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Lagrangiana Clássica para uma Partícula Carregada num Campo Eletromagnético
A força que atua não necessariamente pode ser escrita pela gradiente de uma
função da posição. Por exemplo, uma partícula carregada num campo eletromagnético, a força depende também de velocidade da partícula (a força de
Lorentz). Consideramos o movimento de uma partícula carregada num campo
~ = E(~
~ r; t) e magnético B
~ = B(~
~ r; t). A força que atua para a partícula
elétrico E
com carga e é dada por
h
i
~ + ~v B :
F~ = e E
(1)
~ r; t),
= (~r; t) e o potencial vetorial A(~
Agora, escolhendo o potencial escalar
podemos sempre escrever1
~
@A
r ;
@t
~ = r A;
~
B
~ =
E
(6)
(7)
Assim, em termos destes potenciais, a força de Lorentz é expressa por
"
#
~
@
A
~ :
F~ = e
r + ~v r A
@t
Mas
~v
então
F~ = e
~ = r(~v A)
~
A
r
"
~
@A
@t
~
(~v r) A;
~
r + r(~v A)
#
~
(~v r) A :
(8)
(9)
~ depende no tempo e na posição,
Agora, o campo vetorial A
~ = A(~
~ r; t):
A
1 A origem desta representação dos campos eletromagnéticos é que dentro das 4 equações
de Maxwell,
~ =
r E
"0
~ = 0;
r B
r
r
~ =
E
;
(2)
(3)
~
@B
;
@t
~
~ = 0 J~ + 0 "0 @ E ;
B
@t
(4)
(5)
a segunda e a terceira não dependem da condição externa (carga e corrente) e portanto,
~ e B
~ tem que satisfazer essas duas sempre. Isto sugere que na verdade E
~ e B
~ não são
E
~ as duas
independentes, mas existe algo mais básica do que eles. Com esse potencial e A;
equações são automaticamente satisfeitas.
1
onde ~r e t são variáveis independentes. Mas a variação temporal deste campo
dA sentida pela partícula carregada num intervalo do tempo, [t; t + dt] será dada
por
~
dA
~ r + ~v dt; t + dt) A(~
~ r; t)
A(~
)
(
~
~
~
~
@A
@A
@A
@A
dt
= vx
+ vy
+ vz
+
@x
@y
@z
@t
"
#
~
@
A
~+
= (~v r) A
dt;
@t
pois a partícula se move a distância, ~v dt. Assim, temos
~
~
dA
~ + @A :
= (~v r) A
dt
@t
(10)
Substituindo esta expressão na Eq.(9), temos
"
#
~
d
A
~ :
F~ = e
r + r(~v A)
dt
A equação de movimento da partícula carregada …ca então,
"
#
~
d2~r
dA
~ ;
m 2 =e
r + r(~v A)
dt
dt
ou
d
dt
m
d~r
~
+ eA
dt
n
r e
=
o
~ :
e(~v A)
(11)
(12)
(13)
Pela inspecção, esta equação pode ser escrita na forma de uma equação de
Euler-Lagrange,
d @L
= rL;
(14)
r
dt @ d~
dt
se escolhemos
2
1
d~r
d~r
~
m
+e
A
2
dt
dt
1
~
= m~v 2 + e ~v A
e ;
2
L=
e
(15)
(16)
onde ~v é a velocidade da partícula. Quando comparar com a forma,
L=T
U;
(17)
~ :
e ~v A
(18)
então,
U =e
2
Isto é, o potencial correspondente a interação com o campo eletromagnético
depende não só da posição mas também depende da velocidade da partícula.
Note que, devido a dependencia em ~v do potencial U , o momento canonico
para ~r já não é mais m~v . Temos
p~ =
@L
~ 6= m~v !
= m~v + eA
@~v
(19)
Exercício: Prove Eqs.(6,7).
Exercício: Prove Eq.(8).
Exercício: Calcule a Hamiltoniana. Ela é T + U ? Interprete o resultado e
discuta a conservação de energia.
Quando existe, além da força de Lorentz, uma outra força derivada de um
potencial V , a Lagrangiana da partícula carregada …ca
L=
1
~
m~v 2 + e ~v A
2
3
e
V:
(20)