ESCOLA SECUNDÁRIA DE MAXIMINOS
maxi
minus
escola sec.
de maximinos
FICHA DE TRABALHO
ESPAÇO: RECTAS E PLANOS
r 
r
k +1 r
1. Sejam os vectores u =  − 4;1;
, v = (4;−2;5) e w = (2;3;−1)
2 

r
1r r
a) Determina o valor de k de modo que o vector v + w seja perpendicular ao vector u
2
r r
b) Calcula os números a e b, para que o vector v − w e o vector de coordenadas (a; b;3 − a )
sejam colineares.
r
c) Determina um vector com norma 10 e que seja colinear a w .
r
r
d) Indica um vector que seja perpendicular a v e w .
2. Observa a figura ao lado
a) Comenta a afirmação:
“ A recta AB está contida no plano de equação x + 2 y − z = 5 “
b) Determina as coordenadas de um ponto C, pertencente ao eixo
O z e de cota positiva, de modo que o triângulo ∆ ABC
seja rectângulo em C.
c) Determina o volume do cone que resulta da rotação do
∆ ABC em torno do eixo O x
[
[
z
]
O
]
d) Determina a equação do plano ABO.


e) Determina tg  OAB 


B
1
A
5
∧
x
3. Resolve, classifica e interpreta geometricamente as soluções dos sistemas:
2 x − 3 y − 2 z = 2
x + y = 0
4 x − 3 y + z = 4



a) 4 x − 3 y + z = 4
b)  x + y + z = 3
c) 2 x + 3 y − 2 z = 2
2 x + 12 y − 7 z = 2
x − z = 1
2 x + 12 y − 7 z = 2



4. Sejam os planos α, β e π de equações:
α : 2 x + 3 y + 3z − 4 = 0 β : − 3x − 2 y + z − 1 = 0 e π : 7 x + 4 y − 2 z + 6 = 0
a) Indica um ponto do plano β
b) Indica a equação de um plano:
b1) estritamente paralelo a β
b2) secante a π
b3) perpendicular a α
c) Comenta a afirmação:
“ O plano definido pelos pontos A(0;−2;−3), B (0;1;3) e C (−1;1;1)
é coincidente com o plano β “
d) Determina a posição relativa dos três planos
e) Determina o ângulo formado pelos planos α e β
f) Escreve as equações cartesianas de uma recta que passa pelo ponto T (−2;0;1) e:
f1) paralela ao plano α
f2) perpendicular ao plano β
g) Indica a equação de uma recta contida no plano π
x + 6 y + 3 z +1
h) Justifica que a recta de equação
=
=
é secante ao plano α e determina
−1
2
1
o ponto de intersecção.
y
3
5. Sejam as rectas
r : ( x; y; z ) = (0;0;−3) + k (2;1;0 ), k∈R e s : x − 1 =
y − 2 z +1
=
−3
−1
a) Determina o ângulo formado pelas rectas
b) Determina a equação de uma recta:
b1) concorrente a r
b2) estritamente paralela a s
c) Indica a equação de um plano paralelo à recta r
d) Comenta a afirmação: “ As rectas r e s são não complanares “
6. Na figura está representada, em referencial o. n. Oxyz, uma pirâmide
quadrangular regular.
A base da pirâmide está contida no plano de equação z = 4.
O vértice A pertence ao eixo Oz.
O vértice B pertence ao plano yOz.
O vértice D pertence ao plano xOz.
O vértice C tem coordenadas (4, 4, 4).
A altura da pirâmide é 6.
y
z−4
a) Mostra que uma condição que define a recta DE é x − 4 =
=
−1
3
b) Determina uma equação do plano que passa no ponto B e é perpendicular
à recta DE.
c) Determina a área da secção produzida na pirâmide pelo plano xOy.
7. Na figura está representado um cubo.
Uma equação do plano VTQ é x + y + z = 6.
a) Mostre que o volume do cubo é 27.
b) Determine uma equação da superfície esférica, tal que:
− o centro é o simétrico de U, em relação ao plano xOy;
− o ponto Q pertence a essa superfície esférica.
c) Seja a o plano que contém o ponto S e é paralelo ao plano VTQ.
Prova que a recta RP está contida emα.
Bom trabalho,