Prof. Robson Rodrigues da Silva
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4. Gradiente e derivada direcional
4.1 Gradiente
Seja f : D  R  R uma função de duas variáveis. Se as derivadas parciais
2
f
f
e
y
x
existem em D, chama-se gradiente de f e denota-se por f ao vetor definido por:
f =
f
f
j
i +
y
x
f = (
ou
f  f
,
)
x y
2
Exemplo. Represente o gradiente da função f(x,y) = x y – 2x no ponto P(2,1).
Lembrete
Sejam u = (x1,y1) e v = (x2,y2) dois vetores não nulos. Então vimos que o produto escalar
desses dois vetores é definido por:

u . v = x1x2 + y1y2

u . v = || u ||.|| v ||.cos

u  v  u . v = 0.
x
x
y
Exercício 1 – Calcule o ângulo formado pelos gradientes das funções f(x,y) = y.e e g(x,y) = e + e no
ponto P(0,0).
2
2
Exercícios 2 – Calcule o ângulo formado pelos gradientes das funções u = x + y e v =
Observação – O gradiente de uma função de três variáveis é definido por f = (
x
em P(1,1).
y
f  f  f
,
,
).
x y z
4.2 Derivada direcional
Vamos agora utilizar o gradiente de uma função para definir a derivada direcional.
Sendo f uma função de duas variáveis vimos como calcular a derivada de f na direção do
eixo x (
f
f
f  f
) e na direção do eixo y (
). Agora lembrando que f = (
,
), i = (1,0) e j = (0,1)
y
x
x y
temos:
f . i = (
f  f
f
,
).(1,0) =
=Df
i
x y
x
e f . j = (
f
f  f
,
).(0,1) =
=D f
j
y
x y
notação
gradiente de f
vetor que fornece
a direção e sentido
do deslocamento
Cálculo Diferencial e Integral III – Gradiente e derivada direcional
Como seria a derivada de f na direção de um vetor u qualquer?
23
D f  f.u
u
Definição. Sendo f uma função diferenciável e u um vetor unitário, a derivada direcional de f na
direção do vetor u será denotada e definida por:
D f  f.u
u
Observações
1. Note que se u = i então D f 
u
2.
f
f
e se u = j então D f 
.
u
y
x
D f fornece a taxa de variação de f para deslocamentos na direção e sentido do vetor u .
u
3. A derivada direcional de f na direção do vetor u também pode ser denotada por
f
u
3 2
Exemplo 1. Sendo f(x, y) = x y calcule a derivada direcional de f no ponto P(-1,2) na direção do vetor
v = (3,4).
2
Exemplo 2. Sendo f(x, y) = x – 4xy calcule a derivada direcional de f no ponto P(1,2), na direção de P
para Q(2,5).
3
2
Exemplo 3. Sendo f(x, y, z) = x + yz calcule a derivada direcional de f no ponto P(1,1,2) e na direção
do vetor v = 2 i + j - 2 k .
Exemplo 4. Sendo f(x, y) = x y calcule a derivada direcional de f no ponto P(2,4) na direção  = 30
o
com a horizontal.
Exemplo 5. Sendo f(x, y) = x y calcule a derivada direcional de f no ponto P(2,4) na direção da
2
tangente a parábola y = x no sentido crescente do eixo y.