que:
a) Marta ficou em casa.
b) Martinho foi ao Shopping.
c) Márcio não foi ao Shopping e Marta não ficou em casa.
d) Márcio e Martinho foram ao shopping.
e) Márcio não foi a shopping e Martinho foi ao shopping.
14. (FIOCRUZ 2010 FGV) Três amigos, Fábio, Hugo e Mário torcem, cada um, por um
time diferente. Um deles é flamenguista, outro é vascaíno, e outro é
botafoguense.
As afirmativas a seguir são todas verdadeiras:
I. ou Fábio é vascaíno ou Mário é vascaíno.
II. ou Fábio é botafoguense ou Hugo é flamenguista.
III. ou Mário é flamenguista ou Hugo é flamenguista.
IV. ou Hugo é botafoguense ou Mário é botafoguense.
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39
Raciocínio Lógico
Os times de Fábio, Hugo e Mário são, respectivamente:
(A) Botafogo, Vasco e Flamengo.
(B) Vasco, Botafogo e Flamengo.
(C) Botafogo, Flamengo e Vasco.
(D) Flamengo, Vasco e Botafogo.
(E) Vasco, Flamengo e Botafogo.
15. (CODESP 2010 FGV) Se A não é azul, então B é amarelo. Se B não é amarelo, então
C é verde. Se A é azul, então C não é verde. Logo, tem-se obrigatoriamente que
(A)A é azul.
(B)B é amarelo.
(C)C é verde.
(D)A não é azul.
(E)B não é amarelo.
16. (FIOCRUZ 2010 FGV) Considere as afirmativas:
I. Se não trabalho vejo TV
II. Se é sábado não trabalho
III. Se leio não vejo TV
Pode-se concluir que:
(A) Se vejo TV então é sábado.
(B) Se não leio então não trabalho.
(C) Se não trabalho então é sábado.
(D) Se não leio então não é sábado.
(E) Se leio então não é sábado.
17. (SEAD-PE 2008 FGV) Considere as situações abaixo:
I. Em uma estrada com duas pistas, vê-se a placa:
Como você está dirigindo um automóvel, você conclui que deve trafegar pela pista
da esquerda.
II. Você mora em Recife e telefona para sua mãe em Brasília. Entre outras coisas, você
diz que “Se domingo próximo fizer sol, eu irei à praia”. No final do domingo, sua
mãe viu pela televisão que choveu em Recife todo o dia. Então, ela concluiu que
você não foi à praia.
III. Imagine o seguinte diálogo entre dois políticos que discutem calorosamente certo
assunto:
- A: Aqui na Câmara tá cheio de ladrão.
- B: Ocorre que eu não sou ladrão.
- A: Você é safado, tá me chamando de ladrão.
Em cada situação há, no final, uma conclusão. Examinando a lógica na argumentação:
(A) são verdadeiras as conclusões das situações I e II, apenas.
(B) são verdadeiras as conclusões das situações II e III, apenas.
(C) são verdadeiras as conclusões das situações I e III, apenas.
(D) as três conclusões são verdadeiras.
(E) as três conclusões são falsas.
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40
Raciocínio Lógico
Análise Combinatória
18. (CAERN 2010 FGV) Num curso de pós-graduação, Marcos, Nélson, Osmar e Pedro
são candidatos a representantes da turma da qual fazem parte. Serão escolhidas
duas dessas quatro pessoas: uma para representante e a outra para ser o auxiliar
desse representante. Quantas duplas diferentes de representante e auxiliar
podem ser formadas?
(A)24.
(B)18.
(C)16.
(D)12.
(E)6.
19. (CAERN 2010 FGV) De quantas maneiras diferentes podemos colocar 5 pessoas em
fila sendo que Maria, uma dessas 5 pessoas, jamais seja a primeira da fila?
(A) 120.
(B) 112.
(C) 96 .
(D) 75 .
(E) 88 .
20. (CAERN 2010 FGV) Deseja-se criar senhas bancárias de 4 algarismos. Quantas
senhas diferentes podem ser criadas de modo que o último dígito seja ímpar e
todos os algarismos da senha sejam diferentes?
(A)3600.
(B)3645.
(C)2520.
(D)2240.
(E)2016.
21. (CODEBA 2010 FGV) Uma caixa contém 20 bolas, sendo 10 brancas e 10 pretas.
Sucessivamente, 7 bolas serão retiradas dessa caixa. Quantas ordenações de cores
diferentes podem ser obtidas de modo que sejam retiradas 5 bolas brancas e 2
pretas?
(A) 12 8.
(B) 36 .
(C) 64 .
(D) 42 .
(E) 21 .
22. (AFT/2010 Esaf) O departamento de vendas de uma empresa possui 10
funcionários, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções possíveis existem
para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionários, havendo na equipe pelo
menos um homem e pelo menos uma mulher?
a) 192.
d) 48
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41
Raciocínio Lógico
b) 36.
e) 60.
c) 96.
23. (MPOG APO - 2010 / ESAF) Beatriz é fisioterapeuta e iniciou em sua clínica um
programa de reabilitação para 10 pacientes. Para obter melhores resultados neste
programa, Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em três salas diferentes, de
modo que na sala 1 fiquem 4 pacientes, na sala 2 fiquem 3 pacientes e na sala 3
fiquem, também, 3 pacientes. Assim, o número de diferentes maneiras que Beatriz
pode distribuir seus pacientes, nas três diferentes salas, é igual a:
a) 2.440
b) 5.600
c) 4.200
d) 24.000
e) 42.000
24. (CODESP 2010 FGV) Há seis contêineres diferentes que deverão ser empilhados,
três mais pesados embaixo e três mais leves em cima, conforme sugere a figura:
O número de maneiras de se fazer essa arrumação, mantendo os três mais pesados
embaixo e os três mais leves em cima é
(A)18.
(B)6.
(C)9.
(D)36.
(E)72.
Probabilidade
25. (CODESP 2010 FGV) Em uma empresa paulista, foi feita uma pesquisa sobre o time
de futebol preferido por cada funcionário, e o resultado está na tabela a seguir:
Escolhendo ao acaso um funcionário, a probabilidade de que ele seja santista é
(A)31%.
(B)34%.
(C)40%.
(D)43%.
(E)37%.
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42
Raciocínio Lógico
26. (CODEBA 2010 FGV) Um dado comum e honesto será lançado 2 vezes. A
probabilidade de que se obtenha o número 3 uma única vez esses dois
lançamentos é
27. (SEAD-PE 2008 FGV) Numa sala estão reunidos quatro pernambucanos e quatro
paraibanos. Se escolhermos ao acaso duas pessoas distintas desse grupo, a
probabilidade de que os dois sejam pernambucanos é igual a:
(A) 1/4.
(B) 2/5.
(C) 3/14.
(D) 4/15.
(E) 5/16.
28. (TCE-RN 2000 ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A
probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos
independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de:
a) 30%
b) 32%
c) 35%
d) 37%
e) 40%
29. (TFC-CGU 2008 ESAF) Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele
encontrar Ricardo é 0,40; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a
0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05.
Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando é igual a:
a) 0,04
b) 0,40
c) 0,50
d) 0,45
e) 0,95
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43
Raciocínio Lógico
Álgebra Linear
30. (CODESP 2010 FGV) Sabe-se que:
- uma moeda de 1 centavo e uma moeda de 50 centavos pesam juntas 12g;
- uma moeda de 1 centavo e uma moeda 1 real pesam juntas 13g;
- uma moeda de 1 centavo, uma moeda de 50 centavos e uma moeda de 1 real pesam
juntas 22g.
O peso de uma moeda de 50 centavos é de
(A)8g.
(B)7g.
(C)6g.
(D)9g.
(E)10g.
31. (CAERN 2010 FGV) Um carro faz 66 km com 12 litros de combustível. Mantida a
proporção do consumo, quantos litros de combustível serão necessários para
percorrer 27,5 km?
(A)4,5.
(B)5.
(C)6.
(D)5,5.
(E)6,5.
32. (CAERN 2010 FGV) Duas máquinas copiadoras fazem juntas 300 cópias por minuto.
Sabe-se que a máquina A tem o dobro da capacidade de trabalho da máquina B.
Quantas cópias a máquina B é capaz de fazer em 12 segundos?
(A) 60 .
(B) 40 .
(C) 30 .
(D) 20 .
(E) 10 .
33. (FIOCRUZ 2010 FGV) Em um posto de vacinação, três profissionais de saúde
aplicam 180 vacinas em três horas. Admitindo-se que neste posto de vacinação
todos os profissionais de saúde são igualmente eficientes e que todas as vacinas
demandam o mesmo tempo de aplicação, o tempo necessário para que cinco
profissionais de saúde deste posto de vacinação apliquem 300 vacinas é de:
(A) 2 horas e 40 minutos.
(B) 3 horas.
(C) 3 horas e 30 minutos.
(D) 4 horas e 40 minutos.
(E) 5 horas.
34. (CAERN 2010 FGV) Cinco máquinas com a mesma capacidade de trabalho enchem
30 garrafas de 250 mL em 12 minutos. Três dessas máquinas serão utilizadas para
encher 15 garrafas de 500 mL. Para realizar essa tarefa, serão necessários
(A)18 minutos.
(D)15 minutos.
(B)24 minutos.
(E)30 minutos.
(C)20 minutos.
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44
Raciocínio Lógico
35. (ATA-MF 2009 ESAF) Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade,
trabalhando 8 horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40
trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor
que os primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta?
a) 24
b) 16
c) 30
d) 15
e) 20
Geometria
36. (CODESP 2010 FGV) A figura abaixo mostra um quadrado de lado 10m e duas
circunferências iguais com 1m de raio tangentes, cada uma, a duas retas.
A distância aproximada entre os centros dessas circunferências é
(A)12,8.
(D)13,4.
(B)13,7.
(E)11,9.
(C)12,2.
37. (CODEBA 2010 FGV)
Na figura, ABC é um triângulo retângulo com ângulo reto em B. O segmento BD é a
altura relativa ao lado AC. A medida de AC vale
(A) 8.
(D) 13 .
(B) 5.
(E) 12 .
(C) 10 .
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45
Raciocínio Lógico
38. (CODEBA 2010 FGV)
A figura ilustra um losango ABCD formado pela junção de dois triângulos equiláteros. O
segmento AC é a maior diagonal desse losango e mede 6Ö3 cm. A área do losango, em
cm2, vale
(A) 12Ö3 (B) 9Ö3
(C) 18Ö3
(D) 36Ö3
(E) 20Ö3
39. (CODESP 2010 FGV) No triângulo ABC da figura a seguir, AB = 7, AC=10 e BC =11, e
a circunferência inscrita no triângulo tangencia o lado CB no ponto D.
O segmento DC mede
(A) 6,5.
(B) 5,5.
(C) 6.
(D) 7.
(E) 7,5.
40. (CODESP 2010 FGV) No polígono ABCDEF da figura a seguir, os ângulos A, B, C e D
são retos.
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46
Raciocínio Lógico
Com as medidas em metros que aparecem na figura, a área da região sombreada em
m2 é
(A) 56 .
(B) 44 .
(C) 58 .
(D) 52 .
(E) 60 .
41. (CODESP 2010 FGV) Antônio é produtor de frutas no Nordeste. Em sua fazenda
produz principalmente manga, banana, abacaxi e melão. As quantidades
produzidas no ano passado (em toneladas) estão no quadro a seguir:
Pode-se visualizar essa produção pelo gráfico ao lado, em que o ângulo de cada setor é
proporcional à produção de uma fruta. O setor que ilustra a produção de banana tem
o ângulo central de
(A)105o.
(B)112o.
(C)117o.
(D)123o.
(E)130o.
Trigonometria
42. (AFC 2002 ESAF) A expressão dada por y = 4(cosseno x) + 4 é definida para todo
número x real. Assim, o intervalo de variação de y é:
a) -4 ≤ y ≤ 8
b) 0 < y ≤ 8
c) -∞ ≤ y ≤ ∞
d) 0 ≤ y ≤ 4
e) 0 ≤ y ≤ 8
43. (SEAD-PE 2008 FGV) Se cos x = – 1/2, então cos 6x é igual a:
(A) 0
(B) 1
(C) 1/2
(D) Ö3 / 2
(E) -1
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47
Raciocínio Lógico
44. (CODEBA 2010 FGV)
A figura ilustra um triângulo ABC, retângulo em C. O comprimento de AC é
45. (CODESP 2010 FGV) Na figura a seguir, o segmento BD é perpendicular ao
segmento AC.
Se ‫ = ܤܣ‬100m, um valor aproximado para o segmento DC é
(A) 76 m.
(B) 62 m.
(C) 68 m.
(D) 82 m.
(E) 90 m.
46. (Processo Seletivo Simplificado 2008 ESAF) Se x é um arco do segundo quadrante e
seno de x é igual a 1/2, então a tangente de x é igual a:
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48
Raciocínio Lógico
GABARITO
01
06
11
16
21
26
31
36
41
46
D
E
C
E
E
D
B
A
C
C
02
07
12
17
22
27
32
37
42
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E
B
B
E
C
C
D
C
E
03
08
13
18
23
28
33
38
43
E
D
C
D
C
B
B
C
B
04
09
14
19
24
29
34
39
44
D
E
E
C
D
D
C
D
A
05
10
15
20
25
30
35
40
45
C
B
B
C
B
D
C
E
D
49