Paralelismo Paralelismo Circunferência Retas concorrentes e paralelas Definição 1 Duas retas são concorrentes se têm um ponto comum. 2 Duas retas são paralelas se Definição A circunferência é o conjunto dos pontos de um plano que estão a uma mesma distância – denominada raio – de um ponto do plano – denominado centro. a) São coincidentes; ou b) São coplanares e não têm pontos em comum. O: centro da circunferência P : ponto da circunferência r: raio da circunferência Postulado de Euclides Por um ponto passa uma única reta paralela a uma reta dada. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Setembro de 2015 1 / 20 Paralelismo Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Setembro de 2015 2 / 20 Paralelismo Duas paralelas e uma transversal Duas paralelas e uma transversal Definição 1 São ângulos alternos internos: Definição Dadas as retas r, s e t ao lado, são ângulos correspondentes: Ĉ e Ê. D̂ e F̂ . Â e Ê. B̂ e F̂ . 2 Ĉ e Ĝ. Â e Ĝ. B̂ e Ĥ. D̂ e Ĥ. Teorema As retas r e s são paralelas se e somente se dois ângulos alternos internos (ou dois ângulos alternos externos) são iguais. Teorema As retas r e s são paralelas se e somente se dois ângulos correspondentes são iguais. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica São ângulos alternos externos: Setembro de 2015 3 / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Setembro de 2015 4 / 20 Paralelismo Perpendicularidade Duas paralelas e uma transversal Retas perpendiculares Definição 1 São ângulos colaterais internos: Ĉ e F̂ . D̂ e Ê. 2 São ângulos colaterais externos: Â e Ĥ. B̂ e Ĝ. Teorema As retas r e s são paralelas se e somente se dois ângulos colaterais internos (ou dois ângulos colaterais externos) são suplementares. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Setembro de 2015 Retas concorrentes que não formam um ângulo reto são ditas oblı́quas. 5 / 20 Perpendicularidade Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Setembro de 2015 6 / 20 Perpendicularidade Retas perpendiculares Retas perpendiculares Teorema Dado um ponto P de uma reta r em um plano α, existe uma única reta s em α que passa por P e é perpendicular a r. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Definição Duas retas são perpendiculares se são concorrentes e formam um ângulo reto. Setembro de 2015 7 / 20 Teorema Dado um ponto P que não pertence a uma reta r, existe uma única reta s que passa por P e é perpendicular a r. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Setembro de 2015 8 / 20 Perpendicularidade Perpendicularidade Ponto médio e mediatriz Projeção Definições Definições 1 Ponto médio de um segmento de reta AB é o ponto M tal que AM ≡ M B. 2 Mediatriz de um segmento de reta é a reta que é perpendicular ao segmento e passa pelo seu ponto médio. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Setembro de 2015 9 / 20 1 A projeção (ortogonal) de um ponto P sobre uma reta r é o ponto P 0 que está na interseção de r com sua perpendicular que passa por P . 2 A projeção de um segmento AB sobre uma reta r (não perpendicular a AB) é o segmento A0 B 0 , em que A0 e B 0 são, respectivamente, as projeções de A e B sobre r. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Perpendicularidade Setembro de 2015 10 / 20 Triângulos Triângulo Distância Definições 1 2 A distância entre dois pontos A e B é o comprimento (ou medida) do segmento AB. A distância de um ponto P a uma reta r é o comprimento do segmento P P 0 , em que P 0 é a projeção de P em r. Definição Dados três pontos não colineares A, B e C, chamamos de triângulo à reunião dos segmentos AB, BC e CA. Elementos do 4ABC: Vértices: A, B e C. Lados ou arestas: AB (de medida c), BC (de medida a) e CA (de medida b). Ângulos (internos): B ÂC (ou Â), AB̂C (ou B̂) e AĈB (ou Ĉ) Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Setembro de 2015 11 / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Setembro de 2015 12 / 20 Triângulos Triângulos Ângulo externo Ângulo externo Definição Teorema Em um triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele. −−→ Seja dado um triângulo ABC e a semirreta BD, oposta à aresta AB. O ângulo C B̂D é chamado ângulo externo adjacente ao vértice B. Teorema A soma dos ângulos (internos) de um triângulo mede 180◦ . Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Setembro de 2015 13 / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Exercı́cios Setembro de 2015 14 / 20 Setembro de 2015 16 / 20 Exercı́cios Exercı́cio 1 Exercı́cio 2 Problema Determine o valor de α na figura abaixo. Problema Determine o valor de α na figura abaixo. α = 20◦ α= 40◦ Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Setembro de 2015 15 / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Exercı́cios Exercı́cios Exercı́cio 3 Exercı́cio 4 Problema Determine o valor de α na figura abaixo. Problema Calcule x e y indicados na figura abaixo. x = 70◦ e y = 125◦ α = 15◦ Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Setembro de 2015 17 / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Exercı́cios Setembro de 2015 18 / 20 Exercı́cios Exercı́cio 5 Exercı́cio 6 Problema Sabendo que, na figura abaixo, os segmentos AB e CD são paralelos, determine os valores de α e β. Problema Desenhe as retas abaixo usando régua e compasso. 1 Dada uma reta r e um ponto P que não pertence a r, trace uma reta s que passe por P e seja perpendicular a r. Mostre a projeção de P sobre r. 2 Sobre a reta s, marque um ponto Q que diste 3 cm de r. 3 Trace uma reta t que seja paralela à reta r e que passe por Q. α = 25◦ e β = 55◦ Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Setembro de 2015 19 / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Setembro de 2015 20 / 20
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