Ângulos na circunferência
I) Elementos da circunferência.
A
C - centro da circunferência
AC = r - raio da circunferência
AB = 2r - diâmetro da circunferência
ACD = a - ângulo central
APD - arco da circunferência
AD - corda da circunferência
r
C
a
P
r
r
D
B
II) Posições relativas entre ponto
e circunferência.
A
B
III) Posições relativas entre reta
e circunferência.
ponto de tangência
A - ponto
exterior
reta ta
ngent
e
B - ponto da
circunferência
C
ante
reta sec
D - ponto
interior
D
C - centro da
circunferência
reta exterior
IV) Propriedades da circunferência.
1) Em toda circunferência, a medida 2) Em toda circunferência, o raio é 3) Em toda circunferência, o raio,
do ângulo central é igual à medida perpendicular à reta tangente no quando perpendicular à corda, divido arco correspondente.
ponto de tangência.
de essa corda ao meio.
APB = a
A
C
a
C
P
C
B
B
M
A
AM = MB
V) Ângulos na circunferência.
a) Ângulo inscrito na circunferência.
É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circunferência e os dois lados secantes a essa
circunferência.
Propriedade - O ângulo inscrito vale a metade do
ângulo central ou a metade do arco correspondente.
b) Ângulo de segmento.
É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circunferência, um lado secante e um lado tangente a essa
circunferência.
Propriedade - O ângulo de segmento vale a metade
do ângulo central ou a metade do arco correspondente.
b
- ângulo inscrito
ca
- ângulo central
a
- ângulo central
b
- ângulo de segmento
se
a
nt
e
vértice
b
a
vértice
b= a
2
a
b= a
2
b
Jeca 58
tangente
IV) Consequências do ângulo inscrito.
1) Todo triângulo retângulo pode ser 2) Em todo triângulo retângulo, a 3) Todos os ângulos de uma circuninscrito numa semicircunferência mediana relativa à hipotenusa vale ferência inscritos no mesmo arco
onde a hipotenusa coincide com o a metade dessa hipotenusa.
são congruentes.
diâmetro.
ângulo
inscrito
R
mediana
relativa à
hipotenusa
R
hipotenusa
e diâmetro
arco de
medida
2b
b
R
b
hipotenusa
b
4) Em todo quadrilátero inscrito numa circunferência os ângulos internos opostos são suplementares.
5) Ângulo excêntrico de vértice
interno.
6) Ângulo excêntrico de vértice
externo.
x= a+b
2
a + b = 180º
e
g + q = 180º
a
b
x= a-b
2
C
a
q
g
b
a
x
b
x
b
vértice
vértice
Exercícios - 01) Nas circunferências abaixo, sendo O o centro, determine a medida do ângulo ou do arco x.
a)
c)
b)
x
x
O
x
O
O
118º
46º
41º
e)
d)
92º
82º
59º
f)
x
39º
x
O
O
39º
g)
O
62º
90º
x
28º
i)
h)
x
62º
O
O
x
O
104º
x
87º
28º
Jeca 59
76º
87º
Exercícios de ângulos inscritos.
01) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
c)
b)
86º
O
x
x
246º
a)
V
O
x
O
V
76º
V
123º
43º
f)
e)
d)
152º
29º
x
x
O
136º
88º
O
O
x
136º
44º
h)
g)
29º
i)
x
10
68º
23º
70º
O
2º
x
94º
x
O
O
87º
16º
j)
95º
128º
m)
l)
x
106º
33º
O
O
38
º
O
x
34º
57º
n)
x
90º
p)
o)
196º
x
51º
x
O
O
O
x
56º
39º
124º
82º
02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
a)
c)
b)
78º
x
x
O
O
O
98º
2x
x
60º
d)
204º
98º
f)
e)
x
58º
88
x
º
42º
x
O
57º
O
O
48º
33º
g)
h)
156º
x
i)
56º
O
O
1
º
40
94º
O
26º
x
x
40º
36º
24º
42º
l)
j)
112º
m)
x
x
55º
O
120º
O
O
10
0º
82º
x
115º
68º
96º
o)
n)
70º
65º
p)
56º
48º
O
x
x
O
O
44
º
x
112º
46º
48º