COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ
Portal Professor / CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA - 2009
SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA
www.cap.ufrj.br/matematica
Circunferência Trigonométrica
Considere o vetor unitário v = i = (1, 0) , ou seja, v = (1, 0) .
Se o vetor v for girado em torno da origem segundo um ângulo de 360º, então a ponta do vetor descreverá
uma rotação. Convenciona-se como sentido positivo de rotação o sentido anti-horário, e como sentido negativo
o sentido horário. Portanto, rotações no sentido horário são indicadas pelo sinal “–”.
Ao girar o vetor v em torno da origem segundo um ângulo α obtém-se um vetor que denominaremos de vα .
Observe as figuras:
1
Rotação de 360° de v em torno da origem
Rotação por um ângulo α de v em torno da origem
Define-se: A rotação de 360° do vetor v = (1, 0) no plano cartesiano determina, neste mesmo plano, um
círculo unitário. A circunferência assim determinada é denominada "circunferência trigonométrica”.
Com base nesta ideia, podemos verificar que a rotação do vetor v = (1, 0) , em torno da origem, segundo um
ângulo de 360º, faz com que a ponta do vetor descreva uma circunferência de raio de medida 1. Isto é, a ponta
do vetor percorreu uma distância que representa o comprimento da circunferência de centro em O e raio 1, ou
seja, 2 π .1 = 2 π .
Em outras palavras, pode-se dizer que a Circunferência Trigonométrica possui raio unitário e comprimento
igual a 2 π , igual a sua medida em radianos.
Sendo assim, a rotação do vetor v = (1, 0) em torno da origem segundo um ângulo de 30º, por exemplo, faz
π
com que a ponta do vetor descreva um arco de circunferência de raio unitário e comprimento
. Isto é, o arco
6
π
de 30º determinado numa circunferência trigonométrica tem comprimento
, igual a sua medida em
6
radianos.
É muito importante neste momento levar o aluno a observar que, ao rotacionar o vetor v = (1, 0) em torno da
origem, segundo um ângulo 0° < α < 90° , obtém-se um vetor v = (x, y) = (cos α, sen α) .
Isto se deve ao fato de que no triângulo retângulo determinado por vα com Ox encontram-se as relações:
sen α =
y
x
→ y = sen α e cos α =
→ x = cos α .
1
1
y
x
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Assim, considerando o vetor v = (1, 0) com origem no centro da circunferência trigonométrica, definem-se cos α
e sen α como sendo, respectivamente, a abscissa e ordenada de v = (1, 0).
Dessa forma, sugerimos que se proponha que os alunos conjecturem como determinar as coordenadas do vetor
vα em outras situações, quando o ângulo α for maior do que 90º.
I) 90° < α < 180° vα = (
,
)
Resposta: vα = ( − cos α, sen α )
II) 180° < α < 270° vα = (
,
)
Resposta: vα = ( − cos α, − sen α )
III) 270° < α < 360° vα = (
,
)
Resposta: vα =
( cos α, − sen α )
Em seguida, sugerimos que, a partir da rotação de v = (1, 0) , os alunos determinem as coordenadas de vα se
α assumir as medidas: 0º, 90°, 180º, 270º e 360º.
Eles perceberão que as rotações segundo estes ângulos não formam triângulos retângulos com o eixo Ox, logo
terão que determinar as coordenadas através do módulo do vetor vα , que é exatamente o raio da
circunferência: 1.
Com isso, eles observarão que as coordenadas do vetor vα , para qualquer 0° ≤ α ≤ 360° , são sempre possíveis
de serem determinadas na circunferência trigonométrica e em qualquer outra circunferência que se conheça a
medida do raio.
Como aplicação prática, apresentamos a seguinte atividade:
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Atividade: Divida a circunferência trigonométrica em 12 partes iguais, a partir da origem 0o , indique a medida
em graus x, 0° ≤ x ≤ 360° , associada ao arco determinado, no sentido positivo, por cada ponto divisor e a
origem da circunferência trigonométrica. Em seguida, faça o que se pede:
a) Indique, para cada valor de x, a medida correspondente em radianos. Busque uma solução rápida e
prática, sem utilizar a regra de três, para determinar os 12 ângulos nessa unidade (rad).
b) Observe e registre no seu caderno que relações existem entre os ângulos de medidas: 0º, 90°, 180°,
270° e 360°.
c)
Observe e registre no seu caderno que relações existem entre os ângulos de medidas: 30º, 150°, 210°
e 330°.
d) Observe e registre no seu caderno que relações existem entre os ângulos de medidas:
π 2π 4π
,
,
e
3
3
3
5π
.
3
e) Escreva as coordenadas dos vetores cujas extremidades (pontas) correspondem a cada número x.
f)
Calcule o valor de sen 120° e cos 120°.
g) Calcule o valor de sen 180° e cos 180º.
h) Calcule o valor de sen
7π
7π
e cos
.
6
6
i)
3π
3π
e cos
.
2
2
Calcule o valor de sen
Resolução comentada:
Ao dividir a circunferência em 12 partes iguais, o aluno se recordará de um relógio analógico e deverá perceber
π
que os arcos determinados possuem medida 30º ou rad .
6
90º =
120º =
150º =
π
rad
2
2π
rad
3
π
rad
3
60º =
5π
rad
6
30º =
180º = π rad
π
rad
6
30º
0º = 360º = 2π rad
210º =
7π
rad
6
240º =
330º =
4π
rad
3
300º =
270º =
3π
rad
2
5π
rad
3
11π
rad
6
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a) Uma solução mais rápida e prática, sem utilizar a regra de três, é perceber que cada arco possui
logo o ponto B terá 2 arcos de
C: 3 arcos de
D: 4 arcos de
E: 5 arcos de
F: 6 arcos de
G: 7 arcos de
π
rad , ou seja,
6
π
rad , ou seja,
6
π
rad , ou seja,
6
π
rad , ou seja,
6
π
rad , ou seja,
6
π
rad ,
6
π
2π π
rad , ou seja,
= rad . Com base nesse raciocínio, tem-se:
6
6
3
3π π
= rad .
6 2
4π 2π
=
rad .
6
3
5π
rad .
6
6π
= π rad .
6
7π
rad .
6
π
8π 4π
rad , ou seja,
rad .
=
6
6
3
π
9π 3π
=
I: 9 arcos de rad , ou seja,
rad .
6
6
2
π
10π 5π
J: 10 arcos de rad , ou seja,
=
rad .
6
6
3
π
11π
K: 11 arcos de rad , ou seja,
rad .
6
6
π
12π
L: 12 arcos de
rad , ou seja,
= 2π rad .
6
6
H: 8 arcos de
b) Em 0º, 90°, 180°, 270° e 360° são as interseções da circunferência com os eixos coordenados. E
ainda: 90° é simétrico de 270º em relação à Ox e 180º é simétrico de 0º = 360º em relação à Oy.
c)
Em relação à Oy, 30º é simétrico de 150°, e 210° é simétrico de 330°.
d) Em relação à Oy,
π
2π
4π
5π
é simétrico de
,e
é simétrico de
.
3
3
3
3
e)
 3 1
A = (cos 30°, sen 30°) = 
, 
 2 2



3
1
G = (cos 210°, sen 210°) =  −
,− 
 2

2


1 3 
B = (cos 60°, sen 60°) =  ,

2 2 


 1
3
H = (cos 240°, sen 240°) =  − , −

 2

2


C = (cos 90°, sen 90°) = ( 0,1)
I = (cos 270°, sen 270°) = ( 0, − 1)
 1 3
D = (cos 120°, sen 120°) =  − ,

 2 2 


1
3
J = (cos 300°, sen 300°) =  , −

2

2



3 1
E = (cos 150°, sen 150°) =  −
, 
 2 2


 3
1
K = (cos 330°, sen 330°) = 
,− 
 2

2


F = (cos 180°, sen 180°) = ( −1, 0 )
M = (cos 360°, sen 360°) = (1, 0 )
Para determinar D = (cos 120°, sen 120°), basta traçar o
triângulo retângulo que aparece em destaque na figura ao
lado:
Assim, D = (cos 120°, sen 120°) = (–cos 60°, sen 60°) =
 1 3
− ,
.
 2 2 


Esta ideia se repete para todos os pontos da
circunferência: basta traçar um triângulo retângulo em
que um cateto está sobre Ox e a hipotenusa é 1 e
determinar as coordenadas do vetor rotacionado.
f)
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De acordo com os pontos determinados anteriormente: sen 120°=
3
1
e cos 120° =
.
2
2
g) De acordo com os pontos determinados anteriormente: sen 180°= 0 e cos 180º = –1.
h) De acordo com os pontos determinados anteriormente: sen
7π
1
7π
3
= −
e cos
= −
.
6
2
6
2
i)
3π
3π
= –1 e cos
= 0.
2
2
De acordo com os pontos determinados anteriormente: sen
Após a aplicação desta atividade e sua resolução juntamente com a turma, consideramos que deve ser
aplicada uma lista de exercícios de fixação deste conteúdo, abrangendo as divisões da circunferência em 8
partes iguais, para que os ângulos de 45º, 135º, 225º e 315° produzam significado para eles.