Capı́tulo 6
EXP. 6 - ESPECTROS
SULCADOS POR
INTERFERÊNCIA
6.1
OBJETIVOS
Estudo da interferência da luz visı́vel em uma lâmina fina de mica e determinação de sua
espessura.
6.2
6.2.1
PARTE TEÓRICA
Interferência em pelı́culas ou lâminas transparentes
É muito comum observarmos o aspecto colorido da luz branca, proveniente de uma fonte
extensa, refletida em uma lâmina extremamente fina de um material transparente. Por
exemplo, essa lâmina pode ser uma pelı́cula lı́quida obtida mergulhando um anel de arame
em uma solução de sabão ou detergente em água, pode ser uma lâmina de ar entre dois
vidros perfeitamente planos ou mesmo uma camada de óleo estendida sobre a água.
O aspecto colorido, com as cores do arco ı́ris, deve-se ao fenômeno da interferência entre
os raios de luz refletidos nas duas superfı́cies ou interfaces da lâmina com o meio que a
circunda como mostraremos a seguir. A condição básica para que possamos observar esse
efeito é que a lâmina seja suficientemente fina. O efeito não é observado, por exemplo,
na luz refletida em um vidro de janela considerado, para esse fim, como bastante espesso
(em torno de 4 mm). Vamos primeiro compreender o processo de interferência para depois
entender porque não observamos o efeito em lâminas espessas.
Consideremos uma lâmina de uma substância transparente com espessura constante e
com ı́ndice de refração n2 , circundada por um meio com ı́ndice de refração n1 ≈ 1, n2 > n1 ,
sob incidência quase normal de um feixe de raios paralelos de luz monocromática com
comprimento de onda λ0 . Representaremos esse feixe, por simplicidade, por um único raio
incidindo com um ângulo θ1 com relação à normal à superfı́cie de separação entre os dois
meios, figura (Fig. 6.1).
59
60
N. B. de Oliveira —
DFES-I. FÍSICA-UFBA-Rev. 2014.1
anteparo
l0
q1 q1
n1
n2
e
q2
n1
Figura 6.1: Raio de luz incidindo e “refletindo”em uma pelı́cula transparente.
Um observador (ou um anteparo) localizado no mesmo meio de incidência olha para
o ponto onde a luz incide e aparenta refletir com ângulo de reflexão igual ao ângulo de
incidência. Esse processo de reflexão é mais complexo do que aparenta ser. Parte da luz
incidente reflete na interface entre os dois meios e vai diretamente ao observador. Outra
parte penetra na pelı́cula, refratando-se de acordo com a lei de Snell-Descartes e alcança
a interface inferior onde é parcialmente refletida para cima e transmitida (refratada) para
baixo. A luz que foi parcialmente refletida para cima alcança a interface superior onde é
parcialmente refletida para baixo e parcialmente transmitida (refratada) para cima indo
diretamente ao observador em uma trajetória paralela à primeira luz refletida (Fig. 6.2).
Esse processo de múltipla reflexão continua indefinidamente ocorrendo uma diminuição na
intensidade da luz a cada reflexão.
Concentremos-nos apenas nos dois raios que primeiro chegam ao observador, sabendo
que o mesmo ocorrerá para outros raios paralelos ao primeiro. Esses dois raios chegam ao
observador defasados entre si. O segundo raio chega atrasado devido à sua maior trajetória
dentro da pelı́cula a qual é percorrida, inclusive, com uma velocidade diferente da velocidade
no primeiro meio. Acrescente-se ainda o fato de que na primeira reflexão (do raio incidente),
ocorre uma inversão no vetor do campo elétrico da onda de luz, ou seja, a fase é deslocada de
π rad ou, de modo equivalente, ocorre um deslocamento espacial de λ0 /2 devido ao processo
de reflexão na interface entre dois meios com ı́ndices de refração crescentes (n 2 > n1 ). Na
outra interface isso não ocorre. Analisemos mais detalhadamente a figura (Fig. 6.2).
Inicialmente, observe a presença de uma lente convergente cuja função é fazer com que
os raios paralelos convirjam em F, no anteparo (observador), posicionado no foco da lente.
Trata-se de um arranjo para que a imagem dos raios que interferem se forme em um ponto
próximo ao experimento e também ocorra maior concentração da luz com um consequente
aumento da intensidade. A lente não introduz nenhuma diferença no caminho óptico entre
os dois raios.
Observe também o segmento de reta pontilhado GC que foi traçado perpendicularmente
aos dois primeiros raios que partem da superfı́cie da pelı́cula em direção à lente. A partir desse segmento, as trajetórias dos dois raios são idênticas, eles percorrem caminhos
61
6.2. PARTE TEÓRICA
F
anteparo
l0
lente
convergente
q1 q1
q1
G
n1
n2
C
A
E
e
q2
B
...
D
n1
Figura 6.2: Raio de luz incidindo refletindo e refratando parcialmente em uma pelı́cula
transparente.
equivalentes até se encontrarem no ponto focal F.
O raio que penetra na pelı́cula percorre a trajetória ou caminho geométrico AB + BC
antes de sair parcialmente da pelı́cula no ponto C. Esse caminho leva mais tempo para
ser percorrido dentro da pelı́cula do que o mesmo caminho percorrido no vácuo uma vez
que a velocidade de propagação no interior da pelı́cula é menor do que no vácuo (v 2 =
c/n2 ). Para compensar esse efeito, o caminho geométrico é transformado em caminho
óptico multiplicando-o pelo ı́ndice de refração da pelı́cula.
caminho óptico ABC = (AB + BC)n2 .
(6.1)
No ar, o caminho geométrico AG é praticamente igual ao seu próprio caminho óptico
uma vez que o ı́ndice de refração do ar é praticamente igual à unidade.
Dessa forma, a diferença entre os caminhos ópticos percorridos pelo raio que penetrou
na pelı́cula e o raio que foi diretamente refletido vale
(AB + BC)n2 − AG.
(6.2)
Acrescente-se agora o fato de que há um deslocamento de λ0 /2 no processo de reflexão
e obteremos a diferença de caminhos ópticos total ∆.
∆ = (AB + BC)n2 − AG +
λ0
.
2
(6.3)
Essa diferença de caminhos ópticos total fará com que a interferência entre os dois
raios de luz no ponto focal apresente resultados interessantes. Por exemplo, se for igual a
um múltiplo do comprimento de onda, teremos uma interferência construtiva (reforço na
intensidade luminosa) no ponto focal. Se for um múltiplo ı́mpar de meio comprimento de
62
N. B. de Oliveira —
DFES-I. FÍSICA-UFBA-Rev. 2014.1
onda teremos uma interferência destrutiva (diminuição da intensidade luminosa) no ponto
focal.
∆ = (AB + BC)n2 − AG +
∆ = (AB + BC)n2 − AG +
λ0
= k λ0
2
λ0
λ0
= (2k + 1)
2
2
k = 1, 2, 3...
k = 1, 2, 3...
construtiva
destrutiva.
(6.4)
(6.5)
No caso geral, os caminhos AG, AB e BC dependem do ângulo de incidência θ 1 . Se nos
restringirmos à incidência quase normal, θ1 ≈ 0, o caminho AG praticamente se anula e os
caminhos AB e BC serão praticamente iguais à espessura e da pelı́cula. As condições para
interferência construtiva e destrutiva podem ser simplificadas resultando em
2en2 = k λ0
k = 1, 2, 3...
destrutiva
(6.6)
e
λ0
k = 1, 2, 3...
construtiva.
(6.7)
2
A espessura da pelı́cula necessária para ocorrer esses dois casos extremos de interferência
para luz com o comprimento de onda especificado pode ser facilmente obtida das duas
equações anteriores. Observe que existem várias espessuras que satisfazem a qualquer dessas
duas condições bastando para isso utilizar o valor de k adequado. Observe que o valor de k
está relacionado à quantidade de comprimentos de onda que cabem no interior da pelı́cula e
esse número pode ser muito grande. Contudo, se a pelı́cula for muito espessa, podemos não
observar nenhuma dessas duas interferências e a razão é a seguinte: é necessário haver uma
diferença entre as fases das ondas que interferem que seja fixa no tempo. Todo o raciocı́nio
foi baseado na existência de uma onda periódica no tempo e no espaço. Ocorre que, quando
uma luz é emitida por uma fonte real, a onda não é estritamente periódica quer a luz tenha
sido produzida pela agitação térmica em um filamento aquecido ou pela transição eletrônica
em um átomo. A luz é emitida por um curto intervalo de tempo e nesse intervalo existe uma
certa periodicidade ( e alguns “comprimentos de onda”) na função que descreve a onda.
Mas esse intervalo de tempo tem uma duração finita muito pequena de modo que a onda é,
na verdade, um “trem de ondas”. Se a pelı́cula for muito espessa, o trem de ondas incidente
que foi refletido, perde a correlação com o trem de ondas que penetrou na pelı́cula, voltou
após a reflexão na interface inferior e emergiu na interface superior. Esse último trem de
ondas fica muito atrasado com relação ao primeiro e perde-se a correlação entre eles, não
havendo a condição necessária para o reforço ou para a aniquilação das duas ondas. Por
essa razão temos que nos restringir a pelı́culas relativamente finas (digamos com espessura
até centenas de comprimento de onda).
2en2 = (2k − 1)
6.2.2
Luz branca e espectros sulcados
Suponhamos agora que a fonte de luz seja uma fonte de luz branca, que contém radiações
com todos os comprimentos de onda visı́veis. Para uma pelı́cula de uma determinada
espessura, alguns comprimentos de onda satisfazem a condição de interferência construtiva
enquanto outros satisfazem a condição de interferência destrutiva.
A luz refletida que chega ao observador é, portanto, rica em certas cores e deficiente
em outras. A quantidade de cores presentes e ausentes depende da espessura da pelı́cula.
6.3. DETERMINAÇÃO DA ESPESSURA DE UMA PELÍCULA
63
Para pelı́culas muito finas poucas cores podem estar presentes e ausentes. Para pelı́culas
mais espessas, maiores quantidades de cores estarão presentes e ausentes. Por exemplo,
se para uma pelı́cula muito fina apenas a cor verde satisfizer a condição de interferência
destrutiva, a luz refletida não terá essa cor e parecerá roxa ao olho humano. Se a pelı́cula for
suficientemente espessa de modo que muitas cores próximas satisfaçam as duas condições,
a luz refletida ainda parecerá branca porque ainda existem quase todas as cores do espectro
visı́vel presentes.
Pode-se perceber as cores que foram aniquiladas e reforçadas pelo processo de interferência fazendo a luz refletida pela pelı́cula atravessar um prisma de vidro convenientemente posicionado. O prisma “abrirá”o espectro mostrando diversas ausências de luzes ou
sulcos escuros correspondente aos comprimentos de onda que foram aniquilados, ou seja,
inteferiram-se destrutivamente. Comparando com o espectro de uma luz branca direta, que
não tenha sido refletida por uma pelı́cula, poderemos determinar os comprimentos de onda
que desapareceram. De modo semelhante, também por comparação (observação e medição
da posição angular), podemos determinar os comprimentos de onda que reforçaram. Nos
concentraremos nos comprimentos de onda que foram aniquilados (interferência destrutiva). Para uma pelı́cula com determinada espessura, ainda desconhecida, a equação (6.6)
relaciona os comprimentos de onda aos valores de k
λk = 2en2
1
k
(6.8)
onde observamos a dependência do comprimento de onda que desapareceu com o inverso
do valor de k.
6.3
Determinação da espessura de uma pelı́cula
Descreveremos um procedimento para a determinação experimental da espessura de uma
fina pelı́cula de mica (n = 1, 57) pela observação e medida dos comprimentos de onda
aniquilados pelo processo de interferência na reflexão de luz com incidência praticamente
normal. Na equação (6.8), tanto a espessura e quanto os valores de k são desconhecidos.
Apenas os comprimentos de onda λk serão conhecidos por medida experimental. Se partirmos do pressuposto que os comprimentos de onda sejam medidos em sequência, eles
deverão corresponder a valores consecutivos de k desde que observemos que a diminuição
dos comprimentos de onda corresponde ao aumento dos valores de k. Mesmo não conhecendo os valores de k, podemos rearrumar essa última equação para expressar o inverso do
comprimento de onda em função de k,
1
1
=
k
λk
2en2
(6.9)
onde vemos uma proporcionalidade entre o inverso do comprimento de onda e k cujo coeficiente de proporcionalidade vale 1/(2en2 ) que é o coeficiente angular do gráfico 1/λk × k.
Como inicialmente não sabemos o valor de k correspondente a cada sulco (interferência
destrutiva), escolhemos arbitrariamente um dos primeiros sulcos na região extrema do vermelho e atribuı́mos a esse comprimento de onda (sulco) o valor simbólico k. Numeramos
os outros sulcos por ordem de comprimento de onda decrescente, isto é, do vermelho ao
violeta, como k + 1, k + 2, k + 3... . Esse processo é equivalente a utilizar uma numeração
64
N. B. de Oliveira —
DFES-I. FÍSICA-UFBA-Rev. 2014.1
provisória k 0 , onde k 0 = 1 para o primeiro sulco (arbitrário), k 0 = 2 para o segundo sulco,
k 0 = 3 para o terceiro, ..., sempre do vermelho para o azul.
De posse das medidas dos comprimentos de onda, plota-se o gráfico 1/λk0 × k 0 , determinase o coeficiente angular e a correspondente espessura da pelı́cula. Os valores verdadeiros de
k podem ser determinados retornando-se à equação (6.8) com o valor determinado para a
espessura e substituindo-se cada valor de λ para determinar o correspondente valor de k.
6.4
PARTE EXPERIMENTAL
O experimento consistirá em medir os comprimentos de onda da luz visı́vel ausentes devido
ao processo de reflexão e interferência destrutiva produzido pela lâmina de mica.
6.4.1
Lista de material
Identifique os seguintes materiais necessários à realização do experimento:
• Espectrômetro com prisma de vidro e respectiva curva de dispersão,
• lâmina de mica montada em bastão de carvão,
• fonte de luz de vapor de mercúrio para calibração,
• fonte de luz branca incandescente,
• lanterna para iluminação.
6.4.2
Calibração do espectrômetro
O espectrômetro permitirá a visualização e a medida dos comprimentos de onda aniquilados
devido à interferência destrutiva. Para isso ele faz uso de um prisma de vidro especı́fico cuja
curva de dispersão foi previamente determinada com comprimentos de ondas conhecidos.
Para fazer o uso correto do espectrômetro é necessário posicionar o prisma na mesma posição
que foi utilizado na determinação da curva de dispersão que você consultará. Para isso
◦
será utilizado um feixe paralelo (colimado) de luz verde (λ = 5461 A) de uma lâmpada de
mercúrio (Hg) incidindo em uma das faces laterais do prisma. O prisma deve ser posicionado
de modo que a imagem da linha verde vista pelo observador através da ocular do telescópio
esteja na posição 131◦ (Fig.6.3).
Ligue a fonte de luz de mercúrio, espere aquecer e posicione-a de modo a iluminar a
fenda no extremo do colimador. Para posicionar o telescópio em 131◦, primeiro folgue
o parafuso central no braço telescópio do espectrômetro e mova o este braço para essa
posição de modo aproximado de acordo com a escala graduada na base do espectrômetro.
Em seguida aperte esse parafuso apenas o suficiente para o braço não se mover. Gire agora
o parafuso micrométrico de ajuste fino no extremo do braço até conseguir ajustar a posição
exata.
Olhe através da ocular e gire um pouco a base do prisma para um lado e para o outro
de modo visualizar a linha verde da luz de mercúrio. Ajuste a posição da ocular mais para
dentro ou mais para fora do tubo até visualizar com nitidez a imagem da fenda e o retı́culo
(fio de cabelo). Esse ajuste depende do olho do observador. Girando cuidadosamente a
65
6.4. PARTE EXPERIMENTAL
lente
convergente
fonte de
luz de Hg
base giratória
lente
convergente
fenda
ajustável
131
o
plano focal
Figura 6.3: Posicionamento do prisma de vidro no processo de calibração.
base do prisma posicione a linha verde sobre o retı́culo e aperte um pouco o parafuso lateral
que trava o movimento da base. A partir desse momento não toque mais no prisma nem
dê pancadas na mesa para não perder o alinhamento.
6.4.3
Espectro da luz branca
Desligue a fonte de luz de mercúrio, afaste-a (cuidado, pois está muito quente) e ilumine
a fenda com uma fonte de luz incandescente (“luz branca”). Pode ser a própria lanterna ou
a outra fonte de luz que está sobre a mesa. Observe através da ocular o espectro contı́nuo
da luz branca que vai do violeta ao vermelho. Você deverá ver todas as cores do arco-ı́ris
variando continuamente sem interrupções.
6.4.4
Espectro sulcado
Faça agora a montagem óptica da figura (Fig. 6.4). Posicione a fonte de luz de modo a
iluminar a lâmina de mica o mais perto possı́vel da incidência normal, fazendo i o menor
possı́vel. Dentro da precisão da medida, podemos assumir que i ≈ 0.
fonte de luz
branca
i
i
bastão de
carvão
mica
colimador do
espectrômetro
Figura 6.4: Posicionamento da fonte de luz, do bastão com a mica e do colimador do
espectrômetro para a observação do espectro sulcado por interferência.
66
N. B. de Oliveira —
DFES-I. FÍSICA-UFBA-Rev. 2014.1
Ilumine a fenda de entrada do espectrômetro com o feixe de luz refletido pela mica, que
deverá estar no prolongamento do colimador.
Olhe através da ocular do espectrômetro procurando por uma imagem parecida com a
do espectro da luz branca contendo diversos sulcos verticais lado a lado. Se não estiver
observando essa imagem, desloque um pouco o bastão de carvão ao redor da posição inicial
até aparecer tal imagem. Lembre-se que feixe de luz proveniente da fonte deve incidir na
mica e refletir a luz em direção à fenda. O ajuste tem que ser feito de modo obter a melhor
imagem possı́vel. Os sulcos devem ser visı́veis sem falhas ou interrupções verticais que
prejudiquem o posicionamento do retı́culo e a medida. A depender do local da mica onde a
luz incide você poderá visualizar os sulcos mais próximos ou mais afastados uns dos outros,
vai depender da espessura da mica no local de incidência. As folhas de mica podem ficar
mais espessas em certas zonas e mais delgadas em outras. Se a luminosidade estiver muito
baixa reposicione a fonte de luz fazendo pequenos deslocamentos laterais.
6.4.5
Medidas
Uma vez que você esteja vendo o espectro sulcado, desloque o telescópio em direção ao
vermelho utilizando o parafuso micrométrico. Posicione o retı́culo (fio ou cruz de cabelo)
no centro do primeiro sulco escuro na região do vermelho. Atribuiremos a esse sulco o valor
k 0 = 1. Meça a posição angular desse sulco em graus e minutos de grau. Anote esse valor
em uma tabela onde deve conter os diversos valores de k 0 e as respectivas posições de cada
sulco.
Desloque o telescópio para o centro do próximo sulco à esquerda (em direção ao azul)
utilizando o parafuso micrométrico. Atribua o valor k 0 = 2, meça a posição e anote.
Continue esse procedimento, sulco após sulco tomando o cuidado de não pular nenhum
deles, até a região do violeta onde você não possa mais executar a medida.
Tendo terminado as medidas, desligue a fonte de luz e consulte a curva de dispersão
do prisma para transformar as medidas angulares em comprimentos de onda. A curva
de dispersão foi ajustada com um polinômio do terceiro grau, Utilize-o para determinar
os comprimentos de onda.Tais comprimentos de onda possuem, individualmente, um erro
◦
global em torno de 3 nm (30 A). Esse erro já inclui o erro do espectrômetro, o erro de
posicionamento do retı́culo e de traçado do gráfico.
6.5
TRABALHO COMPLEMENTAR
• Como você explica a diferença entre os espectros da luz branca e o de Hg?
• Faça uma tabela constando os valores dos ângulos, os comprimentos de onda dos
sulcos escuros, seus inversos, ou seja, 1/λ e a numeração provisória k 0 correspondente.
• Trace o gráfico de 1/λ em função de k 0 em um tamanho correspondente à, pelo menos,
metade de uma folha tamanho A4. Você pode traçar a mão ou utilizar um programa
computacional para tratamento de dados (Origin, Excell, WinPlot etc.). Esse gráfico
deve reduzir-se a uma reta e seu coeficiente angular permite calcular a espessura e
da pelı́cula sabendo-se que o ı́ndice de refração da mica é aqui suposto não variar
com o comprimento de onda e de valor n2 = 1, 57. Normalmente os programas
67
6.6. BIBLIOGRAFIA
computacionais ajustam uma reta pelo método dos mı́nimos quadrados e fornecem os
coeficientes angular e linear.
Nota: Se você fizer o gráfico a mão, calcule o coeficiente angular pelo método dos
mı́nimos quadrados.
• Analise detalhadamente o gráfico obtido.
• Uma vez determinada a espessura e, calcule os valores de k utilizando a equação (6.8)
e os respectivos comprimentos de onda. Complete a tabela escrevendo os valores de
k. Devido aos erros experimentais você poderá encontrar valores não inteiros para
k. Analise a sequência de valores e veja que valores inteiros melhor se adaptam na
tabela.
• Qual é a correspondência entre k e k 0 ? Explique.
• Tome dois pontos extremos no gráfico e admita que seus comprimentos de onda estão
◦
sujeitos ao erro de ±3nm(30 A). Com esse erro, o coeficiente angular calculado com
esses dois pontos terá uma incerteza para mais ou para menos. Isso ocasionará uma
incerteza (um erro) na determinação da espessura da pelı́cula a partir desse coeficiente
angular. Avalie esse erro.
6.6
BIBLIOGRAFIA
[1], [2], [3], [4], [14], [8], [9], [10], [11], [12], [13]
Crı́ticas e sugestões, contate Prof. Newton B. Oliveira - [email protected]