Fundamentos de Análise Matemática
Profª Ana Paula
Sequência Infinitas
Definição 1: Uma sequência numérica a 1 , a 2 , a 3 , , a n , é uma função, definida no
conjunto dos números naturais :
f:n fn
an
Notação:
O número n é chamado de índice e a n o n-ésimo elemento da sequência, ou termo
geral.
an n
a n para sequência.
a1, a2, a3, , an,
a
a1, a2, a3, , an,
é conjunto dos termos da sequência.
Exemplos:
1) a n n
2) a n
1
n
3) a n
a
n
n
,a
0 n par
4) a n
5) a n
n
n
1 n ímpar
an
n
n
6) a n
1
7) a n
5 e an
,a
n
n 1
1
n
2a n
n
8) a n
1, 2, 5, 9, 1, 1, 1,
9) a n
2, 3, 5, 7, 11,
10) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1
/n
, 1,
, 37,
, 1,
1
1 (sequência definida por recorrência)
11) 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0,
12) a n
5
n
1
0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0,
n
Definição 2: Diz-se que uma sequência a n converge para o número L, ou tem
limite L se, dado qualquer número
0, é sempre possível encontrar um número N tal
que
n N
|a n L|
isto é,
0, N
tal que n N
|a n L|
Uma sequência que não converge é dita divergente. Chama-se sequência nula
toda sequência que converge para zero.
Notação:
lim a n L ou a n L ou lim n a n L
OBS:
1) Ao dizermos "dado qualquer
0" está implícito que pode ser arbitrariamente
pequeno, ou seja, tão pequeno quanto quisermos.
Uma vez satisfeita para um certo
0 , estará satisfeita com qualquer
positivo, menor do que um certo 0 para que
0 ; portanto, basta prová-la para todo
ela provada para qualquer
0.
2) Supor que N é um inteiro positivo, um índice da sequência; pois se não for assim,
é claro que ele pode ser substituído por qualquer inteiro maior. Mas N não precisa ser
inteiro!
3) Pode ser n N
ou n N
.
|a n L|
|a n L|
4) Se é possível fazer |a n L|
com qualquer
0, certamente é possível fazer
/2, portanto, |a n L|
.
|a n L|
5) Tanto faz |a n L|
ou |a n L| k para uma constante k 0, pois se é possível
fazer |a n L| k com qualquer
0, certamente é possível fazer |a n L| k /k
.
6) Se suprimirmos de uma sequência a n um número finito de seus termos, isso
não altera o caráter da sequência com n
. Assim, se a sequência original converge
para L, ou diverge, a nova sequência convergirá para L ou divergirá, respectivamente.
Definição 3: Dado um número L qualquer, chama-se vizinhança
números x do intervalo L , L
.
Notação: V L
Isto é,
x V L
x L
L
x L
|x L|
2
de L a todos os
OBS: Ao definirmos limite, estamos dizendo
n N an V L ,
ou seja,
n N
|a n L|
ou
n N
an L
,
ou ainda
n N
L
an L
OBS:
pode ser dado arbitrariamente mas, uma vez prescrito, não pode ser
mudado até a determinação de N.
Exemplos: Prove, pela definição, que as sequências convergem para os limites
dados:
n
1) a n
1
n 12
2) a n
3) a n
3n
n sen2n
2
3n 4n
n2 n 4
3
3
Definição 4:Diz-se que uma sequência a n de números reais é limitada à direita ou
limitada superiormente se existe um número B tal que a n B para todo n; e limitada à
esquerda ou limitada inferiormente se existe um número A tal que A a n para todo n.
Uma sequência limitada superiormente e inferiormente é dita, simplesmente, limitada.
Isto equivale a afirmar que existe um número M tal que |a n | M para todo n.
Teorema 1: Toda sequência convergente é limitada.
OBS:
1) A recíproca não é verdadeira.
Contra-exemplos:
1) a n
0 n par
1 n ímpar
n
2) a n
1 n
n
3) A contrapositiva é verdadeira: "Todo seqüência não limitada não converge", o que
é usado para provar quando a seqüência é divergente.
3
Teorema 2: Se uma seqüência a n converge para um limite L, e se A
então, a partir de um certo índice N, A a n B.
Corolário 1: Se uma seqüência a n converge para um limite L
L
.
de certo indíce N, |a n |
2
L
B,
0, então, a partir
OBS: Sempre que tivermos uma seqüência com limite diferente de zero, poderemos
encontrar números A e B de mesmo sinal nas condições do teorema. Em geral, nas
aplicações, utilizamos apenas uma das desigualdades, ou A a n ou a n B.
Teorema 3: Sejam a n e b n duas seqüências convergentes, com limites a e b
respectivamente. Então a n b n , a n b n e ka n , onde k é uma constante qualquer, são
seqüências convergentes, além de que,
lim a n lim b n a b;
a) lim a n b n
b) lim ka n
k lim a n ka; em particular, k
1 nos dá a n a
an
a;
c) lim a n b n
ab;
lim a n lim b n
d) Se, além das hipóteses acima, b 0, então existe o limite ab nn , igual a ab ;
Exercício: Prove, por indução, a seguinte desigualdade, devida a Jacques Bernoulli:
1 x n 1 nx
válida para x
1 e n natural.
Exemplo:
1) Dado um número a
2) Prove que n n
1.
0, prove que n a
1.
Definição 5: Diz-se que uma seqüência a n é crescente se a 1 a 2
an
e
decrescente se a 1 a 2
an
. Diz-se que a seqüência é não-decrescente se
a1 a2
an
e não-crescente a 1 a 2
an
. Diz-se que a seqüência é
se ela satisfaz qualquer uma dessas condições.
4
Exemplos: Classifique as seqüências como crescente, decrescente,
não-decrescente, não-crescente e monótona. Além verifique se elas são limitadas
inferiormente, superiormente e limitada.
1) a n n
n
2) a n
1
n
3) a n
a
n
n
,a
0 n par
4) a n
n
1 n ímpar
an
5) a n
n
n
6) a n
1
7) a n
5 e an
,a
n
n 1
n
2a n
1
n
8) a n
1, 2, 5, 9, 1, 1, 1,
9) a n
2, 3, 5, 7, 11,
10) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
, 37,
, 1,
11) 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0,
12) a n
5
5
n
1
n
, 1,
/n
1 (seqüência definida por recorrência)
OBS: Seqüência não-decrescente
não-crescente é limitada superiormente.
é
limitada
inferiormente.
Seqüência
Teorema 4: Toda seqüência monótona e limitada é convergente.
Exemplo:
Prove que a seqüência a n
tem limite.
1
n
1
n
que define e é crescente e limitada, portanto,
Subseqüências
Definição 6: Uma subseqüência de uma dada seqüência a n é uma restrição
dessa seqüência a um subconjunto infinito
do conjunto dos números naturais. Dito
de outra maneira, uma subseqüência de a n é seqüência do tipo b j
a n j , onde n j
é uma seqüência crescente de inteiros positivos, isto é, n 1 n 2
.
Notação: a nk nk ou a n n ou a nk k
OBS:
1) Qualquer subseqüência de a n pode ser vista como uma seqüência.
k
nk
a nk
Exemplos:
2 n n par
1) a n
2) a n
1
n
1
n
n ímpar
1
1
n
OBS:
1) Subseqüência de seqüência monótonas também é monótona.
2) Subseqüência de seqüência limitada também é limitada.
3) Subseqüência de seqüência limitada inferiormente também é limitada
inferiormente.
4) Subseqüência de seqüência limitada superiormente também é limitada
superiormente.
6
Teorema 5: Se uma seqüência a n converge para um limite L, então toda sua
subseqüência a n j também converge para L.
Definição 7: Diz-se que a seqüência a n diverge (ou tende) para
e escreve-se
ou lim a n
se, dado qualquer número positivo k, existe N tal que n N
lim a n
a n k. Analogamente, a n diverge (ou tende) para
e escreve-se lim a n
se,
dado qualquer número negativo k, existe N tal que n N a n k;
Exemplos:
1. a n
n
2. a n
n2
3. a n
n
4. a n
n
1
5. a n
3
n2
6. a n
6
n
Teorema 6:
a) a n
an
.
b) Seja a n uma seqüência não limitada. Sendo não decrescente, ela tende a
;e
sendo não crescente, ela tende a
.
c) Se lima n
, então a1n tende a zero.
d) Se lima n 0, então a1n tende a
se a n 0, e tende a
se a n 0.
e) Se b n é uma seqüência limitada e a n
ou a n
, então a seqüência
a n b n tende a
ou a
, respectivamente.
f) Se a n
e b n c, onde c é um número positivo, então a n b n
. (Em
particular, a n
e bn
anbn
.
g) Se a n
. e a n b n , então bn
.
7
Exemplos:
1. Prove que a seqüência a n , com a
1, tende a infinito.
Teorema 7 (dos intervalos encaixados):. Seja I n
a n , b n , n 1, 2, 3, , uma
família de intervalos fechados e encaixados, isto é, I 1
I2
In
. Então existe
pelo menos um número c pertencendo a todos os intervalos I n (ou, o que é o mesmo,
c I1 I2
In
. Se, além das hipóteses feitas, o comprimento |I n | b n a n do
n-ésimo intervalo tender a zero, então o número c será único, isto é,
I1 I2
In
c .
OBS:
1) A condição de que os intervalos sejam fechados é essencial no teorema anterior:
In
0, 1n são encaixados e limitados mas não são fechados. É fácil ver que sua
interseção é vazia.
2) A condição de que os intervalos sejam limitados é essencial no teorema anterior:
n,
é uma família de intervalos fechados e encaixados, mas sua interseção é
In
vazia.
Definição 8: Diz-se que L é um valor de aderência ou ponto de aderência de uma
dada seqüência a n se a n possui uma subseqüência convergindo para L.
Teorema 8 (de Bolzano-Weierstrass): Toda seqüência limitada a n possui uma
subseqüência convergente.
Teorema 9 (Critério de convergência de Cauchy): Uma condição necessária e
suficiente para que uma seqüência a n seja convergente é que, qualquer que seja
0, exista N tal que
n, m N
.
|a n a m |
Dado
8
0, existe um índice N tal que, para todo inteiro positivo p,
n N
.
|a n a n p |
Definição 9: Chama-se seqüência de Cauchy toda seqüência que satisfaz uma
das condições equivalentes.
Exemplos:
1
1) a n
n
2) a n
1
n
n
Contra-exemplo:a n
9
1 n.