EQUAÇÕES DE MAXWELL E ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
As equações de Maxwell, relacionam os vetores campo elétrico e magnético, E e B , as suas fontes, que
podem ser cargas elétricas, correntes ou campos variáveis. A partir dessas equações podemos demonstrar todas as
leis fundamentais da eletricidade e do magnetismo, ou seja, leis de Coulomb, Gauss, Biot-Savart, Ampère e
Faraday. Elas desempenham no eletromagnetismo clássico um papel tão importante quanto as leis de Newton para
a mecânica clássica.
A partir de suas equações, Maxwell mostrou que é possível obter uma equação de onda para os campos
elétrico e magnético, denominada onda eletromagnética.
O trabalho de Maxwell foi demonstrado experimentalmente em 1887 por Hertz que realizou a primeira
transmissão de ondas de rádio (denominadas de ondas hertzianas).
Maxwell mostrou que a velocidade das ondas eletromagnéticas (EM) no espaço livre será:
c=
1
µ 0ε 0
é a permissividade elétrica do espaço livre e
onde ε 0 = 8,85 × 10 C / Nm
permeabilidade magnética do espaço livre.
−12
2
2
µ 0 = 4π × 10 −7 N / A 2 é
1 – As equações de Maxwell
As equações de Maxwell são:
Q
E ⋅ dS = intε erior - Lei de Gauss ⇒ o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada
∫
0
S
qualquer, é igual à carga no interior da superfície dividida por ε0.
B ⋅ dS = 0 - Lei de Gauss para o magnetismo ⇒ o fluxo do campo magnético através de qualquer
∫
S
superfície fechada é igual a zero uma vez que as evidencias experimentais mostram que as linhas de campo
magnético não divergem de nenhum ponto e nem convergem para nenhum ponto, implicando na não existência de
pólos magnéticos isolados.
d E ⋅ d = −
B ⋅ dS - Lei de Faraday ⇒ descreve o modo como as linhas do campo magnético se
∫
dt
C
∫
S
comportam em uma região na qual o campo magnético está variando e relaciona o campo elétrico à taxa de
variação do campo magnético.
d B ⋅ d = µ 0 I + µ 0ε 0
E ⋅ dS - Lei de Ampère generalizada ⇒ o primeiro termo é o produto de
∫
dt
C
∫
S
µ0 pela corrente que atravessa qualquer superfície limitada pela curva, enquanto o segundo termo é o produto de
µ0ε0 pela taxa de variação do fluxo do campo magnético através da mesma superfície.
Uma outra maneira de se escrever a lei de Ampère generalizada é:
dφ B
= µ 0 (I + I d )
B ⋅ d = µ 0 I + µ 0ε 0
∫
dt
C
onde I d = ε
0
dφ B
é a corrente de deslocamento.
dt
2 – Onda eletromagnéticas (EM)
E
Campo elétrico
Direção de propagação
B
Campo magnético
02_blar
1
Espectro eletromagnético – A diferença entre o vários tipos de ondas Sem – luz visível, ondas de rádio, raios
X, raios gama, microondas, etc. – está apenas no comprimento de onda e na freqüência. O olho humano é sensível
a uma faixa de comprimento de onda que vai aproximadamente de 400 a 700 nm.
Radiação de um dipolo elétrico – Cargas elétricas aceleradas produzem ondas EM. Em uma antena do tipo
dipolar, cargas oscilantes irradiam ondas EM com intensidade máxima na direção perpendicular à antena e nula na
direção da antena. Na direção perpendicular à antena e a grandes distâncias, o campo elétrico de uma onda EM é
paralelo à antena.
Os campos
Os campos elétrico e magnético de uma onda EM têm as formas:
E = Em sin (kx − ω t )
B = Bm sin (kx − ω t )
Os vetores E e B são perpendiculares à direção de propagação da onda EM que é portanto uma onda
transversal.
A razão entre as amplitudes e a velocidade escalar da onda EM
Os módulos desses campos estão relacionados por:
E Em
=
=c=
B Bm
1
µ0ε 0
onde c é a velocidade da onda e c = 3 × 10 m / s
8
Fluxo de energia
No caso mais geral, a direção de propagação de uma onda EM é a direção do produto vetorial E × B .
Densidade de energia de uma onda EM.
u = uE + uB = ε 0 E 2 =
B2
EB
=
µ 0 µ0c
Vetor de Poynting
E×B
S=
µ0
dá o fluxo de energia (W/m2) para uma onda EM. A intensidade da onda (o valor médio de S) é:
I=S=
1
2
(fluxo de energia média; onda plana)
E rms
µ
c 0
Pressão de radiação
Quando uma superfície intercepta radiação eletromagnética, uma força e um a pressão são exercidas sobre a
superfície, a força é:
F=
IA
(absorção total)
c
onde I é a intensidade da radiação e A é a área da superfície perpendicular à trajetória da radiação. Se a
radiação é totalmente refletida retornando ao longo der sua trajetória original, a força é
F=
2 IA
(reflexão total retornando ao longo da trajetória)
c
Sendo a pressão definida como força por unidade de área, a pressão de radiação será:
p=
02_blar
2I
I
(absorção total) e p =
(reflexão total)
c
c
2
Equações de onda
∂2E
1 ∂2E
=
∂x 2 c 2 ∂t 2
∂2B 1 ∂2B
=
∂x 2 c 2 ∂t 2
Exercícios
1.
(a) Quais são as ondas EM de maior freqüência, as ondas luminosas ou os Raios X? (b) Determine o
comprimento de onda de uma rádio AM típica como a Rádio Difusora de Alagoas. (c) Qual é o comprimento
de onda da Rádio Educativa FM?
2.
Um transmissor usa uma antena do tipo circular com a espira no plano horizontal. Qual seria a orientação de
uma antena do tipo dipolar, instalada no receptor, para receber o sinal com máximo de intensidade?
3.
y
A figura ao lado representa o gráfico polar da intensidade
da radiação EM de uma antena dipolar em função do
sin 2 θ
, onde
r2
é o ângulo entre o momento dipolar e o vetor posição r .
ângulo. A intensidade , é proporcional a
θ
I(θ )
Seja I1 a intensidade da radiação para uma distância
r = 10 m da origem e para um ângulo 0. Determinar a
intensidade em função de I1 (a) para r = 30 m 0; (b)
r = 10 m 450; (c) r = 20 m 0. (d) para que
ângulo a intensidade com r = 5 m é igual a I1? (e) Para que
distância a intensidade em 0 é igual a I1?
x
4.
A antena transmissora de uma estação de rádio é uma
antena dipolar localizada a 2000 m acima do nível do mar.
A intensidade do sinal em uma montanha a 4 km de
distância, também a 2000 m acima do nível do mar, é 4x10-12 W/m2. Qual a intensidade do sinal ao nível do
mar e a 1,5 km do transmissor?
5.
Uma estação de rádio que usa uma antena do tipo dipolar vertical transmite com uma freqüência de 1,5 MHz e
uma potência de 500 kW. Calcule a intensidade do sinal a uma distância horizontal de 120 km da estação.
6.
A amplitude de uma onda EM é E0 = 400 V/m. Determine (a) Erms; (b) Brms; (c) a intensidade I; (d) a pressão
de radiação Pr.
7.
(a) Uma onda EM de 200 W/m2 de intensidade incide perpendicularmente em um cartão preto retangular, com
20 cm e 30 cm de lado, que absorve toda a radiação. Determine a força exercida pela radiação sobre o cartão.
(b) Determine a forca exercida pela mesma onda se o cartão refletir toda a radiação incidente.
8.
Uma estação de rádio AM irradia uma onda senoidal isotrópica com uma potência de 50 kW. Quais são os
valores de Emáx e Bmáx a uma distância de (a) 500 m; (b) 5 km; (c) 50 km?
9.
Uma onda EM fornece a mesma potência que uma linha de transmissão de 1000 A, 750 kV. A onda tem a
mesma forma de um feixe de intensidade uniforme com uma seção reta de 50 m2. Quais são os valores rms do
campo elétrico e do campo magnético?
10. O campo elétrico de uma onda EM oscila na direção dos eixo dos y e o vetor de Poynting é dado por
(
)
(
)
S (x, t ) = 100W / m 2 cos 2 [10 x − 3 × 10 9 t ]i
onde x é dado em metros e t em segundos. (a) Qual a direção de propagação da onda? (b) Determine o
comprimento de onda e a freqüência. (c) Determine os campos elétrico e magnético.
02_blar
3