Ângulos na circunferência Ângulo central MA092 – Geometria plana e analı́tica Ângulos na circunferência – Teorema de Tales Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Definição Agosto de 2015 Um ângulo central AÔB em uma circunferência é um ângulo que tem vértice no centro O da circunferência. _ AB é o arco correspondente ao ângulo central AÔB. A medida do ângulo (α no desenho) pode aparecer ao lado do arco. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 1 / 23 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Ângulos na circunferência 2 / 23 Ângulos na circunferência Congruência de arcos Ângulo inscrito Definição 1 Duas circunferências são congruentes se têm raios iguais. Definição 2 Agosto de 2015 Um ângulo inscrito AĈB em uma circunferência é um ângulo que tem vértice em um ponto C da circunferência. _ _ Dois arcos AB e CD de uma circunferência são congruentes se e somente se os ângulos AÔB e C ÔD são congruentes. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 3 / 23 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 4 / 23 Ângulos na circunferência Ângulos na circunferência Ângulo inscrito Ângulo inscrito em uma semicircunferência Teorema A medida de um ângulo inscrito é a metade da medida do ângulo central correspondente. No exemplo, α = β/2. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 Teorema O ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto. Na figura, Ĉ é reto e ABC é um triângulo retângulo. 5 / 23 Ângulos na circunferência Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 6 / 23 Ângulos na circunferência Ângulo excêntrico interior Ângulo excêntrico interior Definição Teorema A medida de um ângulo excêntrico interior é a média das medidas dos ângulos centrais a ele associados. No exemplo, x = (α + β)/2. Um ângulo excêntrico interior AĈB em uma circunferência é um ângulo formado por duas cordas que se cruzam em um ponto interior da circunferência, diferente do centro. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 7 / 23 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 8 / 23 Ângulos na circunferência Ângulos na circunferência Ângulo excêntrico exterior Ângulo excêntrico exterior Definição Teorema A medida de um ângulo excêntrico exterior é a metade da diferença das medidas dos ângulos centrais a ele associados. No exemplo, x = (α − β)/2. Um ângulo excêntrico exterior AĈB em uma circunferência é um ângulo formado por semirretas que partem de um vértice exterior e que são secantes ou tangentes à circunferência. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 9 / 23 Ângulos na circunferência Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 10 / 23 Ângulos na circunferência Quadrilátero inscrito Quadrilátero inscrito Definição Um quadrilátero é inscrito em uma circunferência se todos os seus vértices estão sobre a circunferência. Teorema Em um quadrilátero inscrito em uma circunferência, os ângulos opostos são suplementares. Â + Ĉ = B̂ + D̂ = 180◦ Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 11 / 23 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 12 / 23 Teorema de Tales Teorema de Tales Teorema de Tales Exemplo AB A0 B 0 = BC B0C 0 AB A0 B 0 = 0 0 CD CD AC A0 C 0 = 0 0 BD BD AD A0 D 0 = BC B0C 0 Teorema Dado um feixe de retas paralelas e duas retas transversais r e s, a razão entre dois segmentos quaisquer de r é igual à razão entre os segmentos correspondentes de s. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 Lados de terrenos trapezoidais Três terrenos trapezoidais estão compreendidos entre duas ruas, como mostra a figura. determinar x, y e z. 13 / 23 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Teorema de Tales Agosto de 2015 14 / 23 Agosto de 2015 16 / 23 Exercı́cios Resolução Exercı́cio 1 Problema Determine o valor de x. 15 + 20 + 10 = 45 x 15 = 50 45 ⇒ x= 50 · 15 50 = ≈ 16, 67 m 45 3 y 20 = x 15 ⇒ y= 50 20 200 · = ≈ 22, 22 m 3 15 9 z 10 = 50 45 ⇒ z= 50 · 10 100 = ≈ 11, 11 m 45 9 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 x = 30◦ 15 / 23 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Exercı́cios Exercı́cios Exercı́cio 2 Exercı́cio 3 Problema Determine o valor de x. Problema Determine o valor de x. x = 58◦ x = 60◦ Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 17 / 23 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Exercı́cios 18 / 23 Agosto de 2015 20 / 23 Exercı́cios Exercı́cio 4 Exercı́cio 5 Problema Determine o valor de α. Problema Determine o valor de x. x = 62◦ x = 100◦ Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 Agosto de 2015 19 / 23 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Exercı́cios Exercı́cios Exercı́cio 6 Exercı́cio 7 Problema Determine a medida do ângulo semi-inscrito α em relação à medida do ângulo central β. Problema Determine o valor de x, sabendo que as retas r, s e t são paralelas. x=18/5 α = β/2 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 21 / 23 Exercı́cios Exercı́cio 8 Problema Determine x na figura abaixo, sabendo que BC e DE são paralelas. x=6 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 23 / 23 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 22 / 23
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