COMISSÃO PERMANENTE DE SELEÇÃO – COPESE
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO – PROGRAD
CONCURSO PISM III - TRIÊNIO 2008-2010
Prova de Matemática
Resolução das Questões Objetivas
São apresentadas abaixo possíveis soluções para as questões propostas. Nessas
resoluções buscou-se justificar as passagens visando uma melhor compreensão do
leitor.
1) Seja E o espaço amostral de resultados associados a um certo experimento aleatório. Sejam A e B
dois eventos ( A  E e B  E ). Sabe-se que a probabilidade do evento A ocorrer é 0,3 . Denotando
por M o complemento de um evento M , dentre os eventos seguintes, o que pode ter probabilidade
inferior a 0,3 é:
a) A  B
b) A  B
c) A  B
d) A  B
e) A  B
Solução: Uma das propriedades da Teoria de Probabilidades estabelece que:
“se M e N são dois eventos tais que M  N então P M   P N  ”.
Utilizaremos essa propriedade para analisar as alternativas propostas:
a) P  A  B   P  A   0,3 , pois A  B  A

  
b) P A  B  P A  1  0,3  0,7 pois A  B  A
c) P  A  B   P  A   0,3 pois  A  B   A

 


  
d) P A  B  P A  B  P A  1  0,3  0,7 pois A  B  A
e) P A  B  P  A   0,3 pois A  B  A
Logo, o único evento que pode ter probabilidade inferior a 0,3 é A  B .
Gabarito: c
2) Seja i  1 . Das alternativas abaixo, a única que contém dois números que podem ser raízes de um
mesmo polinômio de grau 3, com coeficientes reais, é:
a) 1  i e 1  i
b) 1  i e 1  i
c) 1  i e 1  i
d) 1  i e 1  i
e) 1  i e 1  i
Solução:
Um polinômio de grau 3 tem exatamente três raízes, consideradas as multiplicidades. As raízes
complexas de um polinômio com coeficientes reais ocorrem sempre aos pares conjugados, isto é, se um
número complexo é raiz de um polinômio então seu conjugado é também raiz desse polinômio.
A alternativa que apresentar dois números complexos que sejam conjugados um do outro será a
alternativa correta.
Analisando as opções conclui-se que os números 1  i e 1  i são complexos conjugados e portanto
podem ser raízes de um mesmo polinômio de grau 3.
Gabarito: d
3) Um veterinário de uma fazenda produtora de suínos estabeleceu uma dieta, por animal, com base nos
alimentos I, II e III para atender às necessidades diárias de, exatamente, 7 gramas de vitamina A, 6
gramas de vitamina B e 8 gramas de vitamina C, que podem ser encontradas nesses alimentos, segundo a
tabela abaixo.
Alimentos
I
II
III
Vitaminas por kg
A
B
C
2g
1g
2g
3g
1g
2g
1g
2g
2g
Custo por kg
de alimento
R$ 0,50
R$ 0,20
R$ 0,30
O custo diário da dieta, por animal, é:
a) R$ 1,10
b) R$ 1,20
c) R$ 1,30
d) R$ 1,40
e) R$ 1,50
Solução:
Sejam x, y e z as quantidades, em kg, dos alimentos I, II e III utilizados por animal para elaborar essa dieta.
Pelas informações do enunciado e da tabela tem-se:
2 x  3 y  z  7

 x  y  2z  6
2 x  2 y  2 z  8

Fazendo ii   iii  obtém-se: z  2
ou
2 x  3 y  z  7

 x  y  2z  6

 x  y  z  4
i 
ii 
iii 
iv 
Substituindo  iv  em  i  e  ii  obtém-se:
2 x  3 y  5

 x  y  2
v 
vi 
Fazendo v   2 vi  , obtém-se: y  1.
Substituindo y  1 em vi  chega-se a x  1.
Com isso, para elaborar essa dieta, serão necessários, diariamente, 1 kg do alimento I, 1 kg do alimento II
e 2 kg do alimento III.
Portanto, o custo diário da dieta, por animal, é
1 R$ 0,50  1 R$ 0,20  2  R$ 0,30  R$ 1,30 .
Gabarito: c
4) No plano cartesiano, seja C uma circunferência situada no 1º quadrante, tangente à reta x  3 e
tangente ao eixo x no ponto  7,0  . Uma equação cartesiana de C é:
a)  x  7    y  4   16
2
2
b)  x  7    y  3   4
2
2
c)  x  3    y  7   16
2
2
d)  x  7   y 2  49
2
e)  x  4    y  4   4
2
2
Solução: Observe a figura abaixo.
A circunferência procurada, por ser tangente ao eixo das abscissas no ponto  7,0  , terá seu centro sobre
a reta vertical x  7 .
Como essa circunferência também deve ser tangente à reta x  3 , e como essa dista da reta x  7
exatamente 4 unidades, segue que o seu raio deverá ser igual a 4. Consequentemente o centro dessa
circunferência deve ser um ponto que dista 4 unidades do eixo x e 4 unidades da reta x  3 . Portanto o
centro deve ser o ponto  7,4  .
A equação da circunferência procurada é então:
 x  7   y  4
2
 x  7   y  4
2
Gabarito: a
2
 42
2
 16
5) Considere o sistema
a1x  b1y  c 1z  d 1



a 2 x  b2 y  c 2z  d 2
nas variáveis x , y e z . Sobre este sistema, podemos afirmar que:
a) possui uma única solução.
b) possui exatamente três soluções.
c) possui infinitas soluções.
d) não possui soluções.
e) não possui soluções ou possui infinitas soluções.
Solução:
Todo sistema de equações lineares só admite três possibilidades para seu conjunto solução:
i) ser um conjunto unitário (ter solução única);
ii) ser um conjunto vazio (não possuir solução);
iii) ser um conjunto infinito (possuir infinitas soluções).
Nesse problema, por se tratar de um sistema de duas equações lineares a três incógnitas, não é possível
que esse sistema tenha solução única, já que o número de equações é inferior ao número de incógnitas.
Portanto restam para esse sistema duas possibilidades:
não possui soluções ou possui infinitas soluções.
Gabarito: e