PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática
Cálculo B (Informática) – Turma 128 e 138
Tópico 05 - Seqüências
Consulta Indicada: ANTON, H. Cálculo: Um novo horizonte. Volume 2. Páginas 37 a 54.
Definição
Informalmente, dizemos que uma seqüência é uma sucessão interminável de termos. Os termos de uma
seqüência podem ser números, palavras, objetos, etc. Observe que:
ƒ
Trataremos, em geral, com seqüências numéricas, ou seja, com seqüências cujos elementos são
números.
ƒ
Nem sempre é possível "adivinhar" o termo seguinte. Isso só é possível para certos tipos muito
especiais de seqüências, chamadas seqüências regulares, isto é, que possuem uma expressão
matemática da geração dos termos.
Por exemplo:
ƒ
A seqüência dos números pares:
0, 2, 4, 6, ..., 2.n, ...
ƒ
A seqüência dos números ímpares:
1, 3, 5, 7, ..., 2.n+1, ...
Cada termo de uma seqüência é, em geral, representado por uma variável indexada. Por exemplo: an. O
índice serve para indicar qual é a posição do termo na seqüência. Quando possível, a seqüência completa é
representada por chaves { }, podendo-se indicar o índice de início da seqüência. Por exemplo:
ƒ
A seqüência dos números pares:
{2.n}n≥0
ƒ
A seqüência dos números ímpares:
{2.n + 1}n≥0
Formalmente: Uma seqüência é uma função cujo domínio pertence ao conjunto dos inteiros positivos.
Notações: f ( n) = an , n = 1,2,3,... ou {an }n≥1
Ao estudar uma seqüência estaremos particularmente interessados em saber como ela evolui, ou seja,
como ela se comporta conforme seus termos vão sendo gerados. Se associarmos cada termo com um
instante no tempo, poderemos dizer que o que nos interessa é saber sobre o comportamento da seqüência
ao longo do tempo.
Exercício: Represente por extenso os 5 primeiros termos das seguintes seqüências:
(a) {2.n}n≥0
⎧ n ⎫
(b) ⎨
⎬
⎩ n + 1⎭ n≥1
⎧1⎫
(c) ⎨ n ⎬
⎩ 2 ⎭ n≥0
(d) {n − ésimo número primo}n≥ 0
(e) {n!}n≥0
Tópico 5 - Página 1 de 6
Seqüências Regulares
Quando é possível dar uma fórmula que represente os termos de uma seqüência, chamamos essa
seqüência de regular. Nesse caso, a expressão que define os termos é chamada de termo geral da
seqüência.
Exercício: Quais seqüências do exercício anterior são regulares?
Representação Gráfica de Seqüências
Em geral, a representação gráfica de uma seqüência é similar à
representação gráfica de funções, usando-se o eixo horizontal
para representar o índice e o vertical, para os valores dos
termos da seqüência.
⎧ 1⎫
é representada pelo gráfico
Por exemplo, a seqüência ⎨ ⎬
⎩ n ⎭ n≥1
ao lado.
Também é comum a representação de seqüências como
“acumulações de pontos” na reta real. Essa representação induz
ao entendimento do conceito de limite como ponto fixo, ou seja,
um ponto que “atrai” os termos da seqüência de modo que os
mesmos se acumulam em torno desse ponto.
⎧ 1⎫
Por exemplo, a seqüência ⎨ ⎬
é representada pelo gráfico
⎩ n ⎭ n≥1
ao lado.
Exercício: Represente graficamente as seqüências:
(a) {2.n + 1}n≥ 0
{
(b) ( −1) n
}
n≥0
Tópico 5 - Página 2 de 6
⎧ n ⎫
(c) ⎨
⎬
⎩ n + 1⎭ n≥1
n ⎫
⎧
(d) ⎨( −1) n +1.
⎬
n
+ 1⎭ n≥1
⎩
⎧1⎫
(e) ⎨ n ⎬
⎩ 2 ⎭ n≥0
{ }
(f) 2 n
n≥0
⎧⎪ ⎛ 1 ⎞ n ⎫⎪
(g) ⎨1 + ⎜ − ⎟ ⎬
⎪⎩ ⎝ 2 ⎠ ⎪⎭ n≥1
Associação com Funções de Variável Real
Pode-se entender uma seqüência numérica como uma “seleção” de pontos de uma função de variável real.
Por exemplo:
x
⎧1⎫
⎛ 1⎞
(a) a seqüência ⎨ n ⎬
pode ser entendida como uma amostragem da função real f ( x ) = ⎜ ⎟ .
⎝2⎠
⎩ 2 ⎭ n≥0
Tópico 5 - Página 3 de 6
(b) a seqüência {sen(n)}n≥0 pode ser entendida como uma amostragem da função real f ( x ) = sen( x ) .
Observação: Repare que não há padrão nos pontos amostrados do seno. Essa é uma seqüência caótica!
Limite de Seqüências – Resultados importantes
•
O único limite que interessa no estudo das seqüências é o limite no infinito.
•
Se uma seqüência tende para um número real, isto é, tem limite e seu limite é um número real,
dizemos que a seqüência converge. Caso não exista, dizemos que a seqüência diverge.
•
A convergência ou divergência de uma seqüência não tem ligação com o modo como ela se inicia.
Ela depende apenas de como as “caudas” da seqüência se comportam!
•
Se a função real correspondente à seqüência tiver limite no infinito, então o limite da seqüência será
igual a esse valor. Este resultado é extremamente importante pois permite que a análise da
convergência seja feita sobre uma função de variável real, como estudado em Cálculo
anteriormente.
•
A partir do resultado anterior pode-se usar a Regra de L´Hôpital para a verificação de limites com
0 ∞
ou 0.∞ .
indeterminações
,
0 ∞
Exemplo: Verifique a convergência das seqüências:
⎧ 1⎫
(a) ⎨ ⎬
⎩ n ⎭ n≥1
⎧ 1 ⎫
(b) ⎨ ⎬
⎩ n ⎭ n≥1
⎧1⎫
(c) ⎨ 2 ⎬
⎩ n ⎭ n≥1
⎧1⎫
(d) ⎨ n ⎬
⎩ 2 ⎭ n≥0
{ }
(e) 2 n
n≥0
Tópico 5 - Página 4 de 6
⎧ n ⎫
(f) ⎨
⎬
⎩ 2.n + 1⎭ n≥0
⎧ n + 1⎫
(g) ⎨ 2 ⎬
⎩ n ⎭ n≥1
⎧n ⎫
(h) ⎨ n ⎬
⎩ e ⎭ n≥0
⎧⎪⎛ n + 1 ⎞ n ⎫⎪
(i) ⎨⎜
⎟ ⎬
⎪⎩⎝ n − 1 ⎠ ⎪⎭ n≥ 2
Seqüências Definidas Recursivamente
Algumas seqüências não surgem de uma fórmula para o termo geral, mas de fórmulas que especificam
como gerar cada termo em função de seus anteriores. Tais seqüências dizemos são definidas
recursivamente e as fórmulas que as definem são chamadas de fórmulas de recursão.
1⎛
2⎝
Exemplo 1: a 0 = 1 e a n+1 = .⎜⎜ a n +
2
an
⎞
⎟⎟ definem a seqüência:
⎠
Mostre que a fórmula de recursão : a 0 = 1
aproxima de
e
1⎛
p
a n +1 = .⎜⎜ a n +
2⎝
an
⎞
⎟⎟ produz uma seqüência que se
⎠
p com qualquer grau de precisão.
Tópico 5 - Página 5 de 6
Exemplo 2: A seqüência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... é chamada seqüência de Fibonacci.
(a) Qual sua fórmula recursiva?
(b) Mostre que
an+2
a
= 1 + n , para n ≥ 1
an+1
an+1
Exercícios:
⎧2 x , 0 ≤ x < 0,5
⎩2 x − 1, 0,5 ≤ x < 1
(a) Escreva a seqüência f (0,2), f ( f (0,2)), f ( f ( f (0,2))),...
1. Seja f ( x ) = ⎨
(b) A seqüência converge?
2. (a) Um estudante entediado entra com o número 0,5 em uma calculadora e calcula repetidamente o
quadrado do número no visor. Tomando-se a0 = 0,5, ache a fórmula para o termo geral da
seqüência {an} de números que aparece no visor.
(b) Tente com a calculadora e faça uma conjetura sobre o limite de an.
(c) Confirme calculando o limite de an.
(d) Para quais valores de a0 este procedimento produz uma seqüência convergente?
Exercícios Complementares:
Referência: Anton, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. Volume 2.
Página
46
47
Exercícios
1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 21, 23, 25, 27, 33, 34
37, 41
Tópico 5 - Página 6 de 6