Unidade I MATEMÁTICA COMERCIAL Profa. Gizele Munim Objetivo do curso Proporcionar ao aluno desenvolvimento do raciocínio matemático, ajudando na análise de questões financeiras que envolvam jjuros simples, p , descontos e juros j compostos. Apresentação do módulo i Conceituação de Juros Taxa de Juros Juros Simples Fluxo de Caixa Valor Nominal e Valor Atual O que são juros? Rendimento obtido (ou pago) por um indivíduo que tenha aplicado (ou tomado emprestado) um determinado capital. Em outros termos: É o custo de um empréstimo p ou a rentabilidade de uma aplicação. O que são juros? Quando falamos em juros estamos falando em como corrigir o dinheiro ao longo do tempo. Taxa de juros É a taxa de juros que indica qual será a remuneração paga sobre o capital emprestado (ou aplicado) por um determinado período de tempo. É a razão entre os juros recebidos (ou pagos)) no fim fi de d determinado d t i d período í d de tempo e o capital inicialmente empregado. Taxa de juros Representada pela letra i (do inglês Interest, que significa juros). Expressa normalmente na forma percentual (%). OBS: Porém, para realização de cálculos financeiros, deverá ser convertida para a f forma decimal d i l (dividindo (di idi d a taxa t dada d d por 100). Ex: 9% = 0,09 0,05% = 0,0005 11 3% = 0 11,3% 0,113 113 Taxa de juros Via de regra deverá vir acompanhada da especificação do tempo a que se refere. ao dia – a.d. ao mês – a.m. ao trimestre – a.t. at ao ano – a.a. Taxa de juros Exemplo: Joaquim solicita um empréstimo de R$ 5.000,00 ao Banco W, pelo período de 6 meses, a taxa de 3%. Veja j que q não há a especificação p ç do período p a que se refere esta taxa, se é por todo o tempo do empréstimo, se é ao mês, ao semestre, etc., logo o cálculo dos juros fica incompleto! Taxa de juros Equivalência de unidades de tempo: A taxa de juros e o período a que se refere sempre devem ser proporcionais. Por exemplo, se a taxa de juros dada é ao mês e o p período de capitalização p ç é ao dia,, um destes deve ser convertido, igualandose os períodos: Taxa de juros Ex: Carla aplicou um capital de R$ $ 500,00, por 47 dias, à taxa de juros de 5% ao mês. Podemos converter os 47 dias para mês, igualando-se assim os períodos de referência, veja: Mês comercial= 30 dias, logo: 47 = 1,57 meses 30 Taxa de juros Ex: Paulo tomou um empréstimo de R$ $ 3.200,00, por 98 dias, à uma taxa de 10% ao ano. 1. Converter o prazo de dias para ano: 98 = 0,27 ano 360 2. Converter a taxa de anual para diária: 10% = 0,03% ao dia 360 Taxa de juros Fórmula: i = JUROS i(%) = CAPITAL JUROS X 100 CAPITAL Ex: Um Capital de R$ 100 100,00 00 aplicado por 12 meses gerou juros de R$ 11,00. Qual a taxa de juros do período? i = JUROS CAPITA = 11 = 0,11 x 100 = 11% 100 Taxa de juros Tipos de Taxas: Proporcional Equivalente Nominal / Aparente Efetiva Ef ti Real Over Taxa de juros Taxas proporcionais: São taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo prazo geram um mesmo montante. 12% ao ano é proporcional i l a 6% ao semestre; 1% ao mês é proporcional a 12% ao ano. OBS: Utilizada no regime de juros simples. Taxa de juros Taxas equivalentes: São taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo prazo geram um mesmo montante. O conceito it de d taxas t equivalentes i l t está tá diretamente ligado ao regime de juros compostos. Simples: 1% a.m. = 12% a.a Composto: p 1% a.m. = 12,68% a.a. No sistema composto, há o efeito de “juros sobre juros”. Taxa de juros Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. 12% ao ano, capitalizados mensalmente; 24% ao ano, capitalizados semestralmente; 10% ao ano, capitalizados trimestralmente; 18% ao ano, capitalizados diariamente. T bé chamada Também h d de d Taxa T Aparente. A t Taxa de juros Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. 2% ao mês, capitalizados mensalmente; 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente; 6% ao semestre, capitalizados semestralmente; 10% ao ano, capitalizados anualmente. Tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos da taxa de juros e dos períodos de capitalização, costuma-se simplesmente dizer: 2% ao mês, 3% ao trimestre, 6% ao semestre e 10% ao ano. Taxa de juros A taxa real : É calculada a partir da taxa efetiva, considerando-se os efeitos inflacionários do período. Na verdade, significa dizer que taxa real de juros é o verdadeiro ganho financeiro. Taxa de juros A taxa over é uma taxa nominal mensal, usada pelo mercado financeiro para determinar a rentabilidade por dia útil. Exemplo: Várias aplicações são efetuadas tomando como base os dias úteis; entre elas temos as operações de CDIs – Certificados de Depósitos Interbancários. Interatividade Se a taxa nominal para um determinada aplicação é de 15% ao ano, qual será a taxa para uma aplicação que permanecerá pelo prazo de 2 anos, 3 meses e 18 dias? Pelo método de Juros Simples. a)) 34 34,65% 65% b) 33,75% c) 34,50% d) 33,20% e)) 31 31,50% 50% Juros simples O regime de juros simples é aquele no qual os juros incidem sempre o capital inicial. Os juros gerados a cada período serão calculados sobre o capital originalmente aplicado, li d não ã incidindo i idi d portanto t t sobre b os juros já calculados em períodos anteriores. Juros simples Os juros podem ser calculados da seguinte forma: J=Cxixn Onde: J=J Juros C = Capital inicial i = taxa da aplicação / taxa de juros n = tempo que durou a aplicação Juros simples Exemplo 1: Quanto pagarei de juros por um empréstimo de R$ 2.200,00, a uma taxa de 1,20% de juros ao mês, pelo período de 3 meses? C = R$ 2.200,00 i = 1,20% ao mês (0,012) n = 3 meses J=Cxixn J = R$ $ 2.200,00 x 0,012 x 3 J = R$ 79,20 Juros simples Exemplo 2: Um banco cobra de seus clientes 12% de juros ao mês para saldos negativos em contas especiais. Qual o valor do juros a pagar por um cliente que deixou sua conta negativa ti em R$ 800 800,00 00 por 6 di dias? ? Equivalência de períodos: 12% ao mês = 12/30 = 0,40% ao dia (0,004) J=Cxixn J = 800 x 0 0,004 004 x 6 J = R$ 19,20 Juros simples Exemplo 3: O Capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a taxa de 18% ao ano, produzindo juros de R$ 330,00. Qual foi o prazo da Aplicação? J = 330 C = 1.000 J=Cxixn 330 = 1.000 x 0,18 x n 330 = 180 n n = 330 = 1,833 anos 180 Ou 1 ano e 10 meses. i = 18% a.a. Juros simples Exemplo 4: Um capital de R$ 2.500,00, aplicado durante 10 meses, rendeu juros de R$ 500,00. Qual a taxa da aplicação? J=Cxixn 500 = 2.500 x i x 10 500 = 25.000 x i i = 500 25.000 = 0,02 ou 2% a.m. Juros simples MONTANTE (M): É a soma do capital inicialmente aplicado aos juros apurados ao final do período: M = C (1 +( i x n)) M=C+J i=.M.–1 C Juros simples Montante – Exemplo 01 Determine o montante acumulado após 14 meses de aplicação de um capital de R$ 5.000,00, a uma taxa de 8% ao mês. M = C ((1+ i x n)) M = 5.000,00 (1 + 0,08 x 14) M = 5.000,00 (1 + 1,12) M = 5.000,00 x 2,12 M = R$ 10.600,00 Juros simples Montante – Exemplo 02 Pedro foi à uma agência bancária e pediu um empréstimo de R$ 4.000,00, acordando o prazo de 1 mês e 20 dias para pagamento, com juros de 2,4% ao mês, à j juros simples. i l Quanto Pedro terá que pagar ao banco ao final da operação? M = C (1+ i x n) M = 4.000,00 ((1 + 0,024 x 1,66)) M = 4.000,00 (1 + 0,04) M = 4.000,00 x 1,04 M = R$ 4.160,00 Juros simples Montante – Exemplo 03 Um capital de R$ 100.000,00 aplicado a uma taxa de 200% ao ano, gerou um montante de R$ 134.444,44. Qual o período da aplicação? Juros simples M = C (1+ i x n) 134.444,44 = 100.000 (1 + 2 x n) 134.444,44 = 100.000 (1 + 2 n) 134 444 44 = 100 134.444,44 100.000 000 + 100 100.000 000 x 2n 134.444,44 – 100.000 = 100.000 x 2n 34.444,44 = 100.000 x 2 n 34.444,44 = 2 n 100.000 n = 0,344444 2 0,344444 = 2 n n = 0,1722 anos = 62 dias Interatividade Qual o valor que devemos aplicar hoje a uma taxa de 20% ao semestre para resgatarmos R$ 9.000,00 ao final de 2 anos? a) R$ 7.200,00 b)) R$ 5.000,00 , c) R$ 5.400,00 d) R$ 1.800,00 e) R$ 7.120,00 Fluxo de caixa Denominamos fluxo de caixa o conjunto de entradas e saídas de capital, em determinados períodos de tempo, para um indivíduo ou empresa. As entradas de um fluxo de caixa corresponderão d ã aos recebimentos bi t e as saídas corresponderão aos pagamentos ou desembolsos. Fluxo de caixa A fim de facilitar o entendimento de questões envolvendo fluxo de caixa, é utilizada a representação gráfica. Esta representação é feita por meio do: Diagrama g de Fluxo de Caixa (DFC), ( ), conforme as seguintes convenções: Fluxo de caixa 1. No eixo horizontal será marcada a escala de tempo, subdividida em períodos unitários (dia, mês, ano, etc..), orientados da esquerda para a direita. 2. O ponto 0 será a data inicial ou datazero, a partir da qual, todas as demais datas se encontrarão relacionadas. 0 Fluxo de caixa 3. Os recebimentos (entradas de caixa) serão representados na parte superior do eixo horizontal, indicados por setas orientadas para cima. 0 4. Os pagamentos (saídas de caixa) serão representados na parte inferior daquele eixo, indicados por setas orientadas para baixo. 0 Fluxo de caixa Exemplo 01 - Representação Gráfica: Um individuo solicitou ao Banco D um empréstimo de R$ 1.000,00, acordando um pagamento após 10 dias de R$ 500,00 e saldo após 30 dias. Qual a DFC? 0 10 30 Fluxo de caixa A representação gráfica do fluxo de caixa é feita de acordo com os dados apresentados, sendo orientadas de acordo com a interpretação do enunciado do problema. Visão do Cliente: 0 10 30 Visão do Banco: 0 10 30 Fluxo de caixa Exemplo 02 - Representação Gráfica: Miguel resolve aplicar em um banco 5 parcelas iguais, mensais e consecutivas de R$ 4.000,00, para resgate no 5º mês. Sabese que a primeira parcela será efetivada na d t 0. data 0 Qual Q l a representação t ã gráfica áfi desta d t aplicação feita por Miguel? Montante Acumulado 0 4.000 1 4.000 2 4.000 3 4.000 4 4.000 5 Fluxo de caixa A Empresa W tem o seguinte fluxo mensal: Recebimentos Previstos DIA VALOR (R$) DIA VALOR (R$) 5 100 6 80 12 170 9 120 17 280 12 140 25 90 28 200 100 0 Pagamentos Previstos 5 6 80 170 9 120 12 140 280 17 90 25 28 280 30 Fluxo de caixa No universo da matemática financeira, o Diagrama de Fluxo de Caixa é um grande aliado na resolução de problemas, afinal, através da representação gráfica, fica mais claro e evidente o contexto que estamos trabalhando e como resolvê-lo resolvê-lo. Identifique todas as entradas e saídas relevantes ao problema; Verificar as variáveis envolvidas, como juros. Trace o DFC correspondente; p Fluxo de caixa Ao confeccionar um DFC, ocorrendo pagamentos e recebimentos no mesmo dia, pode-se representar com apenas uma seta, a que represente o resultado daquele dia. Somente registrar a entrada ou saída do valor l no momento t em que ele l efetivamente f ti t ocorrer. Ex.: Uma venda hoje realizada hoje para recebimento em 30 dias, somente deverá ser registrada no diagrama no momento efetivo do recebimento do dinheiro ou seja dinheiro, seja, daqui 1 mês. mês Fluxo de caixa Tomar cuidado com receitas (ou despesas) que não representam efetivas entradas (ou saídas) de caixa, tais como depreciação, provisões, reversões, entre outras. Interatividade Um indivíduo vai ao banco e pede um empréstimo de R$ 1.000,00, para pagamento após 30 dias. O gerente além de cobrar-lhe juros antecipadamente de R$ 100,00, o convence a manter um CDB no valor de R$ 200 200,00, 00 remunerado a 5% durante o prazo da operação. Pensando no Fluxo de Caixa do cliente, qual será o valor lançado na data-zero? A. R$ 1.000,00 B R$ 900 B. 900,00 00 C. R$ 800,00 D. R$ 700,00 E. R$ 1.200,00 Valor presente (present value) Também chamado de principal, Valor Atual ou Capital Inicial, corresponde ao valor do dinheiro na data inicial do fluxo, ou seja, na data-zero do Diagrama de Fluxo de Caixa. O principal C é também conhecido como V l Presente. Valor P t Valor futuro (future value) Também chamado de Montante ou Capital Acumulado, corresponderá ao valor do dinheiro em uma data futura,ou seja, apurado no final do fluxo, após o impacto dos juros. O montante apurado M é também pode ser chamado de Valor Futuro. Valor presente e valor futuro No caso de uma aplicação VALOR FUTURO T Taxa = i% VALOR PRESENTE Prazo = n Valor presente e valor futuro Juros Simples: FV = PV ( 1 + i x n) Juros Compostos: Valor Presente: PV = FV . (1 + i)n Valor Futuro: FV = PV (1 + i)n Valor presente e valor futuro Exemplo 01 Qual o valor futuro de uma aplicação de R$ 200,00, remunerada a taxa de 5% ao mês após 3 meses de aplicação? Valor Futuro: FV = PV (1 + i)n FV = 200 (1 + 0,05)3 FV = 231,52 Valor presente e valor futuro Exemplo 01 Qual o valor futuro de uma aplicação de R$ 200,00, remunerada a taxa de 5% ao mês após 3 meses de aplicação, a juros simples. 231 52 231,52 i = 5% 0 200,00 1 2 3 Valor nominal (n) e valor atual (v) Valor Nominal (N): Valor dos títulos apresentados (Valor de face), a vencer em data futura. Nota que este valor não é necessariamente o valor pago ou recebido pelo título. Valor nominal (n) e valor atual (v) Valor Atual (V): Valor aplicado a juros simples em data anterior até a data de vencimento que proporcionará o Valor Nominal. Valor nominal (n) e valor atual (v) Esquematicamente: N = Valor Nominal V = Valor Atual 0 V= N 1+ixn . Valor nominal (n) e valor atual (v) Exemplo: Consideremos uma pessoa que tenha uma dívida de R$ 11.000,00 a ser paga daqui 5 meses. Se ela puder aplicar seu dinheiro hoje, a juros simples e à taxa de 2% ao mês, quanto ela deverá aplicar para poder pagar a dívida no seu vencimento? V=? N = 11.000 V= N i = 0,02 n=5 . 1+ixn V = 11.000 = 11.000 1 + 0,02 x 5 1,10 = 10.000,00 Valor nominal (n) e valor atual (v) Exemplo: Determinar o valor atual de um título cujo valor de resgate é de R$ 500.00,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 3% ao mês e que faltam 07 meses para seu vencimento. V=? N = 500.000 500 000 V= N i=0 0,03 03 n=7 . 1+ixn V = 500.000 = 500.000 1+0 0,03 03 x 7 1 1,21 21 = 413.223,14 Valor nominal (n) e valor atual (v) Exemplo: Paulo obtém R$ $ 40.000,00 emprestados de um credor, que lhe entrega uma nota promissória de R$ 80.000,00, com vencimento para 12 meses. Qual a taxa de juros cobrada pelo credor? N = R$ 80 80.000,00 000 00 V = R$ 40.000,00 n = 12 i = ???? Valor nominal (n) e valor atual (v) V= N . 1+ixn 40.000 = 80.000 (1 + i x 12) 40.000 (1 + 12 i) = 80.000 1+ 12 i = 80.000 40.000 1 + 12 i = 2 12 i = 1 i = 1 . = 0,0833 12 8,33% ao mês Interatividade João tem em seu poder uma notapromissória de R$ 5.000,00, a vencer em 3 meses. Para saldar esta dívida no vencimento, quanto ele deverá aplicar hoje, a juros simples de 1% ao mês? a)) R$ 4 4.953,15 953 15 b) R$ 4.855,10 c) R$ 4.850,00 d) R$ 4.950,00 e)) R$ 4 4.854,37 854 37 ATÉ A PRÓXIMA!
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