UM ESTUDO SOBRE EXERCÍCIOS REPETITIVOS EM MATEMÁTICA E SUA
RELAÇÃO COM O RACIOCÍNIO
Jessica Martins de Souza
Acadêmica de Matemática da Universidade Estadual
Do Mato Grosso do Sul, Unidade de Nova Andradina.
[email protected]
Bolsista UEMS
Antonio Sales
Professor da UEMS, Unidade de Nova Andradina.
[email protected]
Resumo. O presente artigo é parte de um projeto de pesquisa realizado com alunos do ensino
fundamental em uma escola publica de Nova Andradina. Teve como objetivo principal observar a
contribuição do uso da argumentação no ensino da matemática e na construção dos raciocínios
dedutivo, indutivo, abdutivo por alunos do ensino fundamental. Traz a análise de duas atividades
desenvolvidas e descreve o processo de interação do pesquisador com os sujeitos em uma
sequência de sessões ocorridas durante o último bimestre de 2011 e que envolvia o estudo da
geometria plana. O referencial adotado para análise foi a teoria dos raciocínios proposta por Pierce
e os resultados mostram que quando as atividades são parecidas não há uma reelaboração do
raciocínio.
Palavras-chave: Argumentação, Demonstração, Raciocínio, Indução, Abdução, Dedução,
Exercícios Repetitivos.
1.Introdução
A grande preocupação com o método de ensino e o aprendizado dos alunos do
ensino fundamental vem se tornando constante para nós que somos acadêmicos em um
curso de licenciatura. Ao passar dos anos, foram realizadas, pelo Ministério da Educação
várias avaliações para diagnosticar os possíveis problemas relacionados ao campo do
conhecimento, que têm trazido dificuldades no processo de ensino e aprendizagem.
(BRASIL, 2012).
Essa preocupação nos levou a conduzir uma pesquisa envolvendo o aprendizado da
geometria euclidiana através do processo de argumentação.
Nossa pesquisa analisa a contribuição do uso da argumentação no processo de
aprendizagem da matemática, tendo como pressuposto que a argumentação colabora para o
desenvolvimento do raciocínio geométrico. Argumentação faz parte da Lógica, não é um
conceito matemático e nem mesmo tem a sua origem na Pedagogia. É um recurso que tem
como propósito convencer alguém ou esclarecer. Quando se trata da matemática, essa
forma de abordagem tem o objetivo de desenvolver a capacidade de estabelecer relações
entre vários objetos matemáticos sejam eles ostensivos, isto é, que podem ser percebidos
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pelos sentidos, ou não-ostensivos, aqueles que não são percebidos pelos sentidos por
pertencerem ao campo das ideias.
Quando analisamos uma argumentação do ponto de vista das suas finalidades
podemos dizer que esta se divide em explicativa e justificatória, ou seja, a explicação e
justificativa.
Explicação ou esclarecimento traz o sentido de se explicar algo sem a intenção
de convencer sobre o que se está falando.
A justificativa por sua vez tem como objetivo convencer alguém. Há uma
elaboração prévia e a busca por uma organização lógica das ideias.
Uma justificativa pode se apresentar em três níveis: folclórica, natural e racional.
É folclórica quando baseada em evidências ingênuas ou quando se trata de um
costume.
É natural quando se verifica a elaboração de um raciocínio através de alguma
regularidade, mas ainda faltando a sistematização.
É racional quando a elaboração do raciocínio é seguida de uma sistematização e há
evidências de uma fundamentação teórica, isto é, a argumentação tem por base o conjunto
de proposições da ciência sobre a qual a atividade em questão se apoia.
Para efeito deste trabalho, e tendo em vista que se trata de alunos do ensino
fundamental, consideramos como racional a argumentação ainda que a sistematização da
atividade permaneça mais no nível da verbalização e as articulações das propriedades
tenham permanecidas implícitas. A argumentação racional é uma demonstração e, no
âmbito deste trabalho, é suficiente que seja a demonstração didática.
A demonstração, embora também não seja um conceito puramente matemático, se
processa através de objetos matemáticos ostensivos visando validar a relação que se
conjectura existir entre objetos matemáticos não ostensivos. A argumentação, mesmo
sendo menos precisa e menos formal, também utiliza objetos ostensivos, matemáticos ou
não, para cumprir o seu papel de procurar esclarecer ou convencer. Na Matemática, a
demonstração não é objeto de estudo, é uma ferramenta de trabalho conforme salientou
Delgadilho (apud SALES,2010). Quando há alguma discussão a respeito, esta ocorre no
âmbito da Filosofia da Matemática.
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2.Demonstração didática
Em nossa perspectiva, a argumentação é um pré-requisito para demonstração
didática. Esse adjetivo para a demonstração não é encontrado nos meios acadêmicos ou,
pelo menos, não é do nosso conhecimento. Concebemos dois tipos de demonstração:
didática e burocrática.
A demonstração é a uma atividade matemática cuja definição e ensino está fora do
seu campo de estudos. Na matemática procede-se, exercita-se a demonstração, mas não se
cuida de discuti-la levando em conta a sua função e o porquê do seu ritual. É a partir desse
ponto que distinguimos a demonstração didática da burocrática.
A demonstração didática é aquela que é objeto de aprendizagem e tem estreita
ligação com argumentação, especialmente a justificativa. Ela é um processo. Ela decorre
da compreensão do que está sendo estudado e, num primeiro momento, ainda não tem uma
formalidade.
A burocrática é aquela que, normalmente, é praticada após uma definição, após a
conclusão de uma demonstração didática ou como conclusão de uma atividade tipicamente
matemática (CHEVALLARD; BOSCH; GASCON, 2001).
No estudo da Matemática podemos distinguir três níveis de profundidade da
argumentação: a argumentação, a prova e a demonstração.
Segundo Oléron (1987), uma argumentação está diretamente ligada ao raciocínio.
Embora ambos sejam coisas distintas, no nosso contexto entendemos como desnecessária
essa separação, pois nessa perspectiva temos que a argumentação expressa o raciocínio e
este se (re)elabora através dela.
Raciocínio, segundo esse mesmo autor, tem dois significados: o de pensar em algo
e o produto desse pensamento. Nesse caso, quando falamos de argumentação estamos
justamente falando do raciocínio como produto, ou seja, como expressão do pensamento já
elaborado e pode se manifestar através de palavras escritas, textos, desenhos, mímicas e
outros.
Peirce (1983), em sua abordagem sobre o raciocínio, considera que há três tipos de
inferência: a dedução, a indução e a abdução. A dedução se evidencia quando se conclui
que algo deve ser assim. A indução e a abdução, segundo ele, revestem-se de
peculiaridades próprias. Essa divisão do raciocínio em espécies na perspectiva peirceana
são funções essenciais da mente ou da cognição. O pensamento, em todos os níveis,
apresenta um padrão semelhante às três espécies de Peirce.
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2.1Dedução
A dedução é vista como a mais simples, parte de uma premissa maior para uma
menor. Ele não necessita de criatividade pois não adiciona nada além do que já se conhece,
e é muito útil para aplicar regras gerais a casos particulares.
2.2Indução
Segundo Peirce1975 (apud MARCOS; DIAS,2005), o raciocínio indutivo, é mais
do que uma simples aplicação de regra geral a um caso particular. A indução é a inferência
de uma regra que parte do caso e do resultado. Sendo assim, ela acontece quando se
generaliza a partir de certos números de casos em que algo é verdadeiro e dizemos então
que determinada propriedade atualmente é válida. No entanto, essa conclusão pode estar
sujeita a modificação na medida em que novos experimentos são realizados.
Essa
modificação da conclusão não é uma possibilidade em matemática tendo em vista que,
nessa ciência, a indução se baseia em regularidades de entes abstratos e a conclusão é
induzida algebricamente.
A indução é um argumento que utiliza de experimentos para concluir se as
hipóteses são verdadeiras. Pierce, não sendo matemático, não fala da indução matemática
ou indução finita que se apoia na axiomática de Peano.
2.3Abdução
Para Peirce, o raciocínio abdutivo é o ínicio de todas as descobertas científicas. A
abdução é a adoção probatória da hipótese. Todas as ideias da ciência vêm através dela.
Esse tipo de inferência consiste em estudar fatos e inventar uma teoria para explica-los. É o
ponto de partida de um raciocínio indutivo. Ocorre quando o sujeito, após observar uns
poucos exemplos, formula a hipótese de que algo pode ser.
De acordo com o semiótico, um dos méritos da distinção entre os tipos de
raciocínio está no fato de que algumas ciências apresentam o predomínio de alguma dessas
inferências. Por exemplo, as ciências classificatórias como Botânica e Zoologia seriam
essencialmente indutivas, já as outras como Biologia e Geologia seriam ciências de
hipóteses. Segundo Júlio Pinto (apud MARCOS; DIAS, 2005) a abdução, embora ainda
não amplamente reconhecida nos meios científicos, tem um papel muito importante na
lógica, tal como Peirce a propõe, pois é a responsável pela lógica da descoberta. Em seus
escritos, Peirce denomina a abdução, alternativamente de reprodução, hipótese e inferência
hipotética.
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3.Efeitos da repetição
Sabe-se que, do ponto de vista da medicina do trabalho, os reforços repetitivos são
lesivos e são as principais causas de diagnósticos de LER/DORT (Lesões Por Esforços
Repetitivos/ Distúrbio Osteomuscular Relacionada ao Trabalho).
Do ponto de vista do raciocínio o que se pode conjecturar sobre os efeitos dos
exercícios repetitivos? Supomos que eles inibem o raciocínio abdutivo por não
apresentarem oportunidade de novos Insights. Supomos também que dificulte o raciocínio
indutivo porque a repetição de um raciocínio já consolidado inibe a criação de novas
técnicas, a elaboração de novas conjecturas e a necessidade de novas buscas teóricas.
Supomos que não sendo necessário elaborar justificativas o raciocínio justificativo fica
prejudicado em toda sua dimensão.
Partindo desses pressupostos analisaremos duas atividades desenvolvidas por um
aluno e que requerem a mesma técnica e se fundamentam nos mesmos princípios
matemáticos.
4.Metodologia.
A pesquisa desenvolvida se insere na perspectiva descritiva tendo em vista que a
variável a ser analisada é de natureza qualitativa (ANDRÉ; LÜDKE, 1986) e processual.
Trata-se da análise de um processo que consiste na resolução de problemas geométricos
propostos com o objetivo de verificar como a argumentação se manifesta e qual o tipo de
argumentação que se faz presente. Talvez fosse oportuno enfatizar que não buscávamos
uma argumentação qualquer, mas aquela que se apresenta durante a resolução de uma
atividade didática de geometria. Supomos ser relevante também esclarecer que este
recorte, que ora apresentamos, se classifica melhor como uma constatação colateral
observada durante o processo, mas que não constava nos objetivos.
5.Atividades propostas
5.1 Primeira atividade
Nessa atividade, foram fornecidas a figura e as seguintes medidas de ângulos: 110°
e 50°. A tarefa consistia em determinar o valor de x.
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Figura 1. Primeira Atividade proposta
Figura 2-Resolução do aluno
Considerando que a imagem acima não ficou nítida fizemos a seguir a transcrição
da atividade.
Figura 3. Transcrição da primeira atividade
Transcrição do texto da figura 2
110°+x=180°
O ângulo “A” mede 70°
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X=180°-110°
Então 50°+70°=120°
X=70°
O ângulo “B” assim mede
60°, pois 180°-120°=60°
Os ângulos alternos internos medem a mesma coisa
Sendo assim o ângulo
X mede
60°
Como pode ser visto temos duas retas paralelas cortadas por uma transversal e um
segmento de reta formando, no centro da figura, um triângulo.
De início, o aluno NA deu nome aos ângulos internos do triângulo chamando de A
e B, já que o terceiro valor (50°) fora dado.
O ângulo que ele denominou de A, é suplemento do ângulo de 110°, e o aluno
efetuou esse cálculo. O que se observa é que, no processo de resolução, ele substitui a por
x. Esse não é um caso isolado tendo ocorrido em outros momentos. Temos observado que
isso ocorreu em outros momentos e supomos que esteja associado ao fato de que toda
operação algébrica aprendida na escola tem como incógnita o x.
Após determinar o valor de A, o aluno deduziu B, a partir da soma dos ângulos
internos do triângulo. Nessa operação, ele não incluiu a incógnita e fez a soma direta de
50°+70°=120° e, em seguida 180°-120°=60°, ficando assim determinado o valor de B. Em
seguida, ele concluiu que “os ângulos alternos internos medem a mesma coisa sendo assim
o ângulo x mede 60°”. Observa-se no processo a presença do raciocínio dedutivo
5.2 Segunda atividade
Nessa atividade, foram dados os valores de 50° e 130°. A determinação dos demais
ângulos do triângulo (x, y) constituíam a tarefa.
Figura 4. Segunda atividade proposta.
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Figura 5. Resolução do aluno para a segunda
atividade
Novamente temos uma figura ilegível e por isso fizemos a transcrição da figura e da
resolução a seguir.
Figura 6. Transcrição da segunda atividade
Transcrição do texto da segunda atividade.
Subindo o 130° o ângulo
E somando com x
O valor a ser dado
Tem que ser 180°
Sendo assim o ângulo
X passa a medir 50°= ângulo
A soma do triângulo
Tem que dar 180°
X=50°
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Então o ângulo
X+y+50°=180°
Sendo o x valendo 50°
vai ficar
50°+y+50°=180°
100°+y=180°
Y=180°-100°
Y=80°
Estas duas atividades tinham por objetivo explorar a propriedade da soma dos
ângulos internos do triângulo, contribuindo para que as demais propriedades existentes
entre retas paralelas e transversais fossem relacionadas.
O aluno deu início à sua resolução do seguinte modo:
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Encontrou o valor do ângulo correspondente ao de 130°, e descreveu da seguinte
maneira “subindo o 130°”,
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Encontrou o valor de x, concluiu que x é suplemento de 130°, e justificou o
processo com o argumento de que “subindo o 130° e somando com x o valor a ser dado
tem que ser 180° sendo assim o ângulo x passa a medir 50°”.
Como forma alternativa ele poderia ter encontrado o valor de x pelo seguinte processo:
complementando o ângulo de 130° que já esta descrito na atividade e fazer a transposição
do valor encontrado ao seu correspondente que é x. De qualquer maneira essa transposição
de ângulos aconteceria porque não é possível determinar os valores de x e y diretamente.
Ressaltamos que as atividades poderiam ser resolvidas por outras técnicas.(figura 7)
Figura 7. Representação da técnica alternativa para encontrar x.
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Faltava determinar o valor de y, que é um ângulo interno do triângulo, já
conhecendo a propriedade de que a soma dos ângulos internos do triângulo é igual a 180°,
o aluno concluiu a tarefa afirmando que: “A soma do triângulo tem que dar 180° então
x+y+50°=180°, sendo o x valendo 50°”. O processo, na perspectiva do aluno ficou
completo quando efetuou os seguintes cálculos:
“ 50°+y+50°=180°,
100°+y=180°,
y=180-100°, y=80°”
Também nesse caso o y poderia ser encontrado por um processo alternativo descrito a
seguir:
1. Prolongando segmento de reta transformando-o em reta transversal,
2. Complementando o 130°,
3. Atribuindo o valor do ângulo que é alterno interno com o 50°,
4. Completando a soma dos ângulos internos do triângulo.
5. Determinando y, que é oposto pelo vértice do ângulo encontrado no triângulo.
Figura 8. Representação da técnica alternativa para encontra y
Entendemos que o fato do aluno mostrar a sua resposta através de expressões, se
deva ao fato de que tal procedimento é uma pratica comum no contexto de sala de aula.
Observa-se que o aluno expõe o seu raciocínio, mostra como obteve a resposta mas
somente considera que a atividade esta completa quando efetua sistematicamente o cálculo.
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5.3 Análise da segunda atividade
O que pode ser observado é que o aluno procura justificar seus resultados através da
escrita e de cálculos onde expõe o processo por ele utilizado.
Nesse processo, ele utiliza o raciocínio dedutivo tendo em vista que são resultados
não obtidos de forma direta. Dessa forma, conclui-se que a justificativa utilizada é uma
argumentação racional.
Na primeira atividade o aluno partiu de um cálculo. Supomos que esse cálculo seja
fruto de um raciocínio pré-elaborado cujo objetivo foi encontrar o valor de x. Primeiro
ocorreu o pensar sobre, depois a conclusão e que, uma vez obtido o valor do ângulo
suplementar ao que mede 130° ele, terá elementos necessários para determinar o valor de
x.
Esse foi o objetivo do calculo inicial: encontrar o suplementar de 130°. O passo
seguinte consistiu em justificar o procedimento através de registros na língua materna.
Dessa forma, concluímos que primeiro ocorre o entendimento da tarefa, logo, revela que o
aluno superou o estágio das experimentações, muitas vezes aleatórias, que podem ocorrer.
Tendo como pressuposto de que a argumentação é resultado do raciocínio, a
atividade de número 1 (um) revela os passos seguidos pelo aluno: compreensão, resolução,
explicação ou justificativa.
6.Considerações finais
Durante o processo, foi possível constatar que os nossos pressupostos foram
verificados. Pressupúnhamos que exercícios repetitivos não contribuem para o
desenvolvimento do raciocínio abdutivo, uma vez que a ideia já foi explicitada. Não
contribui para o raciocínio indutivo porque este deriva do abdutivo e a dedução, uma vez
que, já se conhece o processo se faz desnecessário.
A atividade revelou que o aluno não se deteve em uma análise da mesma, ele já
estava com um processo de resolução pré-elaborado, portanto partiu para as etapas finais e,
por uma exigência burocrática, se limitou a explicar o que havia feito.
7.Referências bibliograficas
ANDRÉ, Marli Eliza D.A.; LÜDKE, Menga. Pesquisa em Educação: abordagens qualitativas.
São Paulo: EDUSP, 1986.
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BRASIL. MEC. IDEB. Portal do Ministério da Educação, 2012. Disponível em: <
http://portal.mec.gov.br/index.php?Itemid=336&id=180&option=com_content&view=article
>
Acessado em: 15/05/2012
CHEVALLARD, Yves; BOSCH, Marianna; GASCÓN, Josep. Estudar Matemáticas: o elo
perdido entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artmed Editora, 2001.
MARCOS, Soraia Tomich; DIAS Izabel Cristina. As espécies de raciocínio: Dedução, Indução e
Abdução. 2005, artigo disponível em <http://pt.scribd.com/doc/39907730/raciocinio-doc>
acessado em 28/05/2012
OLÉRON, Pierre. L´Argumentation. 2 ed. Paris: PUF, 1987.
PEIRCE, Charles Sanders. Escritos coligidos. 3.ed. São Paulo: Abril Cultural, 1983.(Coleção
Pensadores)
SALES, Antonio, Argumentação e raciocinio: uma revisão teórica. III Simpósio de Educação
Matmatica
de
Nova
Andradina,2012.
Disponivel
em:<http://www,uems.br/eventos/semana/index.php?p=Artigos%202012> Acesso em 29/05/2012