19/09/2009
Análise da Sensibilidade
Bertolo, L.A.
UNIUBE
Análise da sensibilidade
Em todos os modelos de programação linear, os coeficientes da função
objetivo e das restrições são considerados como entrada de dados ou
parâmetros para os modelos. As soluções ótimas que obtemos são baseadas
nos valores destes coeficientes que, na prática, são raramente conhecidos
com absoluta certeza.
certeza
Cada variação nos valores destes coeficientes muda o problema de
programação linear que pode afetar a solução ótima encontrada anteriormente.
A análise de sensibilidade nos ajuda a entender como esta solução ótima mudará
mediante a entrada dos novos coeficientes. Custo reduzido, preço sombra, limites dos
coeficientes da função objetivo e das restrições são termos cujo entendimento é
necessário para conduzirmos a análise de sensibilidade.
Para proporcionar um melhor entendimento sobre o assunto, trabalharemos,
novamente, com o caso da confecção de roupas, que foi apresentado no nosso último
roteiro.
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
2
1
19/09/2009
Exemplo do último roteiro
A
1
2 Quantidades
3 Margem unitária
4 Margem Total
5
6
2
7 Espaço Físico(m )
8 Tecido (m)
9 Horas‐máquina(hm)
10
B
Saia
214,3
2
428,57
C
D
Calça
Bermuda
714,3
464,3
4
7
2.857,14 3.250,00
4
1
1
4
1
2
Coeficientes das variáveis
2
2
4
E
F
G
6.535,71
Função Objetivo
Função
Objetivo
2500
<=
4000
<=
3500
<=
Valores das condições
Relação
2.500
4.000
3.500
Restrição
Para que possamos tornar este exemplo mais apropriado para as análises de
sensibilidade, consideraremos que, em função de um aumento de custo, a margem de
contribuição unitária das saias tenha sido reduzida para R$ 1,50.
Modificando o valor do coeficiente das saias na função objetivo de R$ 2,00 para R$
1,50 vamos executar novamente o procedimento de solução do SOLVER.
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
3
Mudando a margem de contribuição das
saias devido a um aumento de custos
A
1
2 Quantidades
3 Margem unitária
4 Margem Total
5
6
Espaço Físico(m2)
7 Espaço Físico(m
8 Tecido (m)
9 Horas‐máquina(hm)
10
A
1
2 Quantidades
3 Margem unitária
4 Margem Total
5
6
2
7 Espaço Físico(m )
8 Tecido (m)
9 Horas‐máquina(hm)
10
B
Saia
214,3
2
428,57
C
Calça
714,3
4
2.857,14
D
Bermuda
464,3
7
3.250,00
4
1
1
4
1
2
Coeficientes das variáveis
B
Saia
0,0
1,5
0,00
2
2
4
E
F
G
Antes da
Modificação
6.535,71
Função Objetivo
2500
<<=
4000
<=
3500
<=
Valores das condições
Relação
C
D
Calça
Bermuda
750,0
500,0
4
7
3.000,00 3.500,00
4
1
1
4
1
2
Coeficientes das variáveis
2
2
4
2.500
4.000
3.500
Restrição
E
p a
Após
Modificação
F
G
6.500,00
Função Objetivo
1750
<=
4000
<=
3500
<=
Valores das condições
Relação
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
2.500
4.000
3.500
Restrição
4
2
19/09/2009
Relatório de Respostas
Célula de destino (Máx)
Célula
$E$4 Margem Total
Nome
Valor original
Valor final
6.428,57
6.500,00
Células ajustáveis
j
Célula
Nome
$B$2 Quantidades Saia
$C$2 Quantidades Calça
$D$2 Quantidades Bermuda
Valor original
Valor final
214,3
0,0
714,3
750,0
464,3
500,0
Restrições
Célula
Nome
$E$7 Espaço Físico(m2) Função Objetivo
$E$8 Tecido (m) Função Objetivo
Tecido (m) Função Objetivo
$E$9 Horas‐máquina(hm) Função Objetivo
Valor da célula
Fórmula
Status
1750 $E$7<=$G$7 Sem agrupar
4000 $E$8<=$G$8 Agrupar
3500 $E$9<=$G$9 Agrupar
Transigência
750
0
0
Aqui encontramos os valores atribuídos a cada uma das variáveis, função
objetivo e restrições.
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
5
Relatório de sensibilidade
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
A
B
C
D
Microsoft Excel 12.0 Relatório de sensibilidade
Planilha: [MetQuantitatEtapaVvol4.xlsm]ExemploPL1.2
Relatório criado: 24/06/2009 17:20:20
E
F
G
H
Células ajustáveis
Célula
Nome
$B$2 Quantidades Saia
$C$2 Quantidades Calça
$D$2 Quantidades Bermuda
Final
Valor
0,0
750,0
500,0
Reduzido
Objetivo
Permissível Permissível
Custo
Coeficiente Acréscimo Decréscimo
‐0,3
1,5 0,333333333
1E+30
0,0
4
10
0,5
0,0
7
1
2
Restrições
Célula
Nome
$E$7 Espaço
Espaço Físico(m2) Função Objetivo
Físico(m2) Função Objetivo
$E$8 Tecido (m) Função Objetivo
$E$9 Horas‐máquina(hm) Função Objetivo
Final
Sombra
Restrição
Permissível Permissível
Valor
Preço
Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo
1750
0
2500
1E+30
750
4000 0,166666667
4000
3000
2250
3500 1,666666667
3500
1500
1500
Este relatório é útil para avaliarmos o quão sensível é a resposta obtida frente a
possíveis mudanças nos coeficientes do modelo. As principais variações a serem
analisadas são a dos coeficientes da função objetivo, dos limites das funções de
restrições e dos coeficientes das restrições.
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
6
3
19/09/2009
Para entender o Custo Reduzido, tente
isto…
{
{
{
Faça uma cópia da planilha, e mude o
valor da célula B3 de 1,5 para 1,6.
Use Solver para resolver o problema
(novamente).
O que aconteceu?
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
7
Nada mudou!
A
1
2 Quantidades
3 Margem unitária
4 Margem Total
5
6
2
7 Espaço Físico(m )
8 Tecido (m)
9 Horas‐máquina(hm)
B
Saia
0,0
1,6
0,00
C
D
Calça Bermuda
750,0
500,0
4
7
3.000,00 3.500,00
4
1
1
1
4
2
E
F
G
<=
<=
<=
2.500
4.000
3.500
6.500,00
Função Objetivo
2
2
4
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
1750
4000
3500
8
4
19/09/2009
Agora tente isto …
{
{
{
Faça uma cópia da planilha, e mude o
valor da célula B3 de 1,6 para 1,7.
Use o Solver para resolver o problema
(novamente).
O que aconteceu?
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
9
Tranquilo, nada aconteceu.
A
1
2 Quantidades
3 Margem unitária
4 Margem Total
5
6
2
7 Espaço Físico(m )
8 Tecido (m)
9 Horas‐máquina(hm)
B
Saia
0,0
1,7
0,00
C
D
Calça Bermuda
750,0
500,0
4
7
3.000,00 3.500,00
4
1
1
1
4
2
E
F
G
<=
<=
<=
2.500
4.000
3.500
6.500,00
Função Objetivo
Função
Objetivo
2
2
4
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
1750
4000
3500
10
5
19/09/2009
Agora faça isto…
{
{
{
Faça uma cópia da planilha, e mude o
valor da célula B3 de 1,7 para
1,83335.
Use o Solver para resolver o problema
(novamente).
O que aconteceu?
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
11
O valor ótimo da quantidade de saia não é
mais zero.
A
1
2 Quantidades
3 Margem unitária
4 Margem Total
5
6
2
7 Espaço Físico(m )
8 Tecido (m)
9 Horas‐máquina(hm)
B
Saia
214,3
1,83335
392,86
4
1
1
C
D
Calça
Bermuda
714,3
464,3
4
7
2.857,14 3.250,00
1
4
2
E
F
G
<=
<=
<=
2.500
4.000
3.500
6.500,00
Função Objetivo
2
2
4
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
2500
4000
3500
12
6
19/09/2009
Explicação.
{
Quando o valor da célula B3 aumentou para 1,83335, O valor ótimo da
quantidade de saia não é mais zero.
{
De onde veio este “1,83335”?
1,5
, + 0,33335=
,
1,83335
,
O coeficiente objetivo original da quantidade de saia menos o “custo
reduzido” (acréscimo permissível).
No problema original, o valor ótimo da variável de decisão quantidade
de saia foi zero. O “custo reduzido” é, portanto, a quantia que o
coeficiente objetivo da variável de decisão quantidade de saia teve que
aumentar (num problema de maximização) para o valor ótimo desta
variável de decisão quantidade de saia ficar positivo e maior que zero.
{
Num problema de minimização, o “custo reduzido” é a quantia que o seu
coeficiente objetivo tem que diminuirr para o valor ótimo de daquela variável de
decisão ficar positivo.
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
13
Interpretando o “custo reduzido”
É a quantia que o coeficiente da variável de decisão na função objetivo
teria que melhorar antes que fosse vantajoso dar à variável de decisão
em questão um valor positivo (diferente de zero) na solução ótima.
É a quantia de penalidade que você teria que pagar para poder introduzir uma
unidade daquela variável de decisão na solução ótima.
O custo reduzido só se aplica a variáveis que na solução ótima são zero
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
14
7
19/09/2009
Agora, tente isto…
{
{
Faça uma cópia do problema
original, com a margem
unitária
da
variável
de
decisão quantidade de saia
como 1,5.
15
Adicione uma restrição forçando a
variável de decisão quantidade de
saia =1.
O que aconteceu?
t
?
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
15
Veja o que aconteceu!
A
1
2 Quantidades
3 Margem unitária
g
4 Margem Total
5
6
2
7 Espaço Físico(m )
8 Tecido (m)
9 Horas‐máquina(hm)
{
{
B
Saia
1,0
1,5
1,50
,
C
D
Calça
Bermuda
749,8
499,8
4
7
2.999,33
,
3.498,83
,
4
1
1
1
4
2
E
F
G
<=
<=
<=
2.500
4.000
3.500
6.499,67
,
Função Objetivo
2
2
4
1753,5
4000
3500
O valor da função objetivo caiu de (6.500 –
6.499,67)) = 0,33
De onde veio este “0,33”?
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
16
8
19/09/2009
Explicando...
{
{
O custo reduzido de uma variável de decisão
(cujo valor ótimo é correntemente zero) é a
taxa em q
que o valor da função
ç
objetivo
j
é
penalizada quando uma variável é “forçada”
numa solução ótima anteriormente.
Adicionamos uma restrição forçando a
variável de decisão quantidade de saia =1, e
o valor da função objetivo LUCRO é
penalizado (diminuído) por 1 * 0,33.
Custo
Reduzido
{
O que acontece se tentarmos forçar a quantidade de
saia para =100?Resp: 33,33
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
17
Entendendo o Preço Sombra
(Shadow Price)
É a quantidade em que a função objetivo (lucro no nosso exemplo)
melhoraria se o limite da restrição (RHS) aumentasse em uma unidade.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
A
B
C
D
Microsoft Excel 12.0 Relatório de sensibilidade
Planilha: [MetQuantitatEtapaVvol4.xlsm]ExemploPL1.2
Relatório criado: 24/06/2009 17:20:20
E
F
G
H
Células ajustáveis
Célula
Nome
$B$2 Quantidades Saia
$C$2 Quantidades Calça
$D$2 Quantidades Bermuda
Final
Valor
0,0
750,0
500,0
Reduzido
Objetivo
Permissível Permissível
Custo
Coeficiente Acréscimo Decréscimo
‐0,3
1,5 0,333333333
1E+30
0,0
4
10
0,5
0,0
7
1
2
Restrições
Célula
Nome
$E$7 Espaço Físico(m2) Função Objetivo
$E$8 Tecido (m) Função Objetivo
$E$9 Horas‐máquina(hm) Função Objetivo
Final
Sombra
Restrição
Permissível Permissível
Valor
Preço
Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo
1750
0
2500
1E+30
750
4000 0,166666667
4000
3000
2250
3500 1,666666667
3500
1500
1500
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
18
9
19/09/2009
Para entender o Preço Sombra, tente isto…
{
{
{
Faça uma cópia da planilha, e mude o
valor da célula G8 de 4.000 para
4.100.
Use Solver para resolver o problema
(novamente).
O que aconteceu?
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
19
A Função Objetivo melhorou!
A
1
2 Quantidades
3 Margem unitária
4 Margem Total
5
6
2
7 Espaço Físico(m )
8 Tecido (m)
9 Horas‐máquina(hm)
B
Saia
0,0
1,5
0,00
C
D
Calça
Bermuda
783,3
483,3
4
7
3.133,33 3.383,33
4
1
1
1
4
2
2
2
4
E
F
G
<=
<=
<=
2.500
4.100
3.500
6.516,67
FFunção Objetivo
ã Obj ti
1750
4100
3500
Advertência:-Não se esqueça de excluir aquela restrição adicional de 100 como á
quantidade obrigatória de saia.
Vemos claramente da solução do Solver que se aumentarmos a disponibilidade
de tecidos em 100m
100m, teremos uma melhora (aumento) na função objetivo (lucro)
de R$ 16,67. Este é o máximo valor que estaríamos dispostos a pagar pela
adição de 100 metros de tecido.
Cuidado o acréscimo máximo permissível de tecido é de 3.000 metros!
No caso de escassez de material, o decréscimo máximo seria de 2.250 metros.
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
20
10
19/09/2009
Tente isto agora para entender o Preço
Sombra…
{ Faça uma cópia da planilha, e mude o valor
da célula G9 de 3.500 para 3.600.
{ Use Solver para resolver o problema
(novamente).
{ O que aconteceu?
O p
preço
ç sombra é assim chamado
porque diz quanto você estaria disposto
a pagar pelas unidades adicionais de
um recurso.
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
21
Acréscimo e decréscimo permissível
Estes limites mostram até onde você pode mudar um coeficiente na
função objetivo sem causar mudança nos valores ótimos das variáveis de
decisão, ou mudar o limite da restrição de uma fila sem fazer com que
quaisquer dos valores ótimos dos preços sombras ou custo reduzido
mudem.
d
É importante atentarmos para o fato de que esses valores são apenas válidos se
estamos planejando alterar um único coeficiente da função objetivo ou dos limites
das restrições. É possível, portanto, mudar um coeficiente de qualquer quantidade
que é indicada nos limites permissíveis sem causar uma mudança na solução
ótima.
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
22
11
19/09/2009
Análise do exemplo
A partir deste ponto, aprenderemos que é possível , sem utilização de
NOVAS TENTATIVAS de resolução no Excel, medir o impacto das
variações nos coeficientes da função objetivo.
O relatório de sensibilidade poderia nos ajudar a responder vários
questionamentos:
ti
t
PREÇO SOMBRA:
Se a confecção tivesse que fazer uma manutenção preventiva, diminuindo em 50
horas-máquinas na capacidade máxima de produção, quanto seria reduzido na
margem de contribuição total da empresa?
RESPOSTA:
No relatório de sensibilidade , observamos que o preço sombra para horahora
máquina é de R$ 2,00, ou seja, para cada unidade de hora-máquina que
retiramos ou colocamos no problema em questão irá afetar a margem de
contribuição total da empresa em R$ 2,00.
Assim, uma redução de 50 horas (o decréscimo permissível é de 1.500 h) irá
reduzir a margem de contribuição em 50 x 2,00 = R$ 100,00, fazendo que o
novo valor da margem de contribuição total seja R$ 6.400,00.
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
23
Análise do exemplo
CUSTO REDUZIDO:
Se existisse um pedido firme de 100 saias para um grande distribuidor local,
qual seria o impacto do seu atendimento no lucro da empresa?
RESPOSTA:
L b
Lembremos
que o SOLVER sugeriu
i não
ã produzir
d i quantidade
id d alguma
l
d saias,
de
i
porém, informou quanto é o custo reduzido dela no relatório de sensibilidade.
O valor de -0,3 pode ser interpretado como sendo uma redução no valor total
da margem de contribuição para cada unidade produzida de saia, ou seja, para
um aumento de zero para 100, teremos uma redução na margem de
contribuição de 100 x 0,3 = R$ 30,00.
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
24
12
19/09/2009
Análise do exemplo
CUSTO REDUZIDO:
Quanto deveria ser reduzido nos custos da saia para que ela se torne
atrativa para ser produzida?
RESPOSTA:
A saia
i pode
d ser produzida,
d id desde
d d que sua margem unitária
i á i aumente em 0,3,
03
zerando o custo reduzido no relatório. Assim, temos que o custo referente à
saia deve diminuir em R$ 0,30 por unidade para que sua produção se torne
viável.
As quantidades informadas pelas grandezas Preço Sombra e Custo Reduzido
refletem as conseqüências de alterações unitárias;
Alterações diferentes da unidade provocaram conseqüências
proporcionais
Entretanto, estes valores só podem ser garantidos dentro de intervalos.
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
25
Intervalos de validação do Preço Sombra e
do Custo Reduzido
{
O Custo Reduzido também possui intervalos
nos quais ele é válido;
{
A análise de sensibilidade determina estes
intervalos em que o Custo Reduzido e o
Preço Sombra são válidos;
{
Existe uma outra razão para estabelecer
estes intervalos: o problema da certeza dos
coeficientes
fi i t
26 / 63
13
19/09/2009
Análise de Sensibilidade
{
{
A análise de sensibilidade serve também para
amenizar a hipótese de certeza nos coeficientes
e constantes
constantes.
Em uma análise de sensibilidade queremos
responder basicamente a três perguntas:
z Qual o efeito de uma mudança num
coeficiente da função objetivo?
z Qual o efeito de uma mudança numa
constante de uma restrição?
27 / 63
Análise de Sensibilidade
A pergunta
z Qual o efeito de uma mudança num
coeficiente de uma restrição?
também parece importante de ser respondida, e
é. Entretanto, a Análise de Sensibilidade
geralmente não responde à esta pergunta
{ A quantidade de coeficientes é muito grande!
{
28 / 63
14
19/09/2009
Análise de Sensibilidade
{
Existem dois tipos básicos de análise de
sensibilidade:
° Estabelece limites inferiores e superiores
para todos os coeficientes e constantes:
{ Lindo/Excel;
{ Hipótese de uma alteração a cada
momento;
± Verifica se uma ou mais mudanças
ç em um
problema alteram a sua solução ótima:
{ Mais complicado;
{ Pode ser feito através da alteração do
problema e sua nova resolução.
29 / 63
A análise de sensibilidade através de
limites
{
Vamos nos dedicar ao primeiro tipo de análise.
A análise dos limites dos coeficientes da
função
ç objetiva
j
e das constantes das
restrições no problema
{
Vamos entender o processo da análise dos
coeficientes da função objetivo primeiro.
30 / 63
15
19/09/2009
Análise de Sensibilidade Constantes das
Restrições
{
{
{
A constantes das restrições também estão
submetidas à limites;
Entretanto estes limites dizem respeito aos
Preços de Sombra, e não à solução ótima
z Veja que os Preços de Sombra equivalem à
solução ótima do dual, onde as constantes
das restrições são os coeficientes da F.
Objetivo;
j
;
O estudo dos limites é feito de maneira muito
similar.
31 / 63
O Limite dos coeficientes da Função
Objetivo - Excel
{
Para aquele problema
problema, o Excel oferece a
seguinte resposta:
infinito
Constraints
Final
Shadow
Constraint Allowable Allowable
Cell Name Value
Price
R.H. Side Increase Decrease
$D$8
20 33,33333333
20
1,5
6
$D$9
4
0
5
1E+30
1
$D$10
21 44,44444444
21
9
2,25
Variações permitidas às constantes das restrições!
32 / 63
16
19/09/2009
Analisando todas as respostas do Excel
33 / 63
Solicitando os relatórios
Atenção para pedir todos os relatórios!
34 / 63
17
19/09/2009
Análise de Sensibilidade - Excel
Valor das Variáveis
no ponto de Máximo
Valor Máximo
35 / 63
Excel – “Relatório de Respostas”
Agrupar => LHS=RHS
Sem Agrupar=> LHS≠RHS
A
B
C
4
5
6 Célula de destino (Máx)
Célula
Nome
7
$E$4 Margem Total
8
9
10
11 Células ajustáveis
Célula
Nome
12
$B$2 Quantidades Saia
13
14
$C$2 Quantidades Calça
Q
id d C l
15
$D$2 Quantidades Bermuda
16
17
18 Restrições
19
Célula
Nome
20
$E$7 Espaço Físico(m2) Função Objetivo
21
$E$8 Tecido (m) Função Objetivo
22
$E$9 Horas‐máquina(hm) Função Objetivo
D
E
F
G
Valor original
Valor final
6.428,57
6.500,00
Valor original
Valor final
214,3
0,0
714 3
714,3
750 0
750,0
464,3
500,0
Variáveis
De Folga
Valor da célula
Fórmula
Status
1750 $E$7<=$G$7 Sem agrupar
4000 $E$8<=$G$8 Agrupar
3500 $E$9<=$G$9 Agrupar
Transigência
750
0
0
36 / 63
18
19/09/2009
Análise Econômica do Excel
Valores das variáveis
do Problema Dual
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
A
B
C
D
Microsoft Excel 12.0 Relatório de sensibilidade
Planilha: [MetQuantitatEtapaVvol4.xlsm]ExemploPL1.2
Relatório criado: 24/06/2009 17:20:20
E
F
G
H
Células ajustáveis
Célula
Nome
$B$2 Quantidades Saia
$C$2 Quantidades Calça
$D$2 Quantidades Bermuda
Final
Valor
0,0
750,0
500,0
Reduzido
Objetivo
Permissível Permissível
Custo
Coeficiente Acréscimo Decréscimo
‐0,3
1,5 0,333333333
1E+30
0,0
4
10
0,5
0,0
7
1
2
Restrições
Célula
Nome
$E$7 Espaço Físico(m2) Função Objetivo
$E$8 Tecido (m) Função Objetivo
$E$9 Horas‐máquina(hm) Função Objetivo
Final
Sombra
Restrição
Permissível Permissível
Valor
Preço
Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo
1750
0
2500
1E+30
750
4000 0,166666667
4000
3000
2250
3500 1,666666667
3500
1500
1500
37 / 63
Análise Econômica do Excel
A interpretação para o Preço Sombra são as seguintes:
•A quantidade pela qual a função objetivo será aumentada dado um incremento de
uma unidade na constante de uma restrição.
•Quanto estaríamos dispostos a pagar por uma unidade adicional de um recurso.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
A
B
C
D
Microsoft Excel 12.0 Relatório de sensibilidade
Planilha: [MetQuantitatEtapaVvol4.xlsm]ExemploPL1.2
Relatório criado: 24/06/2009 17:20:20
E
F
G
H
Células ajustáveis
Célula
Nome
$B$2 Quantidades Saia
$C$2 Quantidades Calça
$D$2 Quantidades Bermuda
Final
Valor
0,0
750,0
500,0
Reduzido
Objetivo
Permissível Permissível
Custo
Coeficiente Acréscimo Decréscimo
‐0,3
1,5 0,333333333
1E+30
0,0
4
10
0,5
0,0
7
1
2
Restrições
Célula
Nome
$E$7 Espaço Físico(m2) Função Objetivo
$E$8 Tecido (m) Função Objetivo
$E$9 Horas‐máquina(hm) Função Objetivo
Final
Sombra
Restrição
Permissível Permissível
Valor
Preço
Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo
1750
0
2500
1E+30
750
4000 0,166666667
4000
3000
2250
3500 1,666666667
3500
1500
1500
38 / 63
19
19/09/2009
Análise Econômica do Excel
Existem duas interpretações
para o Custo
Reduzido
•A
quantidade
que
o
coeficiente
da função objetivo de uma variável original deve
aumentar antes desta variável se tornar básica.
•A quantidade de penalização que será pago se
quisermos tornar uma variável básica.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
A
B
C
D
Microsoft Excel 12.0 Relatório de sensibilidade
Planilha: [MetQuantitatEtapaVvol4.xlsm]ExemploPL1.2
Relatório criado: 24/06/2009 17:20:20
E
F
G
H
Células ajustáveis
Final
Valor
0,0
,
750,0
500,0
Célula
Nome
$B$2
$
$
Quantidades Saia
Q
$C$2 Quantidades Calça
$D$2 Quantidades Bermuda
Reduzido
Objetivo
Permissível Permissível
Custo
Coeficiente Acréscimo Decréscimo
‐0,3
,
1,5
, 0,333333333
,
1E+30
0,0
4
10
0,5
0,0
7
1
2
Restrições
Célula
Nome
$E$7 Espaço Físico(m2) Função Objetivo
$E$8 Tecido (m) Função Objetivo
$E$9 Horas‐máquina(hm) Função Objetivo
Final
Sombra
Restrição
Permissível Permissível
Valor
Preço
Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo
1750
0
2500
1E+30
750
4000 0,166666667
4000
3000
2250
3500 1,666666667
3500
1500
1500
39 / 63
Análise de Sensibilidade
Excel – “Relatório de Sensibilidade”
Variações de incremento e decremento, as quais
cada coeficiente da Função Objetivo, isoladamente,
pode ter sem que a solução ótima ( valores
finais de X1, x2 e X3) se altere.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
A
B
C
D
Microsoft Excel 12.0 Relatório de sensibilidade
Planilha: [MetQuantitatEtapaVvol4.xlsm]ExemploPL1.2
Relatório criado: 24/06/2009 17:20:20
E
F
G
H
Células ajustáveis
Final
Valor
0,0
,
750,0
500,0
Célula
Nome
$B$2
$
$
Quantidades Saia
Q
$C$2 Quantidades Calça
$D$2 Quantidades Bermuda
Reduzido
Objetivo
Permissível Permissível
Custo
Coeficiente Acréscimo Decréscimo
‐0,3
,
1,5
, 0,333333333
,
1E+30
0,0
4
10
0,5
0,0
7
1
2
Restrições
Célula
Nome
$E$7 Espaço Físico(m2) Função Objetivo
$E$8 Tecido (m) Função Objetivo
$E$9 Horas‐máquina(hm) Função Objetivo
Final
Sombra
Restrição
Permissível Permissível
Valor
Preço
Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo
1750
0
2500
1E+30
750
4000 0,166666667
4000
3000
2250
3500 1,666666667
3500
1500
1500
40 / 63
20
19/09/2009
Análise de Sensibilidade
Excel – “Relatório de Sensibilidade”
Variações de incremento e decremento, as quais
cada constante das Restrições, isoladamente,
podem ter sem q
p
que os valores dos Preços
ç de
Sombra se alterem.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
A
B
C
D
Microsoft Excel 12.0 Relatório de sensibilidade
Planilha: [MetQuantitatEtapaVvol4.xlsm]ExemploPL1.2
Relatório criado: 24/06/2009 17:20:20
E
F
G
H
Células ajustáveis
Final
Valor
0,0
750 0
750,0
500,0
Célula
Nome
$B$2 Quantidades Saia
$C$2 Quantidades Calça
Quantidades Calça
$D$2 Quantidades Bermuda
Reduzido
Objetivo
Permissível Permissível
Custo
Coeficiente Acréscimo Decréscimo
‐0,3
1,5 0,333333333
1E+30
00
0,0
4
10
05
0,5
0,0
7
1
2
Restrições
Célula
Nome
$E$7 Espaço Físico(m2) Função Objetivo
$E$8 Tecido (m) Função Objetivo
$E$9 Horas‐máquina(hm) Função Objetivo
Final
Sombra
Restrição
Permissível Permissível
Valor
Preço
Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo
1750
0
2500
1E+30
750
4000 0,166666667
4000
3000
2250
3500 1,666666667
3500
1500
1500
41 / 63
Análise de Sensibilidade
Excel – “Relatório de Limites”
A coluna “Limite Inferior” indica o menor valor que cada
variável pode assumir, considerando que todas as outras
não se alterem, mantendo a solução viável. Mostra também
o valor que a função objetivo assume nesta configuração de
solução.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
1 Microsoft Excel 12.0 Relatório de limites
2 Planilha: [MetQuantitatEtapaVvol4.xlsm]Relatório de limites 2
3 Relatório criado: 24/06/2009 17:20:20
4
5
6
Destino
Célula
Nome
Valor
7
$E$4 Margem Total
6.500,00
8
9
10
Ajustável
Inferior Destino
Superior Destino
11
Célula
Nome
Valor
Limite Resultado
Limite Resultado
12
$B$2 Quantidades Saia
0,0
0,0
6.500,0
0,0
6.500,0
13
$C$2 Quantidades Calça
750,0
0,0
3.500,0
750,0
6.500,0
14
$D$2 Quantidades Bermuda
500,0
0,0
3.000,0
500,0
6.500,0
15
42 / 63
21
19/09/2009
Análise de Sensibilidade
Excel – “Relatório de Limites”
A coluna “Limite Superior” indica o maior valor que cada
variável pode assumir,
assumir considerando que todas as outras
não se alterem, mantendo a solução viável. Mostra também
o valor que a função objetivo assume nestes casos.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
1 Microsoft Excel 12.0 Relatório de limites
2 Planilha: [MetQuantitatEtapaVvol4.xlsm]Relatório de limites 2
3 Relatório criado: 24/06/2009 17:20:20
4
5
6
Destino
Célula
Nome
Valor
7
$E$4 Margem Total
6.500,00
8
9
10
Ajustável
Inferior Destino
Superior Destino
11
Célula
Nome
Valor
Limite Resultado
Limite Resultado
12
$B$2 Quantidades Saia
0,0
0,0
6.500,0
0,0
6.500,0
13
$C$2 Quantidades Calça
750,0
0,0
3.500,0
750,0
6.500,0
14
$D$2 Quantidades Bermuda
500,0
0,0
3.000,0
500,0
6.500,0
15
43 / 63
Mudanças Simultâneas em Coeficientes
{
{
{
A análise de sensibilidade só é valida quando
apenas um dos coeficientes é alterado
isoladamente.
Porém existem situações que podemos utilizar
a análise de sensibilidade feita pelo Excel para
garantir que a solução ótima não se altera.
Esta regra é conhecida como Regra de 100%.
44 / 63
22
19/09/2009
Mudanças Simultâneas em Coeficientes
{
{
Caso 1:
Quando todas as variáveis cujos coeficientes da
função objetivo se alterarem tiverem “Custo
Reduzido” diferentes de zero
Neste caso a solução ótima permanece
inalterada, desde que, todos os coeficientes
alterados permaneçam dentre dos limites
permitidos.
45 / 63
Mudanças Simultâneas em Coeficientes
{
{
Caso 2
C
Quando pelo menos uma das variáveis cujos
coeficientes da função objetivo se alteram,
tem “Custo Reduzido” com valor igual a zero.
Neste caso devemos calcular uma razão entre
a alteração do coeficiente e a variação
permitida, para todas as variáveis que tiverem
seus coeficientes alterados.
46 / 63
23
19/09/2009
Mudanças Simultâneas em Coeficientes
{
Para cada variável com coeficiente
alterado calcule:
⎧ Δc j
, se Δc j ≥ 0
⎪
I
⎪
rj = ⎨ j
− Δc j
⎪
, se Δc j ≤ 0
⎪⎩ D j
Onde
Cj
ΔCj
Ij
Dj
= Valor original do coeficiente
= Variação do Coeficiente
= Incremento Permitido do Coeficiente
47 / 63
= Decremento Permitido
do Coeficiente
Mudanças Simultâneas em Coeficientes
{
Caso mais de uma alteração seja feita
simultaneamente a solução ótima
permanecerá constante se
∑r
¾
j
≤1
∑
Isto não significa dizer que se rj >1a solução
ótima tem que se alterar,
alterar significa apenas que a
regra não pode garantir que ela permanecerá
constante.
48 / 63
24
19/09/2009
Mudanças Simultâneas em Coeficientes
{
{
Se existir apenas uma alteração, a solução
ótima será inalterada se rj £ 1
1.
Isto tem o mesmo significado da regra
original, significando que o numerador da
razão (alteração no coeficiente) é menor que
o denominador (alteração máxima permitida).
49 / 63
Exemplo da regra do 100%
Será que a solução
ótima se manterá se
mudarmos o
coeficiente de x1 para
50 e o de x2 para 45?
ΔC1 = 10
I1 = 20
ΔC2 = 15
50 / 63
I 2 = 20
25
19/09/2009
Exemplo
ΔC1 = 10
I1 = 20
ΔC2 = 15
I 2 = 20
∑r
j
r1 =
ΔC1 10
=
= 0,5
I1
20
r2 =
ΔC2 15
=
= 0,75
I2
20
= 0,5 + 0,75 = 1,25
Logo, este não é um acréscimo per
51 / 63
Análise de Sensibilidade - Solução
Degenerada
{
{
{
A solução de um problema de Programação
Linear, algumas vezes, apresenta uma
anomalia conhecida como degeneração.
Uma solução de um LP é dita degenerada
quando o valor de incremento ou
decremento de uma restrição é igual a zero.
A presença de degeneração altera a
interpretação da análise de sensibilidade
em um certo número de maneiras.
maneiras
52 / 63
26
19/09/2009
Análise de Sensibilidade
Solução Degenerada
{
Quando a solução ótima é degenerada
z O valor do “Custo Reduzido” pode não ser
único.
z O valor de incremento e decremento dos
coeficientes da função objetivo são ainda
validos. De fato os valores podem se
alterar substancialmente acima deste
valores sem que a solução ótima se altere.
z O valor do “Preço
Preço Sombra
Sombra” e seus
intervalos podem continuar sendo
interpretados da mesma maneira, contudo
podem não ser únicos.
53 / 63
Limites do relatório de sensibilidade
{
Precisamos resolver o modelo PL quando:
z
z
z
z
Quando se quer saber uma nova distribuição das
variáveis de decisão que forneceria a solução ótima
resultante de uma variação nas restrições.
restrições
Quando se quer saber o efeito de variar uma
restrição além do acréscimo/decréscimo permitido à
restrição.
Quando se quer saber o efeito de variar várias
restrições quando a regra do 100% não se mantiver.
Quando se quer saber os valores das variáveis de
decisão após os coeficientes objetivos mudarem mais
que o acréscimo/decréscimo permissível
Programação Linear e Análise de Sensibilidade
54
27