Volumes – parte 01
Isabelle Araujo
Introdução
Suponha que queiramos medir a quantidade
de espaço ocupado por um sólido S. Para isso,
precisamos comparar S com uma unidade de
volume. O resultado dessa comparação é um
número que exprime quantas vezes o sólido S
contém a unidade de volume. Esse número é a
medida do volume de S, que costumamos
dizer, simplesmente, volume de S.
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Exemplo
Por exemplo, o volume do sólido S a seguir é
de 12 unidades de volume: 12 U, ou seja:
volume de S = 12 U
Sólido S
Unidade de volume: U
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Volume do bloco retangular
O volume do bloco retangular é proporcional a
cada uma de suas dimensões, e é determinado
pela multiplicação das suas três dimensões:
largura, comprimento e altura.
V = abc
Como ab indica a área da base
e c indica a altura, podemos
c indicar
o
volume
desse
paralelepípedo retângulo assim:
b Onde: B = ab (área da base);
a
V = Bh h = c (altura correspondente).
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Exercício
Enche-se um recipiente cúbico com água. A
aresta do recipiente é de 1,20 m. Para retirar a
água desse recipiente, usam-se baldes cuja
capacidade é de 9 litros. Quantos baldes
devem ser retirados para esvaziar totalmente o
recipiente?
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Resolução
Temos um recipiente cúbico cheio de água,
calcularemos seu volume:
Note que, para um cubo, o
seu volume pode ser
calculado por:
V = a³
Onde a é a aresta do cubo.
V  abc  1,2m 1,2m 1,2m  1,728m³
ou
V  a³  (1,2m)³  1,728m³
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Resolução
Como 1m³ = 1000 litros, nesse recipiente,
teremos 1728 litros. Cada balde retira 9 litros,
então dividiremos esse volume do recipiente
pela capacidade de cada balde para achar o
número n de baldes necessários para esvaziar
totalmente esse recipiente:
9L
1728L
1728

n
 192
1balde n baldes
9
Então, 192 baldes são necessários
para esvaziar esse recipiente.
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Volume do prisma
Tomando como base o princípio de Cavalieri,
podemos definir como calcular o volume de
prismas. A partir desse princípio, chega-se à
conclusão que o volume de um prisma qualquer
é obtido fazendo área da base  altura, temos:
V = Bh
Exemplos de prismas
Onde:
B é a área da base;
h é a altura.
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Exercício
Com o objetivo de trabalhar com seus alunos o
conceito de volume de sólidos, um professor fez
o seguinte experimento: pegou uma caixa de
polietileno, na forma de um cubo com 1 metro de
lado, e colocou nela 600 litros de água. Em
seguida, colocou, dentro da caixa com água, um
sólido que ficou completamente submerso.
Considerando que, ao colocar o sólido dentro da
caixa, a altura do nível da água passou a ser 80
cm, qual era o volume do sólido?
a) 0,2m³ b) 0,48m³ c) 4,8m³ d) 20m³ e) 48m³
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Resolução
Sabemos que a caixa de 1m³ tem uma
capacidade de 1000 litros. Então, colocou-se
600 litros de água nesse caixa. Ao colocar um
objeto na caixa, notou-se que o nível de água
aumentou, a altura de água ficou medindo
0,8m. Então vamos ver quanto foi esse
acréscimo de volume, pois todo esse acréscimo
é, justamente, o volume do objeto que foi
totalmente submerso.
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Resolução
Esse acréscimo do volume é a variação, ou
seja, o volume final – o volume inicial.
Vinicial  600L
Vfinal  Ab  h  (1m 1m) 0,8m  0,8m³  800L
V  V
final
V  200L
 Vinicial  800L - 600L
0,8 m
V
1m
O volume do objeto submerso
1m
é 200 L ou 0,2 m³.
Resposta correta: Letra a
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Exercício
Um prisma regular triangular tem todas as
arestas congruentes e 48 cm² de área lateral.
Seu volume vale:
a) 16m³
b) 32m³
c) 64m³
d) 4 3 m³
e) 16 3 m³
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Resolução
a
a Base  a
a Face 
a
a
a
a² 3
A base 
4
(triângulo equilátero)
A face  a²
a
a
A área lateral é o somatório das áreas das três
faces, ou seja, 3a². Igualamos isso ao valor de
48 cm² que a questão fornece e acharemos o
valor de a:
48
3a²  48cm²  a²  cm²  16cm²  a  16cm²  4cm
3
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Resolução
Achamos o valor de a, agora vamos achar o
volume do prisma, multiplicando a área da base
e a altura:
a² 3
(4)² 3
V  A base  h 
a  V 
 (4)  16 3cm³
4
4
A área da base é um triângulo A altura mede a.
equilátero (três lados iguais).
O volume do prismaé 16 3cm³.
Alternativa correta: Letra e
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Exercício
(ITA-SP) Dado um prisma onde sua base é um
hexágono regular, sabe-se que sua altura mede
3 cm e que sua área lateral é o dobro da área
de sua base. Qual o valor do volume desse
prisma?
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Resolução
Num hexágono regular, temos seis triângulos
equiláteros, a área da sua base será:
a² 3 3a² 3
A base  6.A equilátero  6.

4
2
A área de cada face é o produto de a  altura,
ou seja, 3a cm².
A área lateral total será seis vezes a área de
cada face, ou seja, 6(3a) cm = 18a cm².
Nesse caso, a questão diz que a área lateral é
o dobro da área da base, então:
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Resolução
3a² 3
a² 3
A lateral  2  A base  18a  2 
a
2
6
6
3
6a  a² 3  6  a 3  a 

 2 3cm
3 3
Agora poderemos descobrir a área da base e,
consequentemente, o volume do prisma:
3(2 3 )² 3
3.4.3.3 3
V  A base  h 
3 
 54 3cm³
2
2
O volume desseprismaé 54 3cm³
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Exercício
Dispondo-se de uma folha de cartolina, medindo
50 cm de comprimento por 30 cm de largura,
pode-se construir uma caixa aberta cortando-se
um quadrado de 8 cm de lado em cada canto da
folha. O volume dessa caixa, em cm³, será:
a) 1.244
b) 1.828
c) 2.324
d) 3.808
e) 12.000
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Resolução
Temos a seguinte situação:
50 cm
30 cm
8 cm
8 cm
50 –(2  8) cm
30 –(2 8) cm
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Resolução
Note que, após as mudanças feitas, a caixa
terá 34 cm x 14 cm como dimensões de base e
8 cm de altura.
Vamos calcular o volume:
14 cm
V  A base  h
V  (34cm 14cm)8cm
V  (476cm²) 8cm
V  3808 cm³
34 cm
O volume dessa caixa
será 3808 cm³.
Resposta correta: Letra d
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Exercício
Uma fábrica que produz porcas de parafuso
fará embalagens do seu produto. Para isso,
gostariam de saber o volume de cada peça
para que sejam feitas embalagens de acordo
com o volume de cada peça. Qual o volume de
cada porca de parafuso cuja forma e medidas
estão na figura a seguir?
6 mm
5 mm
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8 mm
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Resolução
Vamos chamar de V1 o volume do prisma maior
(prisma externo) e V2 o volume do prisma
menor (prisma interno). Note que o volume da
peça será dado por: V = V1 - V2.
5 mm
6 mm
• Vamos calcular V1:
8 mm
² 3
(8)² 3
B1  6 
 6
 163,2 mm³
4
4
V1  B1h  163,2mm² 5mm  816mm³
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Resolução
• Vamos calcular V2:
² 3
(6)² 3
B2  6 
 6
 91,8 mm³
4
4
V2  B2h  91,8mm² 5mm  459mm³
• Vamos calcular V:
V  V1  V2  816mm³ 459mm³  357mm³
O volume da porca de parafuso é 357 mm³
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Referências Bibliográficas
DANTE, L. R. Matemática – Volume único. Editora Ática. 2009.
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